Kürschákのタイル

半径 $R$ の円に内接する正十二角形では、$n=12$、$\dfrac{360^\circ}{12}=30^\circ$、$\sin30^\circ=\dfrac12$ なので
$$ 12\cdot\frac12R^2\cdot\frac12=3R^2 $$
である。この円に外接する正方形の 1 辺は円の直径 $2R$ なので、面積は $(2R)^2=4R^2$ である。したがって
$$ \frac{(\text{正十二角形の面積})}{(\text{外接正方形の面積})}=\frac{3R^2}{4R^2}=\frac34 $$
である。$R=1$ なら、正十二角形の面積は $3$、正方形の面積は $4$ である。

半径 $R$ の円に内接する正方形を、4 つの頂点が外接正方形の辺の中点 $(R,0)$、$(0,R)$、$(-R,0)$、$(0,-R)$ にくるようにとる。
外接正方形から内接正方形を除くと、4 つの角に直角二等辺三角形が残る。たとえば右上の角の三角形は、頂点が $(R,R)$、$(R,0)$、$(0,R)$ である。これを内接正方形の辺（$(R,0)$ と $(0,R)$ を結ぶ線分）で折り返すと、頂点 $(R,R)$ は原点 $O$ に移る（線分 $(R,0)$–$(0,R)$ の中点は $\left(\dfrac R2,\dfrac R2\right)$ で、$(R,R)$ と $O$ の中点になっている）。
こうして、内接正方形は $x$ 軸と $y$ 軸で 4 つの直角二等辺三角形に分かれ、角の 4 つの三角形はそれぞれそのどれかと合同である。外接正方形は合同な三角形 8 枚からなり、そのうち 4 枚が内接正方形なので
$$ \frac{(\text{内接正方形の面積})}{(\text{外接正方形の面積})}=\frac48=\frac12 $$
である。公式でも $4\cdot\dfrac12R^2\sin90^\circ=2R^2$、$\dfrac{2R^2}{4R^2}=\dfrac12$ で一致する。

1. 三角形 $OV_0V_1$ は $OV_0=OV_1=R$、$\angle V_0OV_1=30^\circ$ なので、余弦定理から
   $$ s^2=R^2+R^2-2R^2\cos30^\circ=\left(2-\sqrt3\right)R^2 $$
   である。$R=1$ なら $s^2=2-\sqrt3=0.2679\ldots$、$s=0.5176\ldots$ である。
2. タイル $T$ の底辺の長さを $u$ とすると、余弦定理と $\cos150^\circ=-\dfrac{\sqrt3}2$ から
   $$ u^2=s^2+s^2-2s^2\cos150^\circ=\left(2+\sqrt3\right)s^2=\left(2+\sqrt3\right)\left(2-\sqrt3\right)R^2=R^2 $$
   である。したがってタイル $T$ の底辺は、ちょうど円の半径 $R$ に等しい。
3. 面積は、三角形の面積の公式から $e=\dfrac12s^2\sin60^\circ=\dfrac{\sqrt3}4s^2$、$t=\dfrac12s^2\sin150^\circ=\dfrac14s^2$ である。$R=1$ なら $e=\dfrac{\sqrt3}4\left(2-\sqrt3\right)=\dfrac{2\sqrt3-3}4=0.1160\ldots$、$t=\dfrac{2-\sqrt3}4=0.0669\ldots$ である。

$R=1$、$k=0$ とする。$V_0=(1,0)$、$V_1=\left(\dfrac{\sqrt3}2,\dfrac12\right)$ で、$s^2=2-\sqrt3$ である（ex-kt-s）。lem-kt-center によれば $W_0$ は $O$ から向き $15^\circ$、距離 $s$ の点で、座標は
$$ W_0=\left(\frac12,\ \frac{2-\sqrt3}2\right)=(0.5,\ 0.1339\ldots) $$
である（$s\cos15^\circ=2\sin15^\circ\cos15^\circ=\sin30^\circ$、$s\sin15^\circ=2\sin^215^\circ=1-\cos30^\circ$ から。$s=2\sin15^\circ$ は cor-kt-sin15 の証明の段 3 で示す）。三角比を使わずに 3 つの距離の 2 乗を直接計算すると、$OW_0^2=V_0W_0^2=V_1W_0^2=2-\sqrt3$ となる。

