Schwartzの核定理
概要
Schwartzの核定理（Schwartz kernel theorem）とは、Euclid 空間の開集合 $X$、$Y$ の上のテスト関数の組に対する分離連続な双線形形式 $B(\varphi,\psi)$ が、ただ 1 つの超関数 $\mathcal{K}\in\mathcal{D}'(X\times Y)$ によって $B(\varphi,\psi)=\langle\mathcal{K},\varphi\otimes\psi\rangle$ と表されるという定理である。言い換えると、テスト関数の空間から超関数の空間への連続線形写像は、超関数を核とする作用素として書ける。証明は Baire のカテゴリー定理による評価と立方体の上の Fourier 展開による。恒等写像の核は対角線の上のデルタであり、作用素の台や特異性を核の性質として調べる出発点になる。
前提知識: 超関数, Baireのカテゴリー定理, Fourier級数, Fubiniの定理
作用素を核で表す
有限次元では、線形写像 $T\colon\mathbb{C}^n\to\mathbb{C}^m$ は行列 $(k_{ij})$ で $(T\psi)_i=\sum_jk_{ij}\psi_j$ と表される。関数の空間でこれにあたるのは積分作用素 $T\psi(x)=\int k(x,y)\psi(y)\,dy$ であり、関数 $k(x,y)$ を 核 という。しかし恒等写像や微分のような基本的な作用素は、関数を核とする積分作用素では書けない。
Schwartz の核定理は、超関数を核として許せば、テスト関数から超関数への連続線形写像はすべて核で表され、しかも核はただ 1 つに決まることを述べる。恒等写像の核は対角線の上のデルタ $\delta(x-y)$ であり、微分作用素の核はその微分である。作用素の性質（台や特異性）を、核という 1 つの超関数の性質として調べられるようになる。
設定と核の定義
$X\subset\mathbb{R}^m$、$Y\subset\mathbb{R}^n$ を開集合とする。テスト関数の空間 $\mathcal{D}(X)$、コンパクト集合 $K\subset X$ に台が含まれるテスト関数の空間 $\mathcal{D}_K(X)$、半ノルム
$$
p_{K,N}(\varphi):=\max_{|\alpha|\le N}\sup_{x\in K}|\partial^\alpha\varphi(x)|
$$
は 超関数 の記事の記号に従う。$\mathcal{D}_K(X)$ には距離
$$
d(\varphi,\psi):=\sum_{N\ge0}2^{-N}\min\{1,p_{K,N}(\varphi-\psi)\}
$$
を入れる（lem-skt-frechet。$Y$ の側の $\mathcal{D}_L(Y)$ も同様）。線形汎関数 $u\colon\mathcal{D}(X)\to\mathbb{C}$ が超関数であるとは、各 $K$ に対して $|\langle u,\varphi\rangle|\le C_Kp_{K,N_K}(\varphi)$（$\varphi\in\mathcal{D}_K(X)$）となることである（同記事の定義「超関数」）。$\varphi\in\mathcal{D}(X)$ と $\psi\in\mathcal{D}(Y)$ のテンソル積を $(\varphi\otimes\psi)(x,y):=\varphi(x)\psi(y)$ と書く。$\varphi\otimes\psi\in\mathcal{D}(X\times Y)$ であり、$\partial_x^\alpha\partial_y^\beta(\varphi\otimes\psi)=\partial^\alpha\varphi\otimes\partial^\beta\psi$ から
$$
p_{K\times L,N}(\varphi\otimes\psi)\le p_{K,N}(\varphi)\,p_{L,N}(\psi)
$$
である。
- $d$ は $\mathcal{D}_K(X)$ 上の距離であり、$\mathcal{D}_K(X)$ は $d$ について完備である。
- $\varphi_0\in\mathcal{D}_K(X)$ と $\varepsilon>0$ に対し、整数 $N'$ と $r>0$ があって、$p_{K,N'}(\varphi-\varphi_0)\le r$ なら $d(\varphi,\varphi_0)<\varepsilon$ である。
