三角関数のグラフと周期

方針：周期の定義の等式をくり返し使う。
段 1（1 の証明）。$n$ についての数学的帰納法で示す。$n=1$ では仮定そのものである。$nT$ が周期だとすると、$x\in D$ について $x+nT\in D$ であり、$T$ が周期なので
$$ f\bigl(x+(n+1)T\bigr)=f\bigl((x+nT)+T\bigr)=f(x+nT)=f(x) $$
である。$D$ の条件（$x\pm(n+1)T\in D$）も同じようにくり返しで確かめられる。よって $(n+1)T$ も周期である。
段 2（周期は逆向きにも使える）。$T$ が周期なら、$x\in D$ について $y:=x-T\in D$ であり、$f(y+T)=f(y)$ から $f(x)=f(x-T)$ である。
段 3（2 の証明）。$x\in D$ とする。$T_1$ が周期なので $f(x+T_1)=f(x)$ である。段 2 を $T_2$ と点 $x+T_1$ に使うと $f\bigl((x+T_1)-T_2\bigr)=f(x+T_1)$ である。合わせて $f\bigl(x+(T_1-T_2)\bigr)=f(x)$ である。$T_1-T_2>0$ であり、$D$ の条件も $x\pm T_1\mp T_2$ の形で確かめられるので、$T_1-T_2$ は周期である。$\square$

方針：$T$ を $T_0$ で割った余りを作り、余りが $0$ でなければ $T_0$ より小さい周期ができて矛盾することを示す。
段 1（整数倍なら周期）。prop-tgp-period-sum の 1 による。
段 2（割り算）。$T$ を周期とし、$q:=\left\lfloor\dfrac T{T_0}\right\rfloor$ とおく。$q\le\dfrac T{T_0}< q+1$ なので、$r:=T-qT_0$ は $0\le r< T_0$ を満たす。$T\ge T_0$（$T_0$ は最小の周期）なので $q\ge1$ である。
段 3（余りは $0$）。$r>0$ と仮定する。$qT_0$ は段 1 により周期で、$T>qT_0$ なので、prop-tgp-period-sum の 2 により $T-qT_0=r$ も周期である。ところが $0< r< T_0$ で、$T_0$ が最小の周期であることに反する。よって $r=0$、つまり $T=qT_0$ である。$\square$

方針：周期であることは prop-tgp-full-turn から出す。短い周期がないことは、周期 $T$ を特別な点に代入して、$T$ が満たすべき条件を導く。
段 1（$2\pi$ は $\sin,\cos$ の周期）。$(x+2\pi)-x=2\pi$ は $2\pi$ の $1$ 倍なので、prop-tgp-full-turn により $P(x+2\pi)=P(x)$ である。座標を比べて $\cos(x+2\pi)=\cos x$、$\sin(x+2\pi)=\sin x$ である。
段 2（$\cos$ に $2\pi$ より短い周期はない）。$T$ を $\cos$ の周期とする。$x=0$ を代入すると $\cos T=\cos0=1$ である。prop-tgp-full-turn の 1 により $T=2n\pi$（$n$ は整数）で、$T>0$ なので $n\ge1$、つまり $T\ge2\pi$ である。
段 3（$\sin$ に $2\pi$ より短い周期はない）。$T$ を $\sin$ の周期とする。$x=\dfrac\pi2$ を代入すると $\sin\left(\dfrac\pi2+T\right)=\sin\dfrac\pi2=1$ である。$\cos^2+\sin^2=1$ なので $\cos\left(\dfrac\pi2+T\right)=0$ であり、$P\left(\dfrac\pi2+T\right)=(0,1)=P\left(\dfrac\pi2\right)$ である。prop-tgp-full-turn により $T=\left(\dfrac\pi2+T\right)-\dfrac\pi2$ は $2\pi$ の整数倍で、$T>0$ なので $T\ge2\pi$ である。
段 4（$\pi$ は $\tan$ の周期）。定義域 $D=\left\{x:x\ne\dfrac\pi2+n\pi\right\}$ は、$\pi$ を足しても引いても $D$ に移る。prop-tgp-full-turn の 3 により、$x\in D$ について
$$ \tan(x+\pi)=\frac{\sin(x+\pi)}{\cos(x+\pi)}=\frac{-\sin x}{-\cos x}=\tan x $$
である。
段 5（$\tan$ に $\pi$ より短い周期はない）。$T$ を $\tan$ の周期とする。$x=0$ を代入すると $\tan T=\tan0=0$ なので、$\sin T=0$ である。prop-tgp-full-turn の 2 により $T=n\pi$（$n$ は整数）で、$T>0$ なので $T\ge\pi$ である。
段 6（まとめ）。段 1〜3 により、$2\pi$ は $\sin,\cos$ の周期のうち最小である。段 4・5 により、$\pi$ は $\tan$ の周期のうち最小である。$\square$

