Cauchy–Pompeiuの積分公式
概要
Cauchy–Pompeiuの積分公式（Cauchy–Pompeiu integral formula）とは、区分的に滑らかな境界をもつ有界領域 $D$ の閉包の近傍で $C^1$ 級の関数 $f$ の値 $f(\zeta)$ を、境界上の Cauchy 積分と $D$ 上の $\partial f/\partial\bar z$ の面積分の和で表す公式であり、$f$ が正則なら Cauchy の積分公式に戻る。逆向きに読むと、台がコンパクトな $C^1$ 級関数 $g$ の Cauchy 変換が $\partial u/\partial\bar z=g$ の解を与え、台がコンパクトな解があるのは $g$ のモーメントがすべて $0$ のときに限る。Dolbeault の定理や Hartogs の拡張定理の証明の出発点になる。
前提知識: Cauchy–Riemannの方程式, Greenの定理, Cauchyの積分公式, Lebesgue積分
Cauchy–Pompeiuの積分公式（Cauchy–Pompeiu integral formula）とは、複素平面の有界領域 $D$ の閉包の近くで $C^1$ 級の関数 $f$ について、内部の値 $f(\zeta)$ を、境界上の Cauchy 積分と、$D$ の上での $\partial f/\partial\bar z$ の面積分の和で表す公式
$$
f(\zeta)=\frac1{2\pi i}\oint_{\partial D}\frac{f(z)}{z-\zeta}\,dz-\frac1\pi\iint_D\frac{\partial f/\partial\bar z\,(z)}{z-\zeta}\,dx\,dy\qquad(\zeta\in D)
$$
である。$f$ が正則なら $\partial f/\partial\bar z=0$ なので第 2 項が消え、Cauchyの積分公式 に戻る。正則でない関数については、第 2 項が「正則性からのずれ」を測る補正になっている。
この公式を逆向きに読むと、非斉次の Cauchy–Riemann 方程式 $\partial u/\partial\bar z=g$ の解の公式が得られる。核 $-1/(\pi(z-\zeta))$ との畳み込みで $g$ から $u$ を作る作用素（Cauchy 変換）が、1 変数の $\bar\partial$ 方程式を解く基本の道具であり、多変数の Dolbeaultの定理 や Hartogsの拡張定理 の証明もここから始まる。
この記事では次のことを示す。
| 問い | 答え |
|---|---|
| 公式はどう証明するか | 複素形の Green の公式を、点 $\zeta$ のまわりの小円を除いた領域に当て、小円の半径を $0$ に近づける（thm-cp-main） |
| $\partial u/\partial\bar z=g$ はいつ解けるか | $g$ が台のコンパクトな $C^k$ 級関数（$k\ge1$）なら、Cauchy 変換 $Tg$ が $C^k$ 級の解である（thm-cp-dbar） |
| 台がコンパクトな解はいつあるか | $g$ のモーメント $\int g\,z^n\,dx\,dy$（$n\ge0$）がすべて $0$ のとき、かつそのときに限る（同 4） |
| 開集合の上では | 閉包がコンパクトに含まれる開集合の上では、切り落とし関数を掛けて解ける（cor-cp-local） |
記号と準備
$z=x+iy$（$x,y$ は実数）と書き、$\mathbb C$ を $\mathbb R^2$ と同一視する。$dA=dx\,dy$ は Lebesgue 測度である。Wirtinger の微分作用素は
$$
\frac{\partial}{\partial z}=\frac12\Bigl(\frac{\partial}{\partial x}-i\frac{\partial}{\partial y}\Bigr),\qquad\frac{\partial}{\partial\bar z}=\frac12\Bigl(\frac{\partial}{\partial x}+i\frac{\partial}{\partial y}\Bigr)
$$
であり、$C^1$ 級の関数 $f$ が開集合の上で正則であることと、そこで $\partial f/\partial\bar z=0$ であることは同値である（Cauchy–Riemannの方程式・正則関数 の定理「Cauchy–Riemann の方程式」）。微分形式で書くと $dz\wedge d\bar z=-2i\,dx\wedge dy$ なので、面積分は