- 超関数 $u$ の $\mathcal{D}_K(X)$ への制限は $d$ について連続である。
要点：$\min\{1,p_{K,N}(\varphi-\psi)\}\le2^Nd(\varphi,\psi)$ により、$d$ についての Cauchy 列では各導関数が一様に Cauchy になり、その一様極限が滑らかな極限を与える。
詳しい証明を開く
$p_{K,N}$ は半ノルムなので $\min\{1,p_{K,N}(\cdot)\}$ も三角不等式を満たし、$d$ は対称で三角不等式を満たす。$d(\varphi,\psi)=0$ なら $p_{K,0}(\varphi-\psi)=0$ なので $\varphi=\psi$ である。定義から $\min\{1,p_{K,N}(\varphi-\psi)\}\le2^Nd(\varphi,\psi)$ である。
2：$2^{-N'}<\varepsilon/2$ となる $N'$ と $r:=\varepsilon/8$ をとる。半ノルムは $N$ について増加するので、$p_{K,N'}(\varphi-\varphi_0)\le r$ なら $d$ の級数の $N\le N'$ の項の和は $2r=\varepsilon/4$ 以下、$N>N'$ の項の和は $2^{-N'}<\varepsilon/2$ 以下であり、$d(\varphi,\varphi_0)<\varepsilon$ である。
3：$|\langle u,\varphi\rangle|\le C_Kp_{K,N_K}(\varphi)$ である。$0<\delta<1$ について $d(\varphi,\psi)<2^{-N_K}\delta$ なら $p_{K,N_K}(\varphi-\psi)<\delta$ なので、$|\langle u,\varphi\rangle-\langle u,\psi\rangle|< C_K\delta$ である。
1 の完備性：$(\varphi_j)$ を $d$ についての Cauchy 列とし、各 $\varphi_j$ を $K$ の外で $0$ として $\mathbb{R}^m$ 上の関数とみる。上の不等式により、各 $\alpha$ について $(\partial^\alpha\varphi_j)$ は $\mathbb{R}^m$ 全体で一様に Cauchy なので、連続関数 $g_\alpha$ に一様収束し、$g_\alpha$ は $K$ の外で $0$ である。座標軸に平行な直線上の有界な開区間ごとに、実部と虚部へ 一様収束 の記事の定理「一様収束と微分の交換」を当てると、偏導関数 $\partial_ig_\alpha$ が存在して $g_{\alpha+e_i}$ に等しい。$|\alpha|$ についての帰納法により、$\varphi:=g_0$ はすべての偏導関数が存在して連続、すなわち滑らかで、$\partial^\alpha\varphi=g_\alpha$ である。$K$ は閉集合なので $\operatorname{supp}\varphi\subset K$、$\varphi\in\mathcal{D}_K(X)$ である。各 $N$ で $p_{K,N}(\varphi_j-\varphi)\to0$ なので、$d$ の級数を初めの有限項と残り（$2^{-N}$ の和で小さい）に分けると $d(\varphi_j,\varphi)\to0$ である。$\square$
- 双線形写像 $B\colon\mathcal{D}(X)\times\mathcal{D}(Y)\to\mathbb{C}$ が 分離連続 であるとは、各 $\psi$ について $\varphi\mapsto B(\varphi,\psi)$ が $X$ 上の超関数であり、各 $\varphi$ について $\psi\mapsto B(\varphi,\psi)$ が $Y$ 上の超関数であることをいう。
- 分離連続な $B$ に対し、$\langle\mathcal{K},\varphi\otimes\psi\rangle=B(\varphi,\psi)$ がすべての $\varphi,\psi$ で成り立つ $\mathcal{K}\in\mathcal{D}'(X\times Y)$ を $B$ の 核（Schwartz 核）という。