方針：$g$ の周期の条件を、$u=\omega x+\varphi$ とおいて $h$ の周期の条件に書き直す。
段 1（外側の $A$ 倍と $B$ を外す）。$g(x+T)=g(x)$ は $A\,h\bigl(\omega(x+T)+\varphi\bigr)+B=A\,h(\omega x+\varphi)+B$ である。両辺から $B$ を引いて $A\ne0$ で割ると、これは
$$ h(\omega x+\varphi+\omega T)=h(\omega x+\varphi) $$
と同値である。
段 2（中身がすべての実数を動く）。$x$ がすべての実数を動くとき、$u=\omega x+\varphi$ もすべての実数を動く。どんな実数 $u$ も $x=\dfrac{u-\varphi}\omega$（$\omega\ne0$）とすれば $u=\omega x+\varphi$ と書けるからである。したがって「すべての $x$ で段 1 の等式が成り立つ」ことは「すべての $u$ で $h(u+\omega T)=h(u)$ が成り立つ」ことと同値である。
段 3（$\omega$ の符号）。$\omega>0$ なら、段 2 の条件は「$\omega T=|\omega|T$ が $h$ の周期」そのものである。$\omega<0$ なら $\omega T=-|\omega|T$ で、条件は「すべての $u$ で $h(u-|\omega|T)=h(u)$」である。$u=v+|\omega|T$ とおき直すと「すべての $v$ で $h(v)=h(v+|\omega|T)$」となり、これも「$|\omega|T$ が $h$ の周期」と同値である。
段 4（基本周期）。段 1〜3 により、$T$ が $g$ の周期 ⇔ $|\omega|T$ が $h$ の周期 ⇔ $|\omega|T=nT_0$ となる正の整数 $n$ がある（prop-tgp-fundamental-multiples）⇔ $T=\dfrac{nT_0}{|\omega|}$ である。このうち最小のものは $n=1$ の $\dfrac{T_0}{|\omega|}$ である。$\square$