$$
\frac1{2\pi i}\iint_D h\,dz\wedge d\bar z=-\frac1\pi\iint_D h\,dA
$$
とも書ける。文献や Dolbeaultコホモロジー の記事は左辺の形を使う。
以下、区分的に滑らかな境界をもつ有界領域とは、有界な連結開集合 $D$ で、境界 $\partial D$ が互いに交わらない有限個の区分的に滑らかな単純閉曲線からなるもの（Greenの定理 と同じ約束）をいう。$\partial D$ は $D$ を左に見る向き（正の向き）にたどる。円板や、円板から小さな閉円板を除いた円環はこの形である。
$D$ を区分的に滑らかな境界をもつ有界領域、$g$ を $\overline D$ を含む開集合で $C^1$ 級の複素数値関数とする。このとき
$$
\oint_{\partial D}g\,dz=2i\iint_D\frac{\partial g}{\partial\bar z}\,dA
$$
である。
$g\,dz=g\,dx+ig\,dy$ である。Greenの定理 の定理「Green の定理」を $P=g$、$Q=ig$ の実部と虚部に当てて足し合わせると
$$
\oint_{\partial D}g\,dz=\iint_D\Bigl(\frac{\partial(ig)}{\partial x}-\frac{\partial g}{\partial y}\Bigr)dA=i\iint_D\Bigl(\frac{\partial g}{\partial x}+i\frac{\partial g}{\partial y}\Bigr)dA=2i\iint_D\frac{\partial g}{\partial\bar z}\,dA
$$
である。$\square$
もう 1 つ、核 $1/(z-\zeta)$ の可積分性を確かめておく。極座標 $z=\zeta+re^{i\theta}$ では $dA=r\,dr\,d\theta$ なので、
$$
\iint_{|z-\zeta|< R}\frac{dA(z)}{|z-\zeta|}=\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^R\frac1r\,r\,dr\,d\theta=2\pi R.\qquad(1)
$$
である。とくに $1/(z-\zeta)$ は有界集合の上で可積分であり、有界な可測関数を掛けても可積分のままである。
主定理
$D\subset\mathbb C$ を区分的に滑らかな境界をもつ有界領域、$f$ を $\overline D$ を含む開集合で $C^1$ 級の複素数値関数とする。
- 任意の $\zeta\in D$ について
$$ f(\zeta)=\frac1{2\pi i}\oint_{\partial D}\frac{f(z)}{z-\zeta}\,dz-\frac1\pi\iint_D\frac{\partial f/\partial\bar z\,(z)}{z-\zeta}\,dA(z) $$
が成り立つ。右辺の面積分の被積分関数は $D$ の上で Lebesgue 可積分である。 - $\zeta\notin\overline D$ なら、同じ右辺は $0$ に等しい。
1． $\zeta\in D$ を固定し、$0<\varepsilon<\operatorname{dist}(\zeta,\partial D)$ をとって $D_\varepsilon:=D\setminus\{|z-\zeta|\le\varepsilon\}$ とおく。$D_\varepsilon$ も区分的に滑らかな境界をもつ有界領域で、正の向きの境界は $\partial D$ と、時計回りの円周 $|z-\zeta|=\varepsilon$ からなる。
$g(z):=f(z)/(z-\zeta)$ は $\overline{D_\varepsilon}$ を含む開集合で $C^1$ 級である。$1/(z-\zeta)$ は $z\ne\zeta$ で正則なので $\partial/\partial\bar z$ で消え、積の微分法則から
$$
\frac{\partial g}{\partial\bar z}=\frac{\partial f/\partial\bar z}{z-\zeta}
$$
である。lem-cp-green を $D_\varepsilon$ と $g$ に当て、円周を $z=\zeta+\varepsilon e^{it}$ とパラメータ表示する（$dz/(z-\zeta)=i\,dt$）と