線形写像 $T\colon\mathcal{D}(Y)\to\mathcal{D}'(X)$ で、各 $\varphi\in\mathcal{D}(X)$ について $\psi\mapsto\langle T\psi,\varphi\rangle$ が超関数になるもの（超関数 の記事の定義「超関数の収束」の意味で、$\mathcal{D}(Y)$ で収束する列を収束する列に写す線形写像と言っても同じである。評価から列の収束が保たれ、逆に列の収束が保たれれば、$\mathcal{D}_L(Y)$ は距離空間なので $0$ で連続になり、lem-skt-frechet の 2 と斉次性から評価が出る）は、$B(\varphi,\psi):=\langle T\psi,\varphi\rangle$ と分離連続な双線形形式を 1 対 1 に対応する。$B$ の核を $T$ の核ともいう。
逆に、どの $\mathcal{K}\in\mathcal{D}'(X\times Y)$ も $B(\varphi,\psi):=\langle\mathcal{K},\varphi\otimes\psi\rangle$ によって分離連続な $B$ を定める。実際、$\operatorname{supp}\varphi\subset K$ を固定すると、上の不等式から $\operatorname{supp}\psi\subset L$ のとき $|B(\varphi,\psi)|\le C_{K\times L}\,p_{K,N}(\varphi)\,p_{L,N}(\psi)$ である。
主定理は次の形である：分離連続な双線形形式は、ただ 1 つの核をもつ（thm-skt-kernel）。その証明は 3 段からなる。分離連続性を、各 $\mathcal{D}_K\times\mathcal{D}_L$ の上の評価に強める（lem-skt-joint）。テスト関数を立方体の上で Fourier 級数に展開する（lem-skt-fourier）。展開の各項は $e^{ij\cdot x/a}e^{ik\cdot y/a}$ という積の形なので、$B$ を項ごとに当てて足せば $\mathcal{K}$ が得られる。
証明の準備
$B$ を分離連続な双線形形式、$K\subset X$、$L\subset Y$ をコンパクト集合とする。定数 $C$ と整数 $N$ があり、すべての $\varphi\in\mathcal{D}_K(X)$、$\psi\in\mathcal{D}_L(Y)$ について
$$
|B(\varphi,\psi)|\le C\,p_{K,N}(\varphi)\,p_{L,N}(\psi)
$$
が成り立つ。
整数 $N,M\ge1$ に対して
$$
F_{N,M}:=\{\varphi\in\mathcal{D}_K(X)\mid\text{すべての }\psi\in\mathcal{D}_L(Y)\text{ で }|B(\varphi,\psi)|\le M\,p_{L,N}(\psi)\}
$$
とおく。各 $\psi$ について $\varphi\mapsto B(\varphi,\psi)$ は $\mathcal{D}_K(X)$ 上で連続なので（lem-skt-frechet の 3）、$F_{N,M}$ は閉集合の共通部分として閉集合である。各 $\varphi$ について $\psi\mapsto B(\varphi,\psi)$ は超関数なので、ある $N,M$ で $\varphi\in F_{N,M}$ となる。よって $\mathcal{D}_K(X)=\bigcup_{N,M}F_{N,M}$ である。$\mathcal{D}_K(X)$ は空でない完備距離空間なので（lem-skt-frechet の 1）、Baireのカテゴリー定理 の記事の定理「Baire のカテゴリー定理」により、ある $F_{N,M}$ は内点 $\varphi_0$ をもつ。lem-skt-frechet の 2 により、ある $N'$ と $r>0$ があって、$p_{K,N'}(\varphi)\le r$ なら $\varphi_0+\varphi\in F_{N,M}$ である。そのような $\varphi$ について
$$
|B(\varphi,\psi)|\le|B(\varphi_0+\varphi,\psi)|+|B(\varphi_0,\psi)|\le2M\,p_{L,N}(\psi)
