変分法

$R:=\max|u|+\max|u'|+\max|h|+\max|h'|$ とおき、コンパクト集合 $K:=[a,b]\times[-R,R]^2$ をとる。$|\varepsilon|\le1$ なら、以下に現れる点 $(x,y,p)$ はすべて $K$ に入る。$x$ を固定して $y=u(x)$、$p=u'(x)$、$\eta=h(x)$、$\zeta=h'(x)$ と書くと、
$$ F(x,y+\varepsilon\eta,p+\varepsilon\zeta)-F(x,y,p)=\bigl[F(x,y+\varepsilon\eta,p+\varepsilon\zeta)-F(x,y,p+\varepsilon\zeta)\bigr]+\bigl[F(x,y,p+\varepsilon\zeta)-F(x,y,p)\bigr] $$
であり、各括弧に 1 変数の平均値の定理（平均値の定理 の定理「平均値の定理」）を使うと、ある $\theta_1,\theta_2\in(0,1)$ で
$$ \frac{F(x,y+\varepsilon\eta,p+\varepsilon\zeta)-F(x,y,p)}{\varepsilon}=F_y(x,y+\theta_1\varepsilon\eta,p+\varepsilon\zeta)\,\eta+F_p(x,y,p+\theta_2\varepsilon\zeta)\,\zeta $$
となる（$\eta=0$ や $\zeta=0$ の項は両辺とも $0$ である）。$F_y$、$F_p$ は $K$ の上で一様連続なので（一様連続 の定理「Heine–Cantorの定理」）、$\varepsilon\to0$ のとき右辺は $x$ について一様に $F_y(x,u,u')\,h+F_p(x,u,u')\,h'$ に近づく。したがって積分と極限を交換でき、$\varphi'(0)=\delta J(u)[h]$ を得る。$\square$

$f(c)\ne0$ となる $c$ があったとする。$f$ は連続なので $c\in(a,b)$ としてよく、$-f$ に替えて $f(c)>0$ としてよい。$\delta>0$ を、$[c-\delta,c+\delta]\subset(a,b)$ かつその上で $f>0$ となるようにとる。
$$ h(x):=\begin{cases}(x-c+\delta)^2(c+\delta-x)^2&(|x-c|\le\delta)\\0&(\text{それ以外})\end{cases} $$
とおくと、$h$ は $[c-\delta,c+\delta]$ の両端で値も導関数も $0$ になる多項式なので $h\in C^1([a,b])$ であり、$h(a)=h(b)=0$ である。$(c-\delta,c+\delta)$ の上では $fh>0$ なので $\int_a^bfh\,dx>0$ となり、仮定に反する。$\square$

$c:=\frac1{b-a}\int_a^bg\,dx$ とし、$h(x):=\int_a^x\bigl(g(t)-c\bigr)\,dt$ とおく。微分積分学の基本定理により $h\in C^1([a,b])$、$h'=g-c$ であり（微分積分学の基本定理 の定理「積分の上端についての微分」）、$h(a)=0$、$h(b)=\int_a^bg-c(b-a)=0$ なので $h\in\mathcal{V}$ である。仮定と $\int_a^bh'\,dx=h(b)-h(a)=0$ から
$$ \int_a^b(g-c)^2\,dx=\int_a^b(g-c)\,h'\,dx=\int_a^bg\,h'\,dx-c\int_a^bh'\,dx=0 $$
である。$(g-c)^2$ は連続で $0$ 以上なので、$g\equiv c$ である。$\square$

$F_y$、$F_p$ を $(x,u(x),u'(x))$ での値を表す $[a,b]$ 上の連続関数とみる。$G(x):=\int_a^xF_y\,dt$ とおくと、$G\in C^1([a,b])$、$G'=F_y$ である（微分積分学の基本定理 の定理「積分の上端についての微分」）。$h\in\mathcal{V}$ に部分積分を使うと（部分積分 の定理「部分積分の公式」）、$h(a)=h(b)=0$ より
$$ \int_a^bF_y\,h\,dx=\bigl[G\,h\bigr]_a^b-\int_a^bG\,h'\,dx=-\int_a^bG\,h'\,dx $$
である。停留の条件 $\delta J(u)[h]=0$ は、したがって
$$ \int_a^b\bigl(F_p-G\bigr)\,h'\,dx=0\qquad(h\in\mathcal{V}) $$
と書ける。$F_p-G$ は連続なので、lem-cv-dubois により定数 $C$ に等しい。よって $F_p=G+C$ は $C^1$ 級で、その導関数は $G'=F_y$ である。$\square$

$F$ の偏導関数は連続なので $F$ は全微分可能であり（偏微分 の定理「偏導関数が連続なら全微分可能」）、連鎖律から $\frac{d}{dx}F(u,u')=F_y\,u'+F_p\,u''$ である。一方 thm-cv-euler-lagrange により $F_p(u,u')$ は微分可能で導関数は $F_y$ なので、積の微分から $\frac{d}{dx}\bigl(u'F_p\bigr)=u''F_p+u'F_y$ である。差をとると $0$ になる。$\square$