$$
\oint_{\partial D}\frac{f(z)}{z-\zeta}\,dz-\int_0^{2\pi}f(\zeta+\varepsilon e^{it})\,i\,dt=2i\iint_{D_\varepsilon}\frac{\partial f/\partial\bar z\,(z)}{z-\zeta}\,dA(z).\qquad(2)
$$
を得る。$\varepsilon\to0$ とする。左辺第 2 項は、$f$ の $\zeta$ での連続性から $2\pi i\,f(\zeta)$ に近づく。右辺は、$\partial f/\partial\bar z$ が $\overline D$ の上で有界で、(1) により被積分関数が $D$ の上で可積分なので、優収束定理（優収束定理）により $D$ の上の積分に近づく。(2) の極限を $2\pi i$ で割って整理すれば 1 を得る。
2． $\zeta\notin\overline D$ なら $g=f/(z-\zeta)$ は $\overline D$ を含む開集合で $C^1$ 級なので、lem-cp-green を $D$ と $g$ にそのまま当てると $\oint_{\partial D}g\,dz=2i\iint_D(\partial f/\partial\bar z)/(z-\zeta)\,dA$ である。両辺を $2\pi i$ で割れば、右辺が $0$ であることが分かる。$\square$
公式は Hor90 Theorem 1.2.1（p. 3）にあり、そこでは面積分を $dz\wedge d\bar z$ で書いている。複素形の Green の公式は同 (1.2.2)（p. 2）である。
- （Cauchy の積分公式）thm-cp-main の仮定で $f$ が $D$ の上で正則なら、$\zeta\in D$ について $f(\zeta)=\frac1{2\pi i}\oint_{\partial D}\frac{f(z)}{z-\zeta}\,dz$ である。
- （台がコンパクトな場合）$\varphi\colon\mathbb C\to\mathbb C$ を台がコンパクトな $C^1$ 級関数とすると、すべての $\zeta\in\mathbb C$ について
$$ \varphi(\zeta)=-\frac1\pi\iint_{\mathbb C}\frac{\partial\varphi/\partial\bar z\,(z)}{z-\zeta}\,dA(z) $$
である。
1 は $\partial f/\partial\bar z=0$ を代入したものである。2 は、$\zeta$ と $\varphi$ の台（台(関数)）をともに含む大きな円板 $D$ に thm-cp-main の 1 を当てればよい。$\varphi$ は $\partial D$ の上で $0$ なので境界の項が消え、$\partial\varphi/\partial\bar z$ も $D$ の外で $0$ なので面積分は $\mathbb C$ 全体の積分に等しい。$\square$
1 は、導関数が連続な正則関数についての Cauchy の積分公式の、Green の公式による証明になっている。2 は「台がコンパクトな関数は、自分の $\partial/\partial\bar z$ から復元できる」ことを言い、次の節の出発点である。
非斉次の Cauchy–Riemann 方程式
$g\colon\mathbb C\to\mathbb C$ を台がコンパクトな有界可測関数とする。
$$
(Tg)(\zeta):=-\frac1\pi\iint_{\mathbb C}\frac{g(z)}{z-\zeta}\,dA(z)\qquad(\zeta\in\mathbb C)
$$
を $g$ の Cauchy 変換という。(1) により右辺の積分はすべての $\zeta$ で絶対収束する。$n\ge0$ について $m_n(g):=\iint_{\mathbb C}g(z)\,z^n\,dA(z)$ を $g$ の $n$ 次のモーメントという。
cor-cp-special の 2 は $T(\partial\varphi/\partial\bar z)=\varphi$ と書ける。逆向きの $\partial(Tg)/\partial\bar z=g$ が次の定理の 1 である。