$$
である。一般の $\varphi\ne0$ には $r\varphi/p_{K,N'}(\varphi)$ を当てはめ（$p_{K,N'}(\varphi)=0$ なら $\varphi=0$）、$|B(\varphi,\psi)|\le\frac{2M}r\,p_{K,N'}(\varphi)\,p_{L,N}(\psi)$ を得る。$N$ と $N'$ の大きい方をとればよい。$\square$
$\mathcal{D}_K(X)$ の完備性がこの議論の要である。完備でないノルム空間では、分離連続な双線形形式がこのような評価をもたないことがある（下の反例の表）。
$d$ 次元の立方体 $Q_a:=(-a\pi,a\pi)^d$（$a>0$）と $\kappa\in\mathbb{Z}^d$ について、$e_\kappa(z):=e^{i\kappa\cdot z/a}$ とおく。台が $Q_a$ に含まれる $\Phi\in C_c^\infty(\mathbb{R}^d)$ の Fourier 係数 を
$$
c_\kappa(\Phi):=(2\pi a)^{-d}\int_{Q_a}\Phi(z)\,\overline{e_\kappa(z)}\,dz
$$
で定める。
台が $Q_a$ に含まれる $\Phi\in C_c^\infty(\mathbb{R}^d)$ と整数 $s\ge0$ について
- $|c_\kappa(\Phi)|\le(1+|\kappa|^2)^{-s}\sup|(1-a^2\Delta)^s\Phi|$ である。
- $Q_a$ の上で $\Phi=\sum_\kappa c_\kappa(\Phi)e_\kappa$ であり、$|\kappa|_\infty\le M$ の項の部分和を $S_M\Phi$ とすると、すべての多重指数 $\alpha$ について $\partial^\alpha S_M\Phi\to\partial^\alpha\Phi$ が $Q_a$ の上で一様に成り立つ。
1：$-a^2\Delta\overline{e_\kappa}=|\kappa|^2\overline{e_\kappa}$ であり、$\Phi$ は $Q_a$ の境界の近くで $0$ なので、部分積分を繰り返して $(1+|\kappa|^2)^sc_\kappa(\Phi)=c_\kappa((1-a^2\Delta)^s\Phi)$ を得る。右辺の絶対値は $\sup|(1-a^2\Delta)^s\Phi|$ 以下である。
2：$|\partial^\alpha e_\kappa|=|\kappa^\alpha|a^{-|\alpha|}$ なので、1 で $2s>|\alpha|+d$ とすれば、項別に微分した級数は $\sum_\kappa(1+|\kappa|^2)^{|\alpha|/2-s}<\infty$ で抑えられ、一様に絶対収束する。したがって和 $G$ は滑らかで、$\partial^\alpha S_M\Phi\to\partial^\alpha G$ は一様である。残りは $Q_a$ の上で $G=\Phi$ を示すことである。
$G=\Phi$ の証明を開く
$d$ についての帰納法による。$d=1$ では、$\Phi$ を周期 $2\pi a$ で延ばした関数は滑らかなので、Fourier級数 の記事の定理「連続で区分的に $C^1$ 級の関数の一様収束」（周期が $2\pi$ でない場合は同記事の注意「周期が $2\pi$ でない場合」）により $\Phi=\sum_kc_ke_k$ である。$d\ge2$ では $z=(z',t)$ と書き、$z'$ を固定して $t$ について 1 変数の場合を使うと $\Phi(z',t)=\sum_kb_k(z')e^{ikt/a}$、$b_k(z'):=(2\pi a)^{-1}\int\Phi(z',t)e^{-ikt/a}dt$ である。$b_k$ は滑らかで台が $(-a\pi,a\pi)^{d-1}$ に含まれ、その Fourier 係数は Fubiniの定理 により $c_{(\kappa',k)}(\Phi)$ に等しい。帰納法の仮定から $b_k=\sum_{\kappa'}c_{(\kappa',k)}e_{\kappa'}$ であり、2 重の和は 1 により絶対収束するので、和の順序によらず $\Phi=\sum_\kappa c_\kappa e_\kappa=G$ である。 $\square$
