実多元体

要点：$R_e(e)=L_e(e)=ee$ なので $ee$ が単位元になり、長さを保つ写像の逆写像も長さを保つ。

要点：$a\ne0$ を固定し、$L_a^{-1}L_b$ の固有値 $\lambda$ をとると $b=\lambda a$ となる。

1：$n:=\dim A\ge3$ と仮定して矛盾を導く。$A=\mathbb{R}^n$ とみなし、$S^{n-1}$ を単位球面、$q\colon S^{n-1}\to\mathbb{RP}^{n-1}$ を商写像とする（実射影空間）。
正規化した平方。 $x\in S^{n-1}$ なら $x\ne0$ なので $x^2:=xx\ne0$ であり、
$$ f\colon S^{n-1}\to S^{n-1},\qquad f(x):=\frac{x^2}{|x^2|} $$
が定まる。$x^2$ の各座標は $x$ の座標の 2 次式なので $f$ は連続であり、双線形性から $(-x)^2=x^2$、すなわち $f(-x)=f(x)$ である。$q(x)=q(y)$ となるのは $y=\pm x$ のときに限り、$q$ はコンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な全射なので商写像である。よって $f=\bar f\circ q$ を満たす連続写像 $\bar f\colon\mathbb{RP}^{n-1}\to S^{n-1}$ がただ 1 つある。
単射であること。 $f(x)=f(y)$（$x,y\in S^{n-1}$）とし、$\alpha:=(|x^2|/|y^2|)^{1/2}>0$ とおくと $x^2=\alpha^2y^2$ である。双線形性と可換性から
$$ (x+\alpha y)(x-\alpha y)=x^2-\alpha\,xy+\alpha\,yx-\alpha^2y^2=x^2-\alpha^2y^2=0 $$
であり、零因子がないので $x=-\alpha y$ または $x=\alpha y$ である。$|x|=|y|=1$、$\alpha>0$ なので $\alpha=1$、$x=\pm y$ であり、$q(x)=q(y)$ である。よって $\bar f$ は単射である。結合法則はここで使っていない。
同相になること。 $\mathbb{RP}^{n-1}$ は空でないコンパクトな $(n-1)$ 次元位相多様体であり、$S^{n-1}$ は連結な $(n-1)$ 次元位相多様体である。領域不変性定理 の系「コンパクトな多様体の埋め込み」により、連続な単射 $\bar f$ は全射で、$\mathbb{RP}^{n-1}$ と $S^{n-1}$ は同相である。
矛盾。 $n-1\ge2$ なので $S^{n-1}$ は単連結である（n次元球面 の定理「基本群の値」）。一方 実射影空間 の補題「2 重被覆が定める 1 次の類」により、$\pi_1(\mathbb{RP}^{n-1})$ から $\mathbb{Z}/2$ への $0$ でない準同型があるので、$\pi_1(\mathbb{RP}^{n-1})$ は自明でない。基本群は同相で不変なので矛盾である。したがって $n\le2$ である。
2：単位元を $1$ と書く。$1\ne0$ である（$1=0$ なら $x=1x=0$ がすべての $x$ で成り立ち、$\dim A\ge1$ に反する）。1 により $n=1$ または $n=2$ である。
$n=1$ なら $A=\mathbb{R}1$ であり、$t\mapsto t1$ は $\mathbb{R}$ から $A$ への同型である（$(s1)(t1)=st\,1$）。
$n=2$ とする。$1$ と一次独立な $u$ をとり、$u^2=a1+bu$（$a,b\in\mathbb{R}$）と書く。$v:=u-\frac b21$ とおくと
$$ v^2=u^2-bu+\tfrac{b^2}{4}1=c1,\qquad c:=a+\tfrac{b^2}{4} $$
である。$c\ge0$ なら $(v+\sqrt c\,1)(v-\sqrt c\,1)=v^2-c1=0$ なので $v=\pm\sqrt c\,1$ となり、$v$ が $1$ と一次独立であることに反する。よって $c<0$ であり、$j:=v/\sqrt{-c}$ とおくと $j^2=-1$、$1,j$ は $A$ の基底である。双線形性と可換性から
$$ (s1+tj)(s'1+t'j)=(ss'-tt')1+(st'+ts')j\qquad(s,t,s',t'\in\mathbb{R}) $$
であり、これは複素数の積の式と同じである。よって $s+t\sqrt{-1}\mapsto s1+tj$ は $\mathbb{C}$ から $A$ への同型である。とくに $A$ は結合的であるが、これは仮定ではなく結論である。$\square$