$k\ge1$ を整数または $\infty$ とし、$g\colon\mathbb C\to\mathbb C$ を台がコンパクトな $C^k$ 級関数とする。$R>0$ を $g$ の台が $\{|z|\le R\}$ に含まれるようにとる。
- $Tg$ は $\mathbb C$ の上で $C^k$ 級で、$\partial(Tg)/\partial\bar z=g$ である。
- $Tg$ は $g$ の台の外で正則であり、$|\zeta|>R$ では
$$ (Tg)(\zeta)=\frac1\pi\sum_{n=0}^\infty\frac{m_n(g)}{\zeta^{n+1}} $$
と Laurent 展開される。とくに $|\zeta|\to\infty$ のとき $(Tg)(\zeta)\to0$ である。 - $u$ が $\mathbb C$ の上の $C^1$ 級関数で、$\partial u/\partial\bar z=g$ と $|\zeta|\to\infty$ のとき $u(\zeta)\to0$ を満たすなら、$u=Tg$ である。
- 台がコンパクトな $C^1$ 級関数 $u$ で $\partial u/\partial\bar z=g$ となるものが存在するのは、すべての $n\ge0$ について $m_n(g)=0$ のとき、かつそのときに限る。このとき $u=Tg$ である。
1． $z=\zeta+w$ と変数を置き換えると
$$
(Tg)(\zeta)=-\frac1\pi\iint_{\mathbb C}\frac{g(\zeta+w)}{w}\,dA(w)
$$
である。$\zeta$ が有界集合 $\{|\zeta|<\rho\}$ を動くとき、被積分関数の台は $w$ について一定のコンパクト集合 $\{|w|\le R+\rho\}$ に含まれる。$g$ の $k$ 階までの偏導関数は有界連続なので、$|\partial^\alpha g(\zeta+w)/w|\le\sup|\partial^\alpha g|\cdot\mathbf 1_{\{|w|\le R+\rho\}}/|w|$ は (1) により $\zeta$ によらない可積分関数で押さえられる。よって優収束定理により、積分記号の下で $k$ 階まで微分でき、得られる積分は $\zeta$ について連続である。したがって $Tg$ は $C^k$ 級で、
$$
\frac{\partial(Tg)}{\partial\bar z}(\zeta)=-\frac1\pi\iint_{\mathbb C}\frac{\partial g/\partial\bar z\,(\zeta+w)}{w}\,dA(w)=-\frac1\pi\iint_{\mathbb C}\frac{\partial g/\partial\bar z\,(z)}{z-\zeta}\,dA(z)=g(\zeta)
$$
である。最後の等号は cor-cp-special の 2 による。
2． 1 から $Tg$ は $C^1$ 級で、$g$ の台の外では $\partial(Tg)/\partial\bar z=g=0$ だから正則である。$|\zeta|>R$ のとき、$|z|\le R$ では等比級数
$$
\frac1{z-\zeta}=-\frac1\zeta\cdot\frac1{1-z/\zeta}=-\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{\zeta^{n+1}}
$$
が $z$ について一様に収束する（$|z/\zeta|\le R/|\zeta|<1$）。$g$ は可積分なので項別に積分でき、主張の展開を得る。また $|z-\zeta|\ge|\zeta|-R$ から $|(Tg)(\zeta)|\le\frac1\pi\|g\|_{L^1}/(|\zeta|-R)\to0$ である。
3． $h:=u-Tg$ は $C^1$ 級で $\partial h/\partial\bar z=0$ なので、$\mathbb C$ 全体で正則な関数（整関数）である。仮定と 2 から $|\zeta|\to\infty$ で $h(\zeta)\to0$ なので $h$ は有界であり、Liouvilleの定理 により定数で、その定数は $0$ である。
4． 台がコンパクトな解 $u$ があるとする。$u$ は無限遠で $0$ に近づくので、3 により $u=Tg$ である。すると $Tg$ は十分大きい $|\zeta|$ で $0$ であり、2 の Laurent 展開の係数の一意性から、すべての $n$ で $m_n(g)=0$ である。逆にすべての $m_n(g)$ が $0$ なら、2 により $|\zeta|>R$ で $Tg=0$ なので $Tg$ の台は $\{|\zeta|\le R\}$ に含まれ、1 により $Tg$ が求める解である。$\square$