方針：1 は lem-tgp-linear-change に $h=\sin$ を入れる。2 は $\sin$ のとる値の範囲から出す。3 は式の変形である。
段 1（基本周期）。thm-tgp-basic-periods により $\sin$ の基本周期は $T_0=2\pi$ である。lem-tgp-linear-change により $f$ の基本周期は $\dfrac{2\pi}{|\omega|}$ である。
段 2（値の範囲）。$\sin u$ は $-1\le\sin u\le1$ を満たし、$u=\dfrac\pi2$ で $1$、$u=\dfrac{3\pi}2$ で $-1$ をとる。lem-tgp-linear-change の証明の段 2 のとおり、$u=\omega x+\varphi$ はすべての実数を動くので、$\sin(\omega x+\varphi)$ も $-1$ 以上 $1$ 以下の値をとり、$1$ と $-1$ を実際にとる。$A>0$ なら $A\sin(\omega x+\varphi)$ の最大値は $A$、最小値は $-A$ であり、$A<0$ なら最大値は $-A$、最小値は $A$ である。どちらでも最大値は $|A|$、最小値は $-|A|$ で、$B$ を足して 2 を得る。
段 3（平行移動）。$\omega x+\varphi=\omega\left(x+\dfrac\varphi\omega\right)$ なので、$F(x):=A\sin\omega x+B$ とおくと $f(x)=F\left(x+\dfrac\varphi\omega\right)$ である。点 $(x,y)$ が $y=f(x)$ のグラフ上にあることは、点 $\left(x+\dfrac\varphi\omega,\,y\right)$ が $y=F(x)$ のグラフ上にあることと同じである。したがって $y=f(x)$ のグラフは $y=F(x)$ のグラフを $x$ 軸方向に $-\dfrac\varphi\omega$ 平行移動したものである。
段 4（$\cos$ と $\tan$）。$\cos$ の基本周期も $2\pi$ で、$-1\le\cos u\le1$、$\cos0=1$、$\cos\pi=-1$ なので、段 1〜3 は同じように成り立つ。$\tan$ の基本周期は $\pi$ である（thm-tgp-basic-periods）。lem-tgp-linear-change は実数全体で定義された関数についての補題なので、$\tan$ では定義域を確かめ直す。$g(x)=A\tan(\omega x+\varphi)+B$ の定義域 $D_g$ は、$\omega x+\varphi\ne\dfrac\pi2+n\pi$（$n$ は整数）となる $x$ 全体である。$x$ を $T$ ずらすと $\omega x+\varphi$ は $\omega T$ ずれるので、「$x\in D_g$ なら $x\pm T\in D_g$」は「$u$ が $\tan$ の定義域に入るなら $u\pm|\omega|T$ も入る」と同値である。特に $T=\dfrac\pi{|\omega|}$ なら $u$ は $\pm\pi$ ずれるだけなので、$D_g$ は $x\pm T$ で $D_g$ に移る。そのうえで、lem-tgp-linear-change の証明の段 1〜4 を、「すべての実数 $x$」を「$D_g$ に入る $x$」に、「すべての実数 $u$」を「$\tan$ の定義域に入る $u$」に読みかえると、同じ計算でそのまま成り立つ（$x$ が $D_g$ を動くとき、$u=\omega x+\varphi$ は $\tan$ の定義域全体を動く）。prop-tgp-fundamental-multiples は定義域 $D$ をもつ関数について示してあるので、$\tan$ にも使える。よって基本周期は $\dfrac\pi{|\omega|}$ である。$\square$

方針：$qT_1=pT_2$ を確かめ、それぞれの周期の整数倍であることを使う。
段 1。$\dfrac{T_1}{T_2}=\dfrac pq$ の両辺に $qT_2$ を掛けると $qT_1=pT_2$ である。この数を $T$ とおく。
段 2。prop-tgp-period-sum の 1 により、$T=qT_1$ は $f$ の周期、$T=pT_2$ は $g$ の周期である。
段 3。すべての $x$ で $(f+g)(x+T)=f(x+T)+g(x+T)=f(x)+g(x)=(f+g)(x)$ なので、$T$ は $f+g$ の周期である。$\square$

方針：$f$ の周期は $f$ の 2 回微分 $f''$ の周期でもある。$f''$ と $f$ を組み合わせて $\sin ax$ と $\sin bx$ を 1 つずつ取り出し、周期が両方の基本周期の整数倍であることを示す。微分は数学 III の範囲である。
段 1（周期は微分しても周期）。$T$ を $f$ の周期とする。すべての $x$ で $f(x+T)=f(x)$ なので、両辺を $x$ で微分すると、合成関数の微分（$(x+T)'=1$）により $f'(x+T)=f'(x)$ である。もう一度微分して $f''(x+T)=f''(x)$ である。
段 2（1 つずつ取り出す）。$(\sin ax)''=-a^2\sin ax$、$(\sin bx)''=-b^2\sin bx$ なので
$$ f''(x)+b^2f(x)=(b^2-a^2)\sin ax,\qquad f''(x)+a^2f(x)=(a^2-b^2)\sin bx $$
である。段 1 により、左辺は $T$ を周期にもつ。$a\ne b$ なので $b^2-a^2\ne0$ で割ってよく、$T$ は $\sin ax$ の周期であり、同じく $\sin bx$ の周期でもある。
段 3（整数倍）。lem-tgp-linear-change により $\sin ax$ の基本周期は $\dfrac{2\pi}a$、$\sin bx$ の基本周期は $\dfrac{2\pi}b$ である。prop-tgp-fundamental-multiples により、正の整数 $m,n$ があって
$$ T=\frac{2\pi m}a=\frac{2\pi n}b $$
である。これから $\dfrac ab=\dfrac mn$ で、$\dfrac ab$ は有理数である。これで 1 の「⇒」を示した。
段 4（1 の「⇐」）。$\dfrac ab=\dfrac pq$ とすると、$\dfrac{T_1}{T_2}=\dfrac{2\pi/a}{2\pi/b}=\dfrac ba=\dfrac qp$ は有理数なので、prop-tgp-common-period により $f$ は周期 $p\cdot\dfrac{2\pi}a=q\cdot\dfrac{2\pi}b$ をもつ。$\dfrac{2\pi p}a=\dfrac{2\pi q}b$ は $\dfrac ab=\dfrac pq$ から出る。
段 5（基本周期）。$T$ を $f$ の任意の周期とする。段 3 により $T=\dfrac{2\pi m}a$、$\dfrac mn=\dfrac ab=\dfrac pq$ である。$mq=np$ で、$p$ は $mq$ を割り切り、$p$ と $q$ は互いに素なので、$p$ は $m$ を割り切る（$p$ の素因数分解に現れる素数の冪は $q$ に含まれないので、すべて $m$ に含まれる。素因数分解がただ 1 通りであることは 素因数分解の一意性 で証明する）。$m=kp$（$k$ は正の整数）とすると $T=k\cdot\dfrac{2\pi p}a\ge\dfrac{2\pi p}a$ である。段 4 により $\dfrac{2\pi p}a$ 自身は周期なので、これが最小の周期である。$\square$

