極大トーラスの共役定理

段 1（$\mathfrak{a}$ は可換）：$X,Y\in\mathfrak{a}$ なら $e^{sX}e^{tY}=e^{tY}e^{sX}$ がすべての $s,t$ で成り立つ。両辺を $s$ と $t$ で 1 回ずつ微分して $s=t=0$ とおくと $XY=YX$ である。

段 2（$\exp$ は全射な準同型）：段 1 と rem-mt-facts の 4 から $e^{X+Y}=e^Xe^Y$ なので、$\exp|_{\mathfrak{a}}$ は加法群 $\mathfrak{a}$ から $A$ への準同型で、像 $E$ は部分群である。rem-mt-facts の 2 を $A$ に当てると、$E$ は $I$ の $A$ での近傍 $V$ を含む。$y\in E$ なら $yV\subset E$ なので $E$ は開集合であり、$A\setminus E$ は開集合 $yE$（$y\notin E$）の和なので $E$ は閉集合でもある。$A$ は連結なので $E=A$ である。また $\exp(X+Y)=e^Xe^Y$ と rem-mt-facts の 2 から、$\exp|_{\mathfrak{a}}$ は各点の近くで開写像である。

段 3（核は格子）：核 $\Lambda$ は部分群で、rem-mt-facts の 2 により $0$ の近傍 $U$ で $U\cap\Lambda=\{0\}$ となるものがあるので、離散部分群である。格子(群) の定理「離散部分群の構造」により、一次独立な $v_1,\dots,v_m\in\mathfrak{a}$ で $\Lambda=\mathbb{Z}v_1+\dots+\mathbb{Z}v_m$ となるものがある。これを $\mathfrak{a}$ の基底 $v_1,\dots,v_r$ に延ばす。段 2 により $\exp$ は連続な全単射 $\mathfrak{a}/\Lambda\to A$ を引き起こし、これは開写像でもあるので同相写像である。$m< r$ なら $\sum_it_iv_i\mapsto t_r$ は $\mathfrak{a}/\Lambda$ から $\mathbb{R}$ への全射な連続写像を定め、像が有界でないので $\mathfrak{a}/\Lambda$ はコンパクトでない。$A$ はコンパクトなので $m=r$ であり、$\sum_it_iv_i\mapsto(t_i)$ を $\mathbb{Z}^r$ で割って $A\cong\mathfrak{a}/\Lambda\cong\mathbb{R}^r/\mathbb{Z}^r$ を得る。

段 4：トーラス $S$ は連結で可換な閉部分群なので、段 2 から $S=\exp(\mathfrak{s})$ である。$\square$

$\mathfrak{a}:=\mathfrak{t}+\mathbb{R}Y$ は、lem-mt-abelian の段 1 と仮定により可換な部分空間である。rem-mt-facts の 4 から $\exp(\mathfrak{a})$ は可換な部分群で、連結集合 $\mathfrak{a}$ の連続像なので連結である。その閉包 $A$ は $G$ の閉部分群で、可換（積が連続なので可換性は閉包に引き継がれる）かつ連結である。lem-mt-abelian により $A$ はトーラスで、$T=\exp(\mathfrak{t})\subset A$ なので、極大性から $A=T$ である。よってすべての $s$ で $e^{sY}\in T$ となり、$Y\in\mathfrak{t}$ である。後半：$\mathfrak{t}\subset\mathfrak{a}'$ で $\mathfrak{a}'$ が可換なら、$\mathfrak{a}'$ の元は $\mathfrak{t}$ のすべての元と可換なので $\mathfrak{t}$ に属する。$\square$