核定理の証明
分離連続な双線形形式 $B\colon\mathcal{D}(X)\times\mathcal{D}(Y)\to\mathbb{C}$ は、ただ 1 つの核 $\mathcal{K}\in\mathcal{D}'(X\times Y)$ をもつ。したがって、上の意味で連続な線形写像 $T\colon\mathcal{D}(Y)\to\mathcal{D}'(X)$ と $X\times Y$ 上の超関数は、$\langle T\psi,\varphi\rangle=\langle\mathcal{K},\varphi\otimes\psi\rangle$ によって 1 対 1 に対応する。
構成。 コンパクト集合 $K\subset X$、$L\subset Y$ をとる。$K$ の近傍で $1$ となる $\chi\in\mathcal{D}(X)$ と、$L$ の近傍で $1$ となる $\vartheta\in\mathcal{D}(Y)$ を選び、$K':=\operatorname{supp}\chi$、$L':=\operatorname{supp}\vartheta$ とおく。$K'\times L'$ が $Q_a\subset\mathbb{R}^{m+n}$ に含まれるように $a$ をとり、$\kappa=(j,k)\in\mathbb{Z}^m\times\mathbb{Z}^n$ について $e_\kappa=e_j\otimes e_k$ と分ける。
$$
b_{jk}:=B(\chi e_j,\vartheta e_k)
$$
とおく。lem-skt-joint を $K',L'$ に使い、$p_{K',N}(\chi e_j)\le C_1(1+|j|)^N$ に注意すると、$|b_{jk}|\le C_2(1+|j|^2+|k|^2)^N$ である。$\Phi\in\mathcal{D}_{K\times L}(X\times Y)$ に対して
$$
\Lambda(\Phi):=\sum_{j,k}c_{(j,k)}(\Phi)\,b_{jk}
$$
と定める。lem-skt-fourier の 1 で $2s>2N+m+n$ とすると、級数は絶対収束し、$|\Lambda(\Phi)|\le C_3\,p_{K\times L,2s}(\Phi)$ である。
近似。 $\chi\otimes\vartheta=1$ が $K\times L$ の近傍で成り立つので、$\Phi=(\chi\otimes\vartheta)\Phi$ である。lem-skt-fourier の 2 と Leibniz の公式から、テンソル積の有限和
$$
\Phi_M:=(\chi\otimes\vartheta)\,S_M\Phi=\sum_{|j|_\infty,|k|_\infty\le M}c_{(j,k)}(\Phi)\,(\chi e_j)\otimes(\vartheta e_k)
$$
は $\mathcal{D}_{K'\times L'}(X\times Y)$ で $\Phi$ に収束する。$\qquad(\ast)$
テンソル積での値。 $\varphi\in\mathcal{D}_K(X)$、$\psi\in\mathcal{D}_L(Y)$ なら $c_{(j,k)}(\varphi\otimes\psi)=c_j(\varphi)c_k(\psi)$ である。1 変数ごとの $(\ast)$ により $\varphi_M:=\chi S_M\varphi\to\varphi$（$\mathcal{D}_{K'}(X)$）、$\psi_M:=\vartheta S_M\psi\to\psi$（$\mathcal{D}_{L'}(Y)$）であり、lem-skt-joint から
$$
|B(\varphi,\psi)-B(\varphi_M,\psi_M)|\le C\bigl(p_{K',N}(\varphi-\varphi_M)p_{L',N}(\psi)+p_{K',N}(\varphi_M)p_{L',N}(\psi-\psi_M)\bigr)\to0
$$
である。$B(\varphi_M,\psi_M)$ は $\Lambda(\varphi\otimes\psi)$ の級数の部分和なので、$\Lambda(\varphi\otimes\psi)=B(\varphi,\psi)$ を得る。
