特異点解消

$k$ の標数は $2$ でないとし、$C=V(f)$、$f=y^2-x^2-x^3$ とする。原点は $C$ の通常2重点（節点）であり、$f$ の最低次部分 $f_2=(y-x)(y+x)$ は相異なる 2 本の接線（接線）を与える。$\partial f/\partial x=-2x-3x^2$ と $\partial f/\partial y=2y$ が $C$ 上で同時に消えるのは原点だけである。
$U_y$ では $f(x,xt)=x^2(t^2-1-x)$ である。全変換は $x^2(t^2-1-x)=0$、狭義変換 $\tilde C\cap U_y$ は $g:=t^2-1-x=0$ で与えられる。$\partial g/\partial x=-1\ne0$ なので $\tilde C\cap U_y$ は正則である。$\tilde C\cap E$ は $x=0$、$t=\pm1$ の 2 点で、各点で $\partial g/\partial t=2t\ne0$ なので $\tilde C$ の接線は $E$（$x=0$）の接線と異なり、横断的に交わる。$U_x$ では $f(sy,y)=y^2(1-s^2-s^3y)$ で、狭義変換は $U_x$ にしかない点 $s=y=0$ を通らない。
したがって $\pi|_{\tilde C}\colon\tilde C\to C$ は正則な曲線からの固有双有理射で原点の外で同型であり、$C$ の特異点解消である。例外集合は 2 点で、節点の 2 本の枝がそこに分かれた。全変換 $\tilde C\cup E$ は 2 本の正則曲線が 2 点で横断的に交わる強正規交叉因子であり、$\pi$ は対 $(\mathbb{A}^2,C)$ の埋め込み解消でもある。因子として $\pi^*C=\tilde C+2E$ である（prop-resolution-plane-curve）。

$C=V(f)$、$f=y^2-x^3$ とする。原点は尖点で、最低次部分 $f_2=y^2$ の接線は $y=0$ の 1 本（重根）である。$\partial f/\partial x=-3x^2$、$\partial f/\partial y=2y$ から、どの標数でも特異点は原点だけである。
1 回目のブローアップ。$U_y$ では $f(x,xt)=x^2(t^2-x)$ で、狭義変換は $g_1:=t^2-x=0$ である。$\partial g_1/\partial x=-1\ne0$ なので $\tilde C$ は正則である。$\tilde C\cap E$ は 1 点 $p_1=(0,0)$ で、そこで $\partial g_1/\partial t=2t=0$ なので $\tilde C$ の接線は $E$ の接線 $x=0$ に一致する。$U_x$ では $f(sy,y)=y^2(1-s^3y)$ で、狭義変換は $E$ と交わらない。よって $\tilde C\to C$ は特異点解消であり、例外集合は 1 点 $p_1$ である。
しかし全変換 $\tilde C\cup E$ は $p_1$ で 2 本の曲線が接しているので強正規交叉因子でない。接点をさらにブローアップする。局所座標 $(u,v):=(x,t)$、$\tilde C\colon v^2=u$、$E_1:=E\colon u=0$ とおく。
2 回目（中心 $p_1$）。図 $u=vs$ では $v^2-u=v(v-s)$ となり、$C$ の狭義変換 $v=s$、新しい例外因子 $E_2\colon v=0$、$E_1$ の狭義変換 $s=0$ の 3 本の正則曲線が原点 $p_2$ を通り、互いに横断的である。3 本が 1 点を通るので 2 次元では正規交叉因子でない。$f$ の引き戻しは $v^3s^2(v-s)$ で、因子として $C+2E_1+3E_2$ である。
3 回目（中心 $p_2$）。図 $v=sw$ では $s^6w^3(w-1)$、図 $s=vr$ では $v^6r^2(1-r)$ となり、例外因子 $E_3$（$s=0$、$v=0$）が $E_2$、$C$、$E_1$ の狭義変換（$w=0$、$w=1$、$r=0$）とそれぞれ 1 点で横断的に交わり、3 本以上が通る点はない。したがって 3 回のブローアップの合成 $g\colon X'\to\mathbb{A}^2$ は対 $(\mathbb{A}^2,C)$ の埋め込み解消であり、
$$ g^*C=C_3+2E_1+3E_2+6E_3 $$
（$C_3$ は $C$ の最終的な狭義変換、$E_i$ もそれぞれの狭義変換）である。尖点の埋め込み解消には 3 回のブローアップが要り、係数 $2,3,6$ が現れる。

$X=V(h)\subset\mathbb{A}^3$、$h=xy-z^2$（2 次錐）とする。偏微分 $(y,x,-2z)$ が $X$ 上で同時に消えるのは原点だけ（標数 $2$ でも $x=y=0$ から $z=0$）なので、原点が唯一の特異点であり、これはDu Val特異点の $A_1$ 型（曲面の通常2重点）である。$X$ は正規である（超曲面は Cohen–Macaulay（Cohen–Macaulay環）で特異集合の余次元が $2$。Mat86 Theorem 23.8）から、曲線（thm-resolution-curve）と違って正規化では特異点は解消されない。
原点でのブローアップ $\pi\colon\operatorname{Bl}_0\mathbb{A}^3\to\mathbb{A}^3$ の 3 枚の図で、$X$ の狭義変換 $\tilde X$ を計算する。$U_z$（$x=za$、$y=zb$）では $h=z^2(ab-1)$ で、狭義変換 $ab=1$ は $\{ab=1\}\times\mathbb{A}^1_z$ に同型なので正則である。$U_x$（$y=xb$、$z=xc$）では $h=x^2(b-c^2)$ で、狭義変換 $b=c^2$ は $(x,c)$ を座標とするアフィン平面に同型なので正則である。$U_y$ は $U_x$ と対称である。よって $\tilde X$ は正則であり、$\pi|_{\tilde X}\colon\tilde X\to X$ は固有（$\tilde X$ は $\operatorname{Bl}_0\mathbb{A}^3$ の閉部分スキーム）で原点の外で同型、すなわち $X$ の特異点解消である。例外集合 $E\cap\tilde X$ は $E\cong\mathbb{P}^2$ の中の 2 次曲線 $ab=c^2$（斉次座標 $[a:b:c]$）であり、$[s:t]\mapsto[s^2:t^2:st]$ により $\mathbb{P}^1$ に同型である。1 点の特異点の上に曲線が載っている。

$p$ を奇素数、$k=\mathbb{F}_p(\tau)$（$\tau$ は不定元。完全でない体）、$X=V(f)\subset\mathbb{A}^2_k$、$f=y^2-x^p+\tau$ とする。$\partial f/\partial x=-px^{p-1}=0$、$\partial f/\partial y=2y$ なので、$X$ は $y=0$、$x^p=\tau$ で定まる閉点（閉点）$x_0$ で $k$ 上滑らかでない。一方、$\mathcal{O}_{X,x_0}$ の極大イデアルは $y$ と $x^p-\tau$ の像で生成され、$X$ 上で $x^p-\tau=y^2$ なので $y$ だけで生成される。$\dim\mathcal{O}_{X,x_0}=1$ なので $\mathcal{O}_{X,x_0}$ は正則局所環（離散付値環）である。この $X$ は「正則」という性質を満たすが「$k$ 上滑らか」という性質を満たさず、「正則ならば滑らか」という含意を破る。完全でない体の上では def-resolution-main の条件 1 を「正則」とするか「滑らか」とするかで意味が変わるが、標数 $0$ の Hironaka の定理（thm-resolution-hironaka）ではこの区別は生じない。