$\mathfrak{t}$ は可換なので、どの $H\in\mathfrak{t}$ についても $\mathfrak{t}\subset\ker\operatorname{ad}H$ である。$\dim\ker\operatorname{ad}H$ が最小になる $H\in\mathfrak{t}$ をとり、$K:=\ker\operatorname{ad}H$ とおく。$H'\in\mathfrak{t}$ を任意にとる。Jacobi の恒等式と $[H,H']=0$ から $\operatorname{ad}H\circ\operatorname{ad}H'=\operatorname{ad}H'\circ\operatorname{ad}H$ なので、$\operatorname{ad}H'$ は $K$ を $K$ に写す。歪対称な写像は不変な部分空間の直交補空間も保つので、$\operatorname{ad}H$ と $\operatorname{ad}H'$ はともに $K^\perp$ を保つ。$\operatorname{ad}H$ は $K^\perp$ の上で単射なので可逆であり、可逆な写像の全体は開集合なので、十分小さい $s\ne0$ について $\operatorname{ad}(H+sH')=\operatorname{ad}H+s\operatorname{ad}H'$ も $K^\perp$ の上で可逆である。一方 $K$ の上では $\operatorname{ad}(H+sH')=s\operatorname{ad}H'$ である。よって $\ker\operatorname{ad}(H+sH')=\ker(\operatorname{ad}H'|_K)$ であり、$H$ の選び方から $\dim\ker(\operatorname{ad}H'|_K)\ge\dim K$、すなわち $\operatorname{ad}H'$ は $K$ の上で $0$ である。$H'$ は任意なので、$K$ の元はすべての $H'\in\mathfrak{t}$ と可換であり、lem-mt-centralizer により $K\subset\mathfrak{t}$ である。$\square$

lem-mt-regular の正則な元 $H\in\mathfrak{t}$ をとる。$f(x):=\langle xXx^{-1},H\rangle$ はコンパクトな $G$ の上の連続関数なので、最大値をとる点 $x_0$ がある。$X_0:=x_0Xx_0^{-1}$ とおくと $X_0\in\mathfrak{g}$ である（rem-mt-facts の 1）。$Z\in\mathfrak{g}$ を任意にとると、$e^{sZ}x_0\in G$ なので $\varphi(s):=f(e^{sZ}x_0)=\langle e^{sZ}X_0e^{-sZ},H\rangle$ は $s=0$ で最大になり、$\varphi'(0)=\langle[Z,X_0],H\rangle=0$ である。rem-mt-facts の 5 を 2 回使うと $\langle[Z,X_0],H\rangle=-\langle X_0,[Z,H]\rangle=\langle X_0,[H,Z]\rangle=-\langle[H,X_0],Z\rangle$ なので、すべての $Z\in\mathfrak{g}$ について $\langle[H,X_0],Z\rangle=0$ である。$[H,X_0]\in\mathfrak{g}$ なので $Z=[H,X_0]$ とおいて $[H,X_0]=0$ を得る。正則性から $X_0\in\mathfrak{t}$ である。$\square$

$\mathbb{R}^{2N^2}$ の中での加速度は $c''(t)=e^{tX}X^2$ である。rem-mt-facts の 3 により $T_{c(t)}G=e^{tX}\mathfrak{g}$ なので、$Y\in\mathfrak{g}$ について、rem-mt-facts の 5 から $\langle e^{tX}X^2,e^{tX}Y\rangle=\langle X^2,Y\rangle=\operatorname{Re}\operatorname{tr}((X^*)^2Y)=\operatorname{Re}\operatorname{tr}(X^2Y)$ である（$X^*=-X$）。$A:=X^2Y$ とおくと、$Y^*=-Y$ から $A^*=Y^*(X^*)^2=-YX^2$ で、$\overline{\operatorname{tr}A}=\operatorname{tr}A^*=-\operatorname{tr}(YX^2)=-\operatorname{tr}A$ なので $\operatorname{tr}A$ は純虚数であり、$\langle c''(t),e^{tX}Y\rangle=0$ である。よって $c''(t)$ は $T_{c(t)}G$ に直交する。曲線に沿う Gauss の公式（Lee18 Corollary 8.3、p. 229）により、$G$ の中での共変微分 $D_tc'$ は $\mathbb{R}^{2N^2}$ での加速度 $c''$ の接成分に等しいので、$D_tc'=0$ であり、$c$ は測地線である。$\square$