選び方によらないこと。 $(K,L,\chi,\vartheta,a)$ と別の選び方 $(K_1,L_1,\chi_1,\vartheta_1,a_1)$ から $\Lambda$、$\Lambda_1$ を作り、$\Phi$ が両方の定義域にあるとする。$K'\cup K_1'$ と $L'\cup L_1'$ に対して 3 つ目の $\Lambda_2$ を作る。$\Lambda(\Phi)$ の部分和は $\sum c_{(j,k)}(\Phi)B(\chi e_j,\vartheta e_k)=\Lambda_2(\Phi_M)$（前段を $\Lambda_2$ に使う）であり、$\Lambda_2$ の連続性と $(\ast)$ から $\Lambda(\Phi)=\Lambda_2(\Phi)$ である。同様に $\Lambda_1(\Phi)=\Lambda_2(\Phi)$ である。
結論。 $X\times Y$ のコンパクト集合は、射影の像 $K$、$L$ の積 $K\times L$ に含まれる。したがって $\mathcal{K}(\Phi):=\Lambda(\Phi)$ は $\mathcal{D}(X\times Y)$ 全体の上で矛盾なく定まり（2 つの $\Phi$ の和は共通の $K\times L$ で扱えるので線形である）、各 $\mathcal{D}_{K\times L}$ の上で評価をもつので超関数である。前々段により $\langle\mathcal{K},\varphi\otimes\psi\rangle=B(\varphi,\psi)$ である。一意性：核 $\mathcal{K}$、$\tilde{\mathcal{K}}$ は $(\ast)$ の $\Phi_M$ のようなテンソル積の有限和の上で一致し、$(\ast)$ と連続性から $\mathcal{K}(\Phi)=\tilde{\mathcal{K}}(\Phi)$ である。$\square$
証明の $(\ast)$ は、テンソル積の有限和が $\mathcal{D}(X\times Y)$ で（各 $\mathcal{D}_{K'\times L'}$ の位相で）稠密であることを示している。核の一意性はこの稠密性から来る。
例
- $k\in L^1_{\mathrm{loc}}(X\times Y)$ なら、$T\psi(x):=\int k(x,y)\psi(y)\,dy$ の核は正則超関数 $k$ である。Fubiniの定理 により $\langle T\psi,\varphi\rangle=\iint k(x,y)\varphi(x)\psi(y)\,dx\,dy$ だからである。たとえば Laplace 作用素の 基本解 $\Gamma$ による Newton ポテンシャル $\psi\mapsto\Gamma*\psi$ の核は $\Gamma(x-y)$ である（Green関数 の記事の定理「Newton ポテンシャル」）。
- $X=Y$ のとき、恒等写像 $\mathcal{D}(X)\to\mathcal{D}'(X)$ の核は $\langle\mathcal{K},\Phi\rangle=\int_X\Phi(x,x)\,dx$ で与えられる。$\Phi=\varphi\otimes\psi$ で $\int\varphi\psi\,dx$ となるからである。この $\mathcal{K}$ を $\delta(x-y)$ と書く。
- $\psi\mapsto\partial^\alpha\psi$ の核は $\langle\mathcal{K}_\alpha,\Phi\rangle=\int_X(\partial_y^\alpha\Phi)(x,x)\,dx$ である。
核の台は作用素の局所性を表す。2・3 の核の台は対角線 $\{x=y\}$ に含まれ、これは $T\psi$ の台が $\psi$ の台に含まれることにあたる。積分作用素の核 $\Gamma(x-y)$ の台は $X\times Y$ 全体であり、Newton ポテンシャルは遠くの値にも影響される。
条件を外したときの反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 核に超関数を許すこと | 恒等写像 $\mathcal{D}(X)\to\mathcal{D}'(X)$ | 核を局所可積分関数にとること |