$\mathcal{V}$ の元 $h$ について $u+\varepsilon h$ は同じ集合に入るので、thm-cv-euler-lagrange の証明がそのまま使え、$F_p$ は $C^1$ 級で導関数は $F_y$ である。次に $h(x):=x-a$ とおくと $u+\varepsilon h$ も同じ集合に入るので、lem-cv-first-variation から $\delta J(u)[h]=0$ である。部分積分により
$$ 0=\int_a^b\bigl(F_y\,h+F_p\,h'\bigr)\,dx=\int_a^b\bigl((F_p)'\,h+F_p\,h'\bigr)\,dx=\bigl[F_p\,h\bigr]_a^b=F_p\bigl(b,u(b),u'(b)\bigr)\,(b-a) $$
なので、$F_p\bigl(b,u(b),u'(b)\bigr)=0$ である。$\square$

段 1（接平面の不等式）．$g\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ を偏導関数が連続な凸関数とし、$w,z\in\mathbb{R}^2$ とする。$0< t\le1$ なら凸性から $g(w+t(z-w))\le(1-t)g(w)+tg(z)$ なので
$$ \frac{g\bigl(w+t(z-w)\bigr)-g(w)}{t}\le g(z)-g(w) $$
である。$g$ は全微分可能なので（偏微分 の定理「偏導関数が連続なら全微分可能」）、$t\to0^+$ で左辺は $\nabla g(w)\cdot(z-w)$ に近づき（同じ記事の命題「全微分可能な関数の方向微分」）、
$$ g(z)\ge g(w)+\nabla g(w)\cdot(z-w) $$
を得る。$g$ が狭義凸で $z\ne w$ なら、中点 $m=\frac{z+w}2$ について $g(m)< \frac{g(z)+g(w)}2$ と、上の不等式を $m$ に使った $g(m)\ge g(w)+\frac12\nabla g(w)\cdot(z-w)$ から、狭い不等号 $g(z)>g(w)+\nabla g(w)\cdot(z-w)$ が従う。
段 2（最小性）．$v\in\mathcal{A}$ とし、$h:=v-u\in\mathcal{V}$ とおく。段 1 を各 $x$ で $g=F(x,\cdot,\cdot)$、$w=(u,u')$、$z=(v,v')$ に使うと
$$ F(x,v,v')-F(x,u,u')\ge F_y(x,u,u')\,h+F_p(x,u,u')\,h' $$
である。積分して Euler–Lagrange 方程式 $F_y=(F_p)'$ を使うと
$$ J(v)-J(u)\ge\int_a^b\bigl((F_p)'\,h+F_p\,h'\bigr)\,dx=\bigl[F_p\,h\bigr]_a^b=0 $$
である。
段 3（一意性）．狭義凸のとき $J(v)=J(u)$ とすると、段 2 の不等式の左辺から右辺を引いた連続関数は $0$ 以上で積分が $0$ なので、恒等的に $0$ である。段 1 の狭い不等号から、すべての $x$ で $(v,v')=(u,u')$、すなわち $v=u$ である。$\square$

$\Phi$ の値が下限に近づく点列 $(x_n)$ は、強圧性により有界になり、$E$ の反射性により弱収束する部分列をもつ。$A$ は閉凸なので弱閉であり、凸で下半連続な $\Phi$ は弱下半連続なので、その弱極限が $A$ の中の最小点になる。詳しい証明は 変分法の直接法 の定理「反射的な空間での直接法」にある。$\square$

$H$ が Hilbert 空間であることと、$|v(x)|\le\sqrt x\,\|v\|_H$、$\|v\|_{L^2}^2\le\frac12\|v\|_H^2$ が成り立つことは、Lax–Milgramの定理 の「境界値問題の弱解」の節で示されている（そこでは複素数値だが、実数値の関数の全体は同じ議論で実 Hilbert 空間になる）。とくに $u\mapsto\int_0^1fu$ と $u\mapsto\int_0^1u^2$ は $H$ 上で連続である。
1 を示す。$u,v\in H$ について、展開すると
$$ \mathcal{J}(u+v)=\mathcal{J}(u)+B(u,v)+Q(v),\quad B(u,v):=\int_0^1u'v'+\lambda\int_0^1uv-\int_0^1fv,\quad Q(v):=\frac12\int_0^1v'^2+\frac\lambda2\int_0^1v^2 $$
であり、$Q(v)\ge\frac12\|v\|_H^2$ である。すべての $v$ で $B(u,v)=0$ なら、$v\ne0$ で $\mathcal{J}(u+v)>\mathcal{J}(u)$ となり、$u$ は最小点（しかもただ 1 つ）である。逆に $u$ が最小点なら、$\varepsilon\in\mathbb{R}$ について $\mathcal{J}(u+\varepsilon v)=\mathcal{J}(u)+\varepsilon B(u,v)+\varepsilon^2Q(v)$ は $\varepsilon=0$ で最小なので、$B(u,v)=0$ である。
2 を示す。$H$ は Hilbert 空間なので反射的である（反射的Banach空間 の命題「Hilbert 空間は反射的」）。$\mathcal{J}$ は連続であり、ノルムの 2 乗と $\int v^2$ は凸、$\int fv$ は線形なので凸である。Cauchy–Schwarz の不等式から $\bigl|\int_0^1fv\bigr|\le\|f\|_{L^2}\|v\|_{L^2}\le\|f\|_{L^2}\|v\|_H/\sqrt2$ なので
$$ \mathcal{J}(v)\ge\frac12\|v\|_H^2-\frac{\|f\|_{L^2}}{\sqrt2}\|v\|_H\to+\infty\qquad(\|v\|_H\to\infty) $$
であり、強圧的である。thm-cv-direct を $E=A=H$ に使うと最小点が存在し、1 の証明から最小点はただ 1 つである。$\square$