$G$ はコンパクトで連結な Riemann 多様体なので、Hopf–Rinowの定理 の系「コンパクトなリーマン多様体は完備」により、測地線 $\gamma\colon[0,1]\to G$ で $\gamma(0)=I$、$\gamma(1)=g$ となるものがある。$X:=\gamma'(0)\in T_IG=\mathfrak{g}$ とおくと、lem-mt-geodesic の $c(t)=e^{tX}$ も $c(0)=I$、$c'(0)=X$ をみたす測地線なので、測地線の一意性（測地線 の命題「測地線の局所存在と一意性」）により $[0,1]$ の上で $\gamma=c$ であり、$g=\gamma(1)=e^X$ である。$\square$

1．lem-mt-exp により $g=e^X$（$X\in\mathfrak{g}$）と書ける。thm-mt-lie-algebra により $xXx^{-1}\in\mathfrak{t}$ となる $x\in G$ があり、$xgx^{-1}=e^{xXx^{-1}}\in\exp(\mathfrak{t})=T$ である（lem-mt-abelian）。

2．共役 $y\mapsto xyx^{-1}$ は $G$ の位相群としての自己同型なので、トーラスをトーラスに、極大トーラスを極大トーラスに写し、$xT'x^{-1}$ の Lie 環は $x\mathfrak{t}'x^{-1}$ である（$e^{sxYx^{-1}}=xe^{sY}x^{-1}$）。$T'$ について lem-mt-regular の正則な元 $H'\in\mathfrak{t}'$ をとる。thm-mt-lie-algebra により $H'':=xH'x^{-1}\in\mathfrak{t}$ となる $x\in G$ がある。$Y\mapsto xYx^{-1}$ は括弧を保つ $\mathfrak{g}$ の線形同型なので、$\ker\operatorname{ad}H''=x(\ker\operatorname{ad}H')x^{-1}=x\mathfrak{t}'x^{-1}$ である。$H''\in\mathfrak{t}$ で $\mathfrak{t}$ は可換なので $\mathfrak{t}\subset\ker\operatorname{ad}H''=x\mathfrak{t}'x^{-1}$ であり、$x\mathfrak{t}'x^{-1}$ は可換なので lem-mt-centralizer の後半により $\mathfrak{t}=x\mathfrak{t}'x^{-1}$ である。lem-mt-abelian により $T=\exp(\mathfrak{t})=x\exp(\mathfrak{t}')x^{-1}=xT'x^{-1}$ である。

3．1 の $x$ について $g\in x^{-1}Tx$ であり、$x^{-1}Tx$ は極大トーラスである。指数写像の全射性は lem-mt-exp である。$\square$

thm-mt-main の 2 により、極大トーラスの全体は $\{xTx^{-1}\mid x\in G\}$ である。$z\in Z(G)$ とする。thm-mt-main の 1 により $xzx^{-1}\in T$ となる $x$ があり、$xzx^{-1}=z$ なので $z\in T$ である。$T$ の代わりに任意の極大トーラスをとっても同じなので、$z$ はすべての極大トーラスに属する。逆に $z$ がすべての極大トーラスに属するとする。$g\in G$ は thm-mt-main の 3 によりある極大トーラス $T_g$ に属し、$T_g$ は可換で $z\in T_g$ なので $zg=gz$ である。よって $z\in Z(G)$ である。最後に、$G$ が可換なら $G=Z(G)\subset T\subset G$ なので $G=T$ はトーラスであり、トーラスは可換である。$\square$

トーラス $S\subsetneq S'$ について $\mathfrak{s}\subset\mathfrak{s}'$ であり、$\dim\mathfrak{s}=\dim\mathfrak{s}'$ なら $\mathfrak{s}=\mathfrak{s}'$ なので、lem-mt-abelian により $S=\exp(\mathfrak{s})=\exp(\mathfrak{s}')=S'$ となって矛盾する。よって $\dim\mathfrak{s}<\dim\mathfrak{s}'$ である。$S$ を含むトーラスの次元は $\dim\mathfrak{g}$ 以下なので、$S$ を含むトーラスのうち次元が最大のもの $T_0$ がある。$T_0$ を真に含むトーラスは次元がさらに大きいので存在せず、$T_0$ は極大トーラスである。$\square$