| 核に超関数を許すこと（$L^2(0,1)$ の有界作用素の核を $L^2((0,1)^2)$ に求める） | $L^2(0,1)$ の恒等作用素 | 核を $L^2((0,1)^2)$ の関数にとること |
| 定義域の完備性（lem-skt-joint） | $\ell^2$ ノルムを入れた有限列の空間と $B(x,y)=\sum_kk\,x_ky_k$ | 分離連続性から積の形の評価を導くこと |
1 行目：$k\in L^1_{\mathrm{loc}}(X\times X)$ が恒等写像の核だとする。互いに交わらない開集合 $U,V\subset X$ をとると、台が $U$、$V$ に含まれる $\varphi,\psi$ について $\iint k\varphi\psi=\int\varphi\psi=0$ なので、thm-skt-kernel の一意性を $U\times V$ に使って、$k$ は $U\times V$ でほとんどいたるところ $0$ である（超関数 の記事の命題「局所可積分関数の埋め込みは単射」）。$\{x\ne y\}$ は、閉包が交わらない有理数を端点とする箱の組 $U\times V$ の可算個で覆えるので、そこで $k=0$（ほとんどいたるところ）であり、対角線は測度 $0$ である。よって $k=0$ となり、$\int\varphi^2\,dx=0$ がすべての実数値の $\varphi$ で成り立つことになって矛盾する。
2 行目：$k\in L^2((0,1)^2)$ と $Tf(x):=\int_0^1k(x,y)f(y)\,dy$ を考え、$(e_n)$ を $L^2(0,1)$ の実数値の正規直交系とする。Fubiniの定理 によりほとんどすべての $x$ で $k(x,\cdot)\in L^2$ であり、$Te_n(x)$ は $k(x,\cdot)$ と $e_n$ の内積なので、Besselの不等式 から $\sum_n|Te_n(x)|^2\le\int_0^1|k(x,y)|^2dy$ である。$x$ で積分して $\sum_n\|Te_n\|_2^2\le\|k\|_2^2<\infty$ となるが、$T$ が恒等作用素なら左辺は $\sum_n1=\infty$ である。
3 行目：$x$ を固定すると $|B(x,y)|\le(\sum_kk^2|x_k|^2)^{1/2}\|y\|_2$ なので $y\mapsto B(x,y)$ は連続であり、対称性から $x$ についても連続である。しかし $\|e_k\|_2=1$ で $B(e_k,e_k)=k$ なので、$|B(x,y)|\le C\|x\|_2\|y\|_2$ となる $C$ はない。
文献と背景
多様体の上で、コンパクトな台をもつ滑らかな関数の空間から滑らかな関数の空間への連続線形作用素についての主張は Kna16a p. 361 にある。同書の第 V 章 Problems 14–18（pp. 209–211）は、トーラスの上の滑らかな関数について、Baire のカテゴリー定理と Fourier 級数による証明を誘導問題として与えている。この記事の証明は同じ考え方を、立方体と切り落としの関数 $\chi$、$\vartheta$ を使って開集合の上に移し、選び方によらないことと一意性を加えたものである。Gro52 第 II 章 n° 1（pp. 99–100）は、核定理を $\mathbb{R}^m$・$\mathbb{R}^n$ 上の滑らかな関数の空間 $\mathcal{E}$ の位相的テンソル積についての等式 $\mathcal{E}(\mathbb{R}^m)\hat\otimes_\pi\mathcal{E}(\mathbb{R}^n)=\mathcal{E}(\mathbb{R}^m)\hat\otimes_\varepsilon\mathcal{E}(\mathbb{R}^n)$ として述べ直し、この性質をもつ局所凸空間として核型空間を導入している。
関連項目
- 前提: 超関数, Baireのカテゴリー定理, Fourier級数, Fubiniの定理
- 例: 基本解, Green関数, 微分作用素
- 比較: Besselの不等式, 緩増加超関数とFourier変換
参考文献
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