要点：$n=2^rm$（$m$ 奇数）なら、$\mathbb{Z}/2$ 係数で $(1+t)^n=(1+t^{2^r})^m$ の $t^{2^r}$ の係数は $m$ で奇数である。

$n:=\dim A$ とする。$n=1=2^0$ なら主張は正しいので、$n\ge2$ とする。以下、コホモロジーの係数はすべて $\mathbb{Z}/2$ とし、$P:=\mathbb{RP}^{n-1}$、$q\colon S^{n-1}\to P$ を商写像とする。
写像 $h$。 $x,y\ne0$ なら $xy\ne0$ であり、$(-x)y=x(-y)=-xy$ なので、
$$ h\colon P\times P\to P,\qquad h(q(x),q(y)):=q\bigl(xy/|xy|\bigr) $$
が矛盾なく定まる。$q\times q\colon S^{n-1}\times S^{n-1}\to P\times P$ はコンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な全射なので商写像であり、$h\circ(q\times q)$ は連続なので $h$ は連続である。$y_0\in S^{n-1}$ を固定すると、$h(\,\cdot\,,q(y_0))$ は線形な全単射 $R_{y_0}$ が誘導する写像 $q(x)\mapsto q(R_{y_0}x/|R_{y_0}x|)$ であり、その逆写像は $R_{y_0}^{-1}$ が同じように誘導する。よって $h(\,\cdot\,,q(y_0))$ は $P$ の同相写像であり、同様に $h(q(x_0),\,\cdot\,)$ も同相写像である。
コホモロジー環。 $a\in H^1(P)$ を $0$ でない元とすると、実射影空間 の定理「$\mathbb{Z}/2$ 係数のコホモロジー環」により $H^*(P)=\mathbb{Z}/2[a]/(a^n)$ であり、$a^0,\dots,a^{n-1}$ がそれぞれの次数の生成元である。$p_1,p_2\colon P\times P\to P$ を射影とし、$a_1:=p_1^*a$、$a_2:=p_2^*a$ とおく。各 $H^k(P)$ は有限次元なので、Künnethの公式 の定理「コホモロジー環の Künneth の公式」により、クロス積 $a^k\times a^l=a_1^ka_2^l$（$0\le k,l\le n-1$）が $H^*(P\times P)$ の基底をなし、
$$ H^*(P\times P)=\mathbb{Z}/2[a_1,a_2]/(a_1^n,a_2^n) $$
である。$H^1(P\times P)$ は $a_1,a_2$ を基底にもつので、$h^*a=k_1a_1+k_2a_2$（$k_1,k_2\in\mathbb{Z}/2$）と書ける。
$k_1=k_2=1$ であること。 $i_1\colon P\to P\times P$、$i_1(z):=(z,q(y_0))$ とおく。$p_1\circ i_1$ は恒等写像なので $i_1^*a_1=a$ である。$p_2\circ i_1$ は 1 点への定値写像なので、1 点の空間の $1$ 次のコホモロジーを経由して $i_1^*a_2=0$ である。よって
$$ (h\circ i_1)^*a=i_1^*(k_1a_1+k_2a_2)=k_1a $$
である。一方 $h\circ i_1=h(\,\cdot\,,q(y_0))$ は同相写像なので、$(h\circ i_1)^*$ は $H^1(P)\cong\mathbb{Z}/2$ の同型であり、$(h\circ i_1)^*a=a$ である。したがって $k_1=1$ であり、第 2 成分についての同じ議論で $k_2=1$ である。
二項係数。 $a^n=0$ なので、$h^*$ がカップ積を保つ環準同型であることから
$$ 0=h^*(a^n)=(a_1+a_2)^n=\sum_{k=0}^n\binom nk a_1^ka_2^{n-k}=\sum_{k=1}^{n-1}\binom nk a_1^ka_2^{n-k} $$
である（$\mathbb{Z}/2$ 係数では $a_1a_2=a_2a_1$ であり、$a_1^n=a_2^n=0$）。$0< k< n$ の $a_1^ka_2^{n-k}$ は上の基底の相異なる元なので、係数 $\binom nk$ はすべて $\mathbb{Z}/2$ で $0$ である。rda-lem-binom により $n$ は $2$ の冪である。$\square$

