C^r級関数

$f$ の $1$ 階から $r$ 階までの偏導関数は、ある $j$ について $\partial_jf$ そのものか、$\partial_jf$ の $1$ 階から $r-1$ 階までの偏導関数である。よって、すべての $\partial_jf$ が存在して $C^{r-1}$ 級であることは、$f$ の $1$ 階から $r$ 階までの偏導関数がすべて存在して連続であることと同じである。残るのは $f$ 自身の連続性で、これは 1 階偏導関数が連続なら 偏微分 の定理「偏導関数が連続なら全微分可能」から従う。$\square$

写像が $C^{r-1}$ 級であることは各成分が $C^{r-1}$ 級であることなので、成分ごとに見てよい。
2 ⇒ 1：$f$ が全微分可能なら、Jacobi行列 の命題「全微分の行列はJacobi行列」の 1 によりすべての偏導関数が存在し、$Df$ の $(i,j)$ 成分は $\partial_jf_i$ である。仮定から各 $\partial_jf_i$ は $C^{r-1}$ 級であり、lem-cr-first-partials により各 $f_i$ は $C^r$ 級である。
1 ⇒ 2：各 $f_i$ は $C^r$ 級なので、lem-cr-first-partials により $\partial_jf_i$ は存在して $C^{r-1}$ 級、とくに連続である。同じ命題の 2 により $f$ は各点で全微分可能で、$Df$ の成分は $\partial_jf_i$ である。よって $Df$ は $C^{r-1}$ 級である。$\square$

$C^\infty$ 級はすべての有限の $r$ での主張から従うので、有限の $r$ について帰納法で示す。$r=0$ は連続関数の和・積・商・合成が連続であることにほかならない。$r\ge1$ とし、$r-1$ で 1 と 2 が成り立つとする。
1：$f,g$ は $C^1$ 級なので各点で全微分可能であり（偏微分 の定理「偏導関数が連続なら全微分可能」）、$x_j$ 方向の 1 変数の微分法から
$$ \partial_j(f+g)=\partial_jf+\partial_jg,\qquad\partial_j(fg)=(\partial_jf)\,g+f\,(\partial_jg),\qquad\partial_j\Bigl(\frac1g\Bigr)=-\frac{\partial_jg}{g^2} $$
である。$\partial_jf,\partial_jg\in C^{r-1}(U)$（lem-cr-first-partials）、$f,g\in C^r(U)\subset C^{r-1}(U)$ なので、帰納法の仮定（$r-1$ での 1）により右辺はどれも $C^{r-1}$ 級である（$1/g^2$ は $C^{r-1}$ 級の $g^2$ の逆数）。lem-cr-first-partials により $f+g$、$fg$、$1/g$ は $C^r$ 級である。$\lambda f$ は $\lambda$ を定数関数とみて積に含まれる。
2：成分ごとに見てよいので $p=1$ とする。$f$、$g$ は $C^1$ 級なので全微分可能であり、連鎖律 の定理「多変数の連鎖律」と Jacobi行列 の命題「全微分の行列はJacobi行列」により、$g\circ f$ はすべての偏導関数をもち
$$ \partial_j(g\circ f)=\sum_{k=1}^{m}\bigl((\partial_kg)\circ f\bigr)\,\partial_jf_k $$
である。$\partial_kg\in C^{r-1}(V)$ と $f\in C^{r-1}(U,\mathbb{R}^m)$ に帰納法の仮定（$r-1$ での 2）を当てると $(\partial_kg)\circ f\in C^{r-1}(U)$ であり、$\partial_jf_k\in C^{r-1}(U)$ なので、$r-1$ での 1 により右辺は $C^{r-1}$ 級である。lem-cr-first-partials により $g\circ f$ は $C^r$ 級である。$\square$