1 は Hor90 Theorem 1.2.2（pp. 3–4）の、台がコンパクトな関数の場合である（そこでは台がコンパクトな測度に対して述べている）。4 の必要性は、$m_n(g)=\iint\partial(u\,z^n)/\partial\bar z\,dA$ と lem-cp-green からも直接分かる。
$U\subset\mathbb C$ を開集合、$k\ge1$ を整数または $\infty$、$g$ を $U$ の上の $C^k$ 級関数とする。閉包 $\overline V$ がコンパクトで $U$ に含まれる開集合 $V$ に対し、$V$ の上の $C^k$ 級関数 $u$ で $V$ の上 $\partial u/\partial\bar z=g$ となるものが存在する。
隆起関数 の定理「コンパクト集合に対する隆起関数」により、台がコンパクトで $U$ に含まれ、$\overline V$ のある近傍で $1$ に等しい $C^\infty$ 級関数 $\chi$ がある。$\chi g$ を $U$ の外で $0$ と定めると、$\mathbb C$ の上の台がコンパクトな $C^k$ 級関数である。thm-cp-dbar の 1 により $u:=T(\chi g)$ は $C^k$ 級で $\partial u/\partial\bar z=\chi g$ であり、これは $V$ の上で $g$ に等しい。$\square$
$V$ を $U$ 全体に取り替えても解は存在する：任意の開集合 $U$ と $g\in C^\infty(U)$ に対し、$U$ の上の $C^\infty$ 級関数 $u$ で $\partial u/\partial\bar z=g$ となるものがある（Hor90 Theorem 1.4.4、p. 12）。この記事では証明しない。証明は $U$ をコンパクト集合の増大列 $K_1\subset K_2\subset\cdots$ で尽くし、右辺を $g=\sum_j\varphi_jg$（$\varphi_j$ は $K_{j-1}$ の近傍で $0$ の切り落とし関数）と分けて各 $\varphi_jg$ の解を Cauchy 変換で作り、それが $K_{j-1}$ の近くで正則であることを使って、Rungeの定理 による正則関数の近似で修正してから足し合わせる。$U$ が円板のときは、Runge の定理の代わりに Taylor 展開の打ち切りで近似でき、多変数の多重円板の場合も含めて Dolbeaultコホモロジー の定理「$\bar\partial$ Poincaré の補題」にある。
例
$g(z)=G(|z|)$ を、台がコンパクトな有界可測関数で回転対称なものとし、$M(r):=\iint_{|z|< r}g\,dA$ とおく。このとき
$$
(Tg)(\zeta)=\frac{M(|\zeta|)}{\pi\zeta}\quad(\zeta\ne0),\qquad(Tg)(0)=0
$$
である。
とくに $g$ が単位円板 $\{|z|<1\}$ の特性関数なら $M(r)=\pi\min(r,1)^2$ であり、
$$
(Tg)(\zeta)=\begin{cases}\bar\zeta&(|\zeta|\le1)\\1/\zeta&(|\zeta|\ge1)\end{cases}
$$
となる。円板の内側では $\partial\bar\zeta/\partial\bar\zeta=1=g$、外側では正則で $\partial/\partial\bar\zeta$ は $0=g$ であり、$Tg$ は単位円の上でも連続である。
要点：$1/(z-\zeta)$ を $|z|<|\zeta|$ と $|z|>|\zeta|$ で別々に等比級数に展開し、角度について積分すると、$|z|<|\zeta|$ の側の定数項だけが残る。
詳しい計算を開く