方針：和が $2$ になるのは 2 つの正弦が同時に $1$ になるときに限る。その条件から $\sqrt2$ が有理数になることを導き、矛盾させる。
段 1（同時に 1）。$\sin x\le1$、$\sin\sqrt2\,x\le1$ なので、和は $2$ 以下であり、$2$ になるのは $\sin x=1$ かつ $\sin\sqrt2\,x=1$ のときに限る。
段 2（角の条件）。$\sin\theta=1$ は $P(\theta)=(0,1)=P\left(\dfrac\pi2\right)$ と同じなので、prop-tgp-full-turn により $\theta=\dfrac\pi2+2n\pi$（$n$ は整数）と同値である。したがって整数 $m,n$ があって
$$ x=\frac\pi2+2m\pi,\qquad \sqrt2\,x=\frac\pi2+2n\pi $$
である。
段 3（矛盾）。1 つ目の式を $\sqrt2$ 倍して 2 つ目と比べ、両辺を $\dfrac\pi2$ で割ると $\sqrt2\,(1+4m)=1+4n$ である。$1+4m$ は $4$ で割って $1$ 余る整数なので $0$ でない。よって $\sqrt2=\dfrac{1+4n}{1+4m}$ は有理数になり、$\sqrt2$ が無理数であることに反する。したがって和が $2$ になる $x$ はない。$\square$

方針：$x_m=\dfrac\pi2+2m\pi$ での値を、小数部分の言葉に直す。
段 1。$\sin x_m=1$ なので $f(x_m)=1+\sin\sqrt2\,x_m$ である。$f(x_m)$ が $2$ に近いことは、$\sin\sqrt2\,x_m$ が $1$ に近いこと、つまり角 $\sqrt2\,x_m$ が $\dfrac\pi2+2n\pi$ の形の角に近いことである。
段 2。$\sqrt2\,x_m-\dfrac\pi2=2\pi\left(\sqrt2\,m+\dfrac{\sqrt2-1}4\right)$ である。実際、右辺は $2\sqrt2\,m\pi+\dfrac{(\sqrt2-1)\pi}2$ で、左辺 $\sqrt2\left(\dfrac\pi2+2m\pi\right)-\dfrac\pi2=2\sqrt2\,m\pi+\dfrac{\sqrt2\pi-\pi}2$ に等しい。
段 3。したがって、$c:=\dfrac{\sqrt2-1}4$ として、$\sqrt2\,m+c$ が整数に近いほど、$\sqrt2\,x_m$ は $\dfrac\pi2$ に $2\pi$ の整数倍を足した角に近く、$f(x_m)$ は $2$ に近い。$m=7$ では $\sqrt2\cdot7+c=10.0030\ldots$ で、整数 $10$ に近い。これが ex-tgp-near-two の $f(x_7)=1.99981\ldots$ である。$\square$