$f'$ は連続で $0$ にならないので、中間値の定理 により $I$ 上で符号が一定である。よって $f$ は狭義単調であり（平均値の定理 の系「導関数の符号と増減」）、連続な関数の区間の像なので $J$ は区間である。単調関数 の系「狭義単調関数の逆関数の連続性」により $g$ は連続である。連鎖律 の系「逆関数の微分公式」により $g$ は $J$ の各点で微分可能で $g'=1/(f'\circ g)$ である。
$r$ が有限のとき、$0\le k< r$ について $g\in C^k(J)$ なら $g\in C^{k+1}(J)$ であることを示せばよい（$k=0$ は上で示した）。$f'\in C^{r-1}(I)$ と $g\in C^k(J)$ に thm-cr-operations の 2（$\min\{k,r-1\}=k$ の場合）を当てると $f'\circ g\in C^k(J)$ であり、これは $0$ にならないので同じ定理の 1 により $g'=1/(f'\circ g)\in C^k(J)$ である。よって $g\in C^{k+1}(J)$ である。ここで thm-cr-operations は区間の上の形で使った。$r=\infty$ ならすべての有限の $r$ に当てればよい。$\square$

1：$r\ge1$ について $g_r'=(r+1)g_{r-1}$ を示す。$x>0$ では $g_r(x)=x^{r+1}$、$x< 0$ では $g_r(x)=-x^{r+1}$ なので、$x\ne0$ で $g_r'(x)=\pm(r+1)x^r=(r+1)x^{r-1}|x|$ である。$0$ では差分商が $\frac{g_r(x)}{x}=x^{r-1}|x|\to0$（$r\ge1$）なので $g_r'(0)=0=(r+1)g_{r-1}(0)$ である。これを繰り返すと $g_r^{(r)}=(r+1)!\,g_0=(r+1)!\,|x|$ であり、これは連続だが $0$ で微分可能でない（導関数 の例「反例：連続だが微分可能でない関数」）。よって $g_r$ は $C^r$ 級で、$0$ で $r+1$ 回微分可能でない。
2：$\varphi$ は連続（$|\varphi(x)|\le x^2$）なので、微分積分学の基本定理 の系「連続関数の原始関数」により $F_1$ は $\mathbb{R}$ 上で微分可能で $F_1'=\varphi$ であり、とくに $F_1$ は連続である。帰納的に、各 $F_k$ は微分可能で $F_k'=F_{k-1}$ である。よって $F_r^{(r)}=\varphi$ である。導関数 の例「反例：導関数が連続でない微分可能な関数」により $\varphi$ は $\mathbb{R}$ 上で微分可能だが $\varphi'$ は $0$ で連続でない。したがって $F_r$ は $r+1$ 回微分可能で、$F_r^{(r+1)}=\varphi'$ は連続でない。$\square$

$(f_n)$ を $\|\cdot\|_{C^r}$ についての Cauchy 列とする。$0\le k\le r$ について $\sup|f_n^{(k)}-f_m^{(k)}|\le\|f_n-f_m\|_{C^r}$ なので、$(f_n^{(k)})_n$ は一様 Cauchy 列であり、連続関数 $h_k$ に一様収束する（Banach空間 の命題「有界連続関数の空間の完備性」）。
$0\le k< r$ とする。$f_n^{(k)}$ は $[a,b]$ 上で微分可能で導関数 $f_n^{(k+1)}$ は連続なので、微分積分学の基本定理 の定理「原始関数による積分の計算」により
$$ f_n^{(k)}(x)=f_n^{(k)}(a)+\int_a^xf_n^{(k+1)}(t)\,dt\qquad(a\le x\le b) $$
である。$n\to\infty$ とすると、左辺と右辺の第 1 項は $h_k(x)$、$h_k(a)$ に収束し、積分は 一様収束 の定理「一様収束と積分の交換」（区間 $[a,x]$ に当てる）により $\int_a^xh_{k+1}(t)\,dt$ に収束する。よって $h_k(x)=h_k(a)+\int_a^xh_{k+1}(t)\,dt$ であり、$h_{k+1}$ は連続なので、微分積分学の基本定理 の系「連続関数の原始関数」により $h_k$ は $[a,b]$ 上で微分可能で $h_k'=h_{k+1}$ である。
これを $k=0,1,\dots,r-1$ に使うと、$h_0$ は $r$ 回微分可能で $h_0^{(k)}=h_k$ であり、$h_r$ は連続なので $h_0\in C^r([a,b])$ である。さらに $\|f_n-h_0\|_{C^r}=\sum_{k\le r}\sup|f_n^{(k)}-h_k|\to0$ である。$\square$