$\zeta=0$ では $\iint G(|z|)/z\,dA=\int_0^\infty G(r)\int_0^{2\pi}e^{-i\theta}\,d\theta\,dr=0$ である。$\zeta\ne0$ とし、$0<\rho<|\zeta|<\rho'$ をとる。$|z|\le\rho$ では $1/(z-\zeta)=-\sum_{n\ge0}z^n/\zeta^{n+1}$、$|z|\ge\rho'$ では $1/(z-\zeta)=\sum_{n\ge0}\zeta^n/z^{n+1}$ がそれぞれ一様に収束するので、項別に積分できる。回転対称な $g$ について、$n\ge1$ なら $\iint_{|z|\le\rho}g\,z^n\,dA=0$、$n\ge0$ なら $\iint_{|z|\ge\rho'}g\,z^{-n-1}\,dA=0$ である（角度の積分 $\int_0^{2\pi}e^{\pm im\theta}d\theta$ が $m\ne0$ で $0$）。よって $-\frac1\pi\iint_{|z|\le\rho}\frac{g}{z-\zeta}\,dA-\frac1\pi\iint_{|z|\ge\rho'}\frac{g}{z-\zeta}\,dA=\frac{1}{\pi\zeta}\iint_{|z|\le\rho}g\,dA$ である。$\rho,\rho'\to|\zeta|$ とすると、$g/(z-\zeta)$ は可積分なので円環 $\rho<|z|<\rho'$ の上の積分は $0$ に近づき、右辺は $M(|\zeta|)/(\pi\zeta)$ に近づく（$|z|=|\zeta|$ は測度 $0$）。特性関数の場合は $M(r)=\pi r^2$（$r\le1$）から $r^2/\zeta=\bar\zeta$（$r=|\zeta|$）である。
この例は thm-cp-dbar の 4 をよく表している。$g$ が回転対称で台がコンパクトな $C^1$ 級関数なら、$m_n(g)=0$（$n\ge1$）は自動的に成り立ち、$m_0(g)=M(\infty)=\iint g\,dA$ である。したがって台がコンパクトな解が存在するのは $\iint g\,dA=0$ のときに限り、そうでなければ解 $Tg$ は台を含む原点中心の円板の外で $m_0(g)/(\pi\zeta)$ に等しく、台がコンパクトでない。
$0< r_1< r_2$ とし、$D=\{r_1<|z|< r_2\}$ を円環とする。$D$ の正の向きの境界は、反時計回りの外円 $|z|=r_2$ と時計回りの内円 $|z|=r_1$ である。$f$ が $\overline D$ の近傍で正則なら、thm-cp-main は
$$
f(\zeta)=\frac1{2\pi i}\oint_{|z|=r_2}\frac{f(z)}{z-\zeta}\,dz-\frac1{2\pi i}\oint_{|z|=r_1}\frac{f(z)}{z-\zeta}\,dz\qquad(\zeta\in D)
$$
を与え（円周はどちらも反時計回り）、2 つの積分を等比級数に展開すれば Laurent展開 が得られる。境界が 2 つ以上の閉曲線からなる領域でも、公式はそのまま使える。
反例：仮定を外した場合
thm-cp-main と thm-cp-dbar の仮定を 1 つずつ外すと、結論が崩れる。$\mathbb D=\{|z|<1\}$ とする。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $f$ が $\overline D$ の近傍で $C^1$ 級（$D$ で $C^\infty$ 級、$\overline D$ で連続だけを仮定する） | $D=\mathbb D$、$f(z)=h(\lvert z\rvert^2)$、$h(s)=(1-s)\sin\frac1{1-s}$（$s<1$）、$h(1)=0$ | 面積分の被積分関数が可積分でなく、公式の右辺が意味をもたない |
| $\zeta\in D$（$\zeta\notin\overline D$ にする） | $f\equiv1$、$\zeta=2$、$D=\mathbb D$ | 右辺は $0$ で、$f(\zeta)=1$ に一致しない |
| $g$ が $C^1$ 級（有界可測だけを仮定する） | $g$ は $\mathbb D$ の特性関数 | $Tg$ は $C^1$ 級でない |
| すべてのモーメントが $0$ | 回転対称で $\iint g\,dA>0$ の $g\in C^\infty_c(\mathbb C)$ | 台がコンパクトな解が存在しない |
| $g$ の台がコンパクト | $g\equiv1$ | $Tg$ の積分が発散し、無限遠で $0$ に近づく解も存在しない |
要点：1 行目は $\partial f/\partial\bar z=z\,h'(|z|^2)$ の積分の発散、2 行目は thm-cp-main の 2、3・4 行目は ex-cp-radial、5 行目は円周上の $\bar z$ の積分による。