$R=1$ とする。ex-kt-s (3) の $e=\dfrac{2\sqrt3-3}4$、$t=\dfrac{2-\sqrt3}4$ を使うと
$$ e+2t=\frac{2\sqrt3-3}4+\frac{2\left(2-\sqrt3\right)}4=\frac{2\sqrt3-3+4-2\sqrt3}4=\frac14 $$
で、prf-kt-main の段 3 の $e+2t=\dfrac{R^2}4$ と一致する。よって
$$ 12e+24t=12\cdot\frac14=3,\qquad 16e+32t=16\cdot\frac14=4 $$
であり、正十二角形の面積 $3$ と外接正方形の面積 $4$ がタイルの面積の和として確かめられる。$e$ と $t$ はどちらも無理数だが、組 $e+2t$ にすると $\sqrt3$ が打ち消し合って有理数 $\dfrac14$ になる。

1. タイル $T$ の底角は $15^\circ$ である。頂点から底辺に下ろした垂線で 2 つの直角三角形に分けると、底辺の長さは $2s\cos15^\circ$ である。ex-kt-s (2) により底辺は $R$ なので、$R=2s\cos15^\circ$ である。cor-kt-sin15 の $s^2=\left(2-\sqrt3\right)R^2$ から
   $$ \cos^215^\circ=\frac{R^2}{4s^2}=\frac1{4\left(2-\sqrt3\right)}=\frac{2+\sqrt3}4 $$
   である。$\left(\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}4\right)^2=\dfrac{8+4\sqrt3}{16}=\dfrac{2+\sqrt3}4$ なので、$\cos15^\circ=\dfrac{\sqrt6+\sqrt2}4=0.9659\ldots$ である。
   (2) 数値と $\sin^215^\circ+\cos^215^\circ=1$ で確かめる

   (2) $\sin15^\circ=\dfrac{2.4494\ldots-1.4142\ldots}4=0.2588\ldots$、$\cos15^\circ=\dfrac{2.4494\ldots+1.4142\ldots}4=0.9659\ldots$ で、$\sin^215^\circ+\cos^215^\circ=\dfrac{2-\sqrt3}4+\dfrac{2+\sqrt3}4=1$ となる。

半径 $R$ の円に外接する正十二角形は、中心 $O$ と頂点を結ぶと、高さ $R$、底辺 $2R\tan15^\circ$ の二等辺三角形 12 個に分かれる。$\tan15^\circ=2-\sqrt3$（正多角形で円周率を挟む の例「正方形・正六角形・正十二角形で挟む」）を使うと、面積は
$$ 12\cdot\frac12\cdot2R\tan15^\circ\cdot R=12\left(2-\sqrt3\right)R^2=\left(24-12\sqrt3\right)R^2=3.2153\ldots R^2 $$
である。$3R^2$ より大きく、外接正方形（1 辺 $2R$）との比は $\dfrac{24-12\sqrt3}4=6-3\sqrt3=0.8038\ldots$ で、$\dfrac34$ にならない。「内接」と「外接」を取り違えると主張が崩れる。

半径 $R$ の円の上に、向き $0^\circ,20^\circ,60^\circ,80^\circ,120^\circ,140^\circ,\dots$ の 12 点をとる（向きの差が $20^\circ$ と $40^\circ$ の交互）。これらを順に結んだ十二角形は円に内接するが、辺の長さが $2R\sin10^\circ$ と $2R\sin20^\circ$ の 2 種類あり、正十二角形ではない。
面積は $3R^2\cos10^\circ=2.9544\ldots R^2$ で、$3R^2$ より小さい。

半径 $R$ の円に内接する正八角形を、4 つの頂点が外接正方形の辺の中点にくるようにとる。外接正方形は、中心の三角形 8 個（頂角 $45^\circ$）と、角の四角形 4 個の、合わせて 12 個のかけらに分かれる（図 5）。正八角形はそのうち 8 個でできている。
もし枚数の比が面積の比なら、比は $\dfrac8{12}=\dfrac23=0.6666\ldots$ のはずである。しかし実際の比は、表のとおり $\dfrac{2\sqrt2R^2}{4R^2}=\dfrac{\sqrt2}2=0.7071\ldots$ である。
理由は、かけらの面積がそろっていないことである。中心の三角形は $\dfrac12R^2\sin45^\circ=\dfrac{\sqrt2}4R^2=0.3535\ldots R^2$、角の四角形は $\dfrac{4R^2-2\sqrt2R^2}4=\left(1-\dfrac{\sqrt2}2\right)R^2=0.2928\ldots R^2$ で、等しくない。prf-kt-main で枚数を数えてよかったのは、lem-kt-center と lem-kt-corner で、かけらがすべて $E$ か $T$ に合同であることを確かめたからである。