$A$ を結合的な実多元体とする。結合法則により、冪 $a^m$ は括弧の付け方によらない。
段 0（単位元）。 $a\ne0$ をとると $L_a$ は全単射なので、$ae=a$ となる $e$ がある。$a\ne0$ なので $e\ne0$ である。任意の $x$ について $a(ex)=(ae)x=ax$ なので $a(ex-x)=0$、よって $ex=x$ である。とくに $ee=e$ であり、$(xe-x)e=x(ee)-xe=0$ と $e\ne0$ から $xe=x$ である。よって $e$ は単位元であり、これを $1$ と書いて $t\in\mathbb{R}$ を $t1$ と同一視する。実数は $A$ のすべての元と可換である。
段 1（平方が $-1$ の元）。 $A\ne\mathbb{R}$ とし、$a\in A\setminus\mathbb{R}$ をとる。多項式 $g\in\mathbb{R}[t]$ に $g(a)\in A$ を対応させる写像は、結合法則により積を保つ。$A$ は有限次元なので $1,a,a^2,\dots$ は一次従属であり、$\mu(a)=0$ となる次数最小のモニック多項式 $\mu$ がある（$a$ の 最小多項式）。$\mu=gh$（$g,h$ の次数は $\mu$ より小さい）と分解できたとすると、$g(a)h(a)=\mu(a)=0$ かつ $g(a)\ne0$、$h(a)\ne0$ となって零因子がないことに反するので、$\mu$ は既約である。$a\notin\mathbb{R}$ なので $\deg\mu\ge2$ であり、代数学の基本定理 により実係数の既約多項式の次数は $2$ 以下なので、$\mu=t^2+pt+r$、$p^2-4r<0$ と書ける。$a^2=-pa-r$ を使うと
$$ i:=\frac{2a+p}{\sqrt{4r-p^2}}\quad\text{は}\quad i^2=\frac{4a^2+4pa+p^2}{4r-p^2}=\frac{p^2-4r}{4r-p^2}=-1 $$
を満たす。$\mathbb{C}_A:=\mathbb{R}+\mathbb{R}i$ とおくと、$s+t\sqrt{-1}\mapsto s+ti$ は $\mathbb{C}$ から $\mathbb{C}_A$ への同型である。
段 2（$i$ と可換な部分と反可換な部分）。
$$ A_+:=\{x\in A\mid ix=xi\},\qquad A_-:=\{x\in A\mid ix=-xi\} $$
とおく。$i^2=-1$ から、$x_\pm:=\frac12(x\mp ixi)$ について $ix_\pm=\frac12(ix\pm xi)=\pm x_\pm i$ が確かめられ、$x=x_++x_-$ である。$x\in A_+\cap A_-$ なら $2ix=0$ で $x=0$ なので、$A=A_+\oplus A_-$ である。
段 3（$A_+=\mathbb{C}_A$）。 $A_+$ は $\mathbb{C}_A$ を含み、積で閉じている。$c\in\mathbb{C}_A$ を左から掛けることで、$A_+$ は $\mathbb{C}_A$ 上の有限次元のベクトル空間になる。$x\in A_+$ について $L_x\colon A_+\to A_+$ は $\mathbb{C}_A$ 線形である。実際 $x$ は $i$ と可換なので $x(cy)=(xc)y=(cx)y=c(xy)$ である。代数学の基本定理により $L_x$ は固有値 $\lambda\in\mathbb{C}_A$ をもち、固有ベクトル $y\ne0$ について $(x-\lambda)y=0$ なので $x=\lambda\in\mathbb{C}_A$ である。よって $A_+=\mathbb{C}_A$ である。