確かめを開く
1 行目：$h$ は $[0,1]$ で連続なので $f$ は $\overline{\mathbb D}$ で連続、$\mathbb D$ で $C^\infty$ 級であり、$\partial f/\partial\bar z=z\,h'(|z|^2)$ である。極座標と $s=r^2$ により $\iint_{\mathbb D}|\partial f/\partial\bar z|\,dA=2\pi\int_0^1r^2|h'(r^2)|\,dr=\pi\int_0^1\sqrt s\,|h'(s)|\,ds$ である。$h'(s)=-\sin\frac1{1-s}+\frac1{1-s}\cos\frac1{1-s}$ で、第 1 項は有界、第 2 項は $t=1-s$、$u=1/t$ と置くと $\int_1^\infty|\cos u|\,u^{-1}\,du=\infty$ を与える。$\sqrt s\ge1/2$（$s\ge1/4$）なので積分は発散する。
2 行目：thm-cp-main の 2 である。直接には $\frac1{2\pi i}\oint_{|z|=1}\frac{dz}{z-2}=0$（被積分関数は $|z|<2$ で正則）で、面積分の項も $\partial f/\partial\bar z=0$ から $0$ である。
3 行目：ex-cp-radial により $Tg$ は $|\zeta|<1$ で $\bar\zeta$、$|\zeta|>1$ で $1/\zeta$ なので、$\partial(Tg)/\partial\bar\zeta$ は円の内側で $1$、外側で $0$ である。$Tg$ が $C^1$ 級なら $\partial(Tg)/\partial\bar\zeta$ は連続のはずだが、単位円の点で左右の極限が $1$ と $0$ で異なる。
4 行目：ex-cp-radial の後の注意による。
5 行目：$\iint_{\mathbb C}dA/|z-\zeta|=\infty$ である。また $\partial u/\partial\bar z=1$ の $C^1$ 級の解は $u=\bar z+h$（$h$ は整関数）の形に限る。$u\to0$ なら、半径 $R$ の円周 $C_R$ の上で $\oint_{C_R}h\,dz=0$（Cauchyの積分公式 の前提である Cauchy の積分定理）と $\oint_{C_R}\bar z\,dz=2\pi iR^2$ から $\oint_{C_R}u\,dz=2\pi iR^2$ だが、左辺の絶対値は $2\pi R\max_{C_R}|u|=o(R)$ であり、$R\to\infty$ で矛盾する。
1 行目は、境界の近くで $f$ が激しく振動すると、$f$ 自身が連続でも補正項が意味を失うことを示す。3 行目では方程式は円板の内外では成り立つが、境界の円の上で $Tg$ が微分可能でなくなる。4・5 行目は、台をコンパクトに保つことと無限遠で消えることが、$\bar\partial$ 方程式の解に課す制約の違いを表している。
多変数への広がり
多変数の $\bar\partial$ 方程式 $\bar\partial u=\alpha$ を多重円板の上で解く Dolbeault–Grothendieck の補題（Dolbeaultの定理）は、$d\bar z_j$ の添字について帰納法を行い、各段で thm-cp-dbar の 1 を 1 変数ずつ当てて証明される。右辺がほかの変数について正則なら、積分記号の下での微分により Cauchy 変換もそれらの変数について正則になるので、この帰納法がうまく回る。
台がコンパクトな解については、1 変数と多変数で様子が違う。1 変数では thm-cp-dbar の 4 のとおりモーメントの条件が要る。$n\ge2$ 変数では、両立条件 $\partial g_j/\partial\bar z_k=\partial g_k/\partial\bar z_j$ を満たす台がコンパクトな右辺に対して台がコンパクトな解が存在し（Hartogsの拡張定理 の補題「台がコンパクトな解」）、これが Hartogs 現象（多変数の正則関数がコンパクト集合の外から内へ延びること）の源になっている。
関連項目
参考文献
Mathpediaは寄付と、参考文献の書籍リンク（Amazonアソシエイト）の紹介料で運営されています。 支援について ／ 寄付する