段 4（$A_-$ の決定）。 $A_-=0$ なら $A=\mathbb{C}_A\cong\mathbb{C}$ である。$A_-\ne0$ とし、$y\in A_-$、$y\ne0$ をとる。$x\in A_-$ なら
$$ i(xy)=(ix)y=-(xi)y=-x(iy)=x(yi)=(xy)i $$
なので $xy\in A_+$ である。$R_y$ は単射なので $\dim A_-\le\dim A_+=2$ である。また $c\in\mathbb{C}_A$ なら $i(cy)=c(iy)=-(cy)i$ なので $\mathbb{C}_Ay\subset A_-$ であり、$c\mapsto cy$ は単射なので $A_-=\mathbb{C}_Ay$ である。
$x=y$ として $y^2\in A_+=\mathbb{C}_A$ であり、$y^2=\alpha+\beta i$（$\alpha,\beta\in\mathbb{R}$）と書ける。結合法則から $y\,y^2=y^2\,y$ であり、$yi=-iy$ を使うと左辺は $\alpha y-\beta iy$、右辺は $\alpha y+\beta iy$ なので、$2\beta\,iy=0$、$\beta=0$ である。$\alpha\ge0$ なら $(y-\sqrt\alpha)(y+\sqrt\alpha)=y^2-\alpha=0$ から $y=\pm\sqrt\alpha\in A_+\cap A_-=0$ となって矛盾する。よって $\alpha<0$ であり、$j:=y/\sqrt{-\alpha}$ とおくと $j^2=-1$、$ij=-ji$ である。$k:=ij$ とおくと
$$ k^2=ijij=-i^2j^2=-1,\quad jk=jij=-ij^2=i,\quad ki=iji=-i^2j=j, $$
$$ kj=ij^2=-i,\quad ik=i^2j=-j,\quad ji=-k $$
であり、$A=A_+\oplus A_-=(\mathbb{R}+\mathbb{R}i)\oplus(\mathbb{R}j+\mathbb{R}k)$ である。$1,i,j,k$ の積の表は 四元数 の基底の積の表と同じなので、基底を対応させる線形写像 $\mathbb{H}\to A$ は同型である。$\square$

$x,y\ne0$ なら $|xy|=|x||y|\ne0$ なので零因子はなく、$\mathbb{R}^n$ は実多元体である。
2：$N(x):=|x|^2$ は正定値な 2 次形式で、その極形式 $N(x+y)-N(x)-N(y)$ は標準内積の $2$ 倍なので非退化であり、$N(xy)=N(x)N(y)$ である。単位元は $0$ でない（rda-prf-comm の 2 と同じ理由）。よって $(\mathbb{R}^n,N)$ はノルムが正定値な合成代数であり、Hurwitzの定理(合成代数) の定理「Hurwitzの定理」の 3 により結論を得る。
1：$|e|=1$ の $e$ をとって rda-lem-isotope の積 $\ast$ を作ると、$\ast$ は単位元をもち $|x\ast y|=|x||y|$ を満たす。2 の前半の議論により $(\mathbb{R}^n,\ast)$ は合成代数であり、同じ定理の 1 により $n\in\{1,2,4,8\}$ である。$\square$