Fermatの最終定理
概要
Fermatの最終定理（Fermat's Last Theorem）とは、$n\ge3$ のとき $x^n+y^n=z^n$ を満たす $0$ でない整数 $x,y,z$ は存在しないという定理である。$n=4$ と奇素数の指数に帰着でき、$n=3,4$ や正則素数の指数、$p$ と $2p+1$ がともに素数のときの $p\nmid xyz$ の場合（Sophie Germain の定理）は初等的または古典的な方法で示される。一般の場合は、解から作る Frey 曲線がモジュラーでないという Ribet の定理と、半安定な楕円曲線はモジュラーであるという Wiles と Taylor–Wiles の定理（1995 年刊行）を合わせて証明された。
$3$ 以上の整数 $n$ について、$x^n+y^n=z^n$ を満たす正の整数 $x,y,z$ は存在しない。この主張を Fermat の最終定理（Fermat's Last Theorem）という。$n=2$ では $3^2+4^2=5^2$ のように解が無数にある（ピタゴラス数）のに対し、指数を $3$ 以上にすると解が 1 つもなくなる、というのが主張である。P. de Fermat は Diophantus の『算術』の自分の本の余白に、この主張と「驚くべき証明を見つけたが、余白が狭すぎて書けない」という書き込みを残し、それは Fermat の死後の 1670 年に息子が刊行した Diophantus の版に収められた（Oes88 p. 165）。
主張は初等的だが、一般の $n$ の証明は 1994 年に A. Wiles が R. Taylor の助けを得て完成させるまで、350 年あまり得られなかった。その証明は、仮に解があればそこから作られる楕円曲線（Frey 曲線）が、楕円曲線とモジュラー形式を結びつける予想（モジュラー形式。谷山豊（Yutaka Taniyama）・志村五郎（Goro Shimura）の予想）に反する、という筋による。この記事では、主張と、指数を $4$ と奇素数に帰着すること、古典的に示された場合の地図、初等的に証明できる Sophie Germain の定理、そして Frey 曲線から Wiles の証明に至る筋道を述べる。最後の筋道に現れる深い定理は、主張と所在を述べるだけで、この記事では証明しない。
主張と言い換え
$n\ge1$ を整数とする。方程式 $x^n+y^n=z^n$ を指数 $n$ の Fermat の方程式 という。$xyz=0$ となる整数解を 自明な解、$x,y,z$ がどれも $0$ でない整数解を 自明でない解 という。自明でない解で $\gcd(x,y,z)=1$ のものを 原始的な解 という。
$n\ge3$ とする。Fermat の方程式 $x^n+y^n=z^n$ は自明でない整数解をもたない。
方程式は斉次なので、自明でない整数解 $(x,y,z)$ を $z$ で割れば、曲線 $X^n+Y^n=1$ の有理点 $(x/z,\,y/z)$ で $XY\ne0$ のものが得られ、逆に有理点の分母を払えば整数解が得られる。したがって thm-flt-main は「$n\ge3$ のとき、曲線 $X^n+Y^n=1$ の有理点は、$n$ が奇数なら $(1,0),(0,1)$ の 2 点、偶数なら $(\pm1,0),(0,\pm1)$ の 4 点だけである」と言い換えられる（Sil09 Example I.1.3.2、p. 3）。
指数の帰着
- 指数 $d$ の Fermat の方程式が自明でない整数解をもたなければ、$d$ の倍数 $n$ を指数とする方程式も自明でない整数解をもたない。
- $n\ge3$ は $4$ か奇素数で割り切れる。
- したがって、thm-flt-main は $n=4$ と、$n$ が奇素数の場合に示せば十分である。
- 自明でない整数解があれば、原始的な解がある。また $n$ が奇数のとき、自明でない整数解があれば、正の整数 $x,y,z$ による解がある（$n$ が偶数なら符号を取りかえるだけで正にできる）。
1：$n=dk$ とし、$x^n+y^n=z^n$、$xyz\ne0$ とすると、$(x^k)^d+(y^k)^d=(z^k)^d$ で $x^ky^kz^k\ne0$ だから、指数 $d$ の自明でない解が得られる。対偶をとればよい。
2：$n$ が奇素数を素因数にもたなければ $n=2^e$ と書け、$n\ge3$ より $e\ge2$ なので $4\mid n$ である。
3：1 と 2 による。
4：$g=\gcd(x,y,z)$ とすると $g^n$ で割って $(x/g)^n+(y/g)^n=(z/g)^n$ が成り立ち、これは原始的な解である。$n$ が奇数のときは $(-t)^n=-t^n$ なので、負の項を等式の反対側に移せる。$x^n+y^n+(-z)^n=0$ と書き、$u=x$、$v=y$、$w=-z$ とおく。$u,v,w$ が全部同符号になることは和が $0$ でないのでありえず、必要なら全体に $-1$ を掛けて、2 つが正で 1 つが負としてよい。負のものを $w$ とすると $u^n+v^n=\lvert w\rvert^n$ で、$u,v,\lvert w\rvert$ は正である（負のものが $u$ や $v$ のときも、その項を右辺に移して同じ形にする）。$\square$
古典的に示された場合
prop-flt-reduction により、$n=4$ とすべての奇素数 $p$ について示せばよい。Wiles 以前に示されていた主な場合は次のとおりである。
| 場合 | 方法 | 記事・所在 |
|---|---|---|
| $n=4$ | $x^4+y^4=z^2$ に正の整数解がないことを 無限降下法 で示す | ピタゴラス数と円の有理点 の系「指数が 4 の倍数の Fermat の最終定理」。HW60 Theorem 226（p. 191） |
| $n=3$ | Eisenstein 整数 $\mathbb{Z}[\rho]$（$\rho$ は 1 の原始 3 乗根）の中での降下 | HW60 Theorem 227（p. 193）。この記事では証明しない |
| $p$ が正則素数 | 円分体 $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ のイデアルの $p$ 乗根を単項にする（Kummer） | 正則素数 の定理「正則素数に対するFermatの最終定理」 |
| 第一の場合（$p\nmid xyz$）で $2p+1$ が素数 | 法 $2p+1$ での $p$ 乗の値を調べる | thm-flt-germain |
奇素数 $p$ の場合を、解が $p\nmid xyz$ を満たすか（第一の場合）、$p$ が $x,y,z$ のどれかを割るか（第二の場合）で分けて扱うことが多い。$p\nmid xyz$ の条件は、方程式 $x^p+y^p+z^p=0$ の形で書くと $x,y,z$ について対称になる（$p$ が奇数なので $z$ を $-z$ に取りかえればよい）。
Sophie Germain の定理
A.-M. Legendre は 1823 年の論文で、補助の素数 $q$ を法とする議論によって第一の場合を示す定理を S. Germain の結果として紹介し、彼女がそれを使って $100$ 未満のすべての奇素数指数で第一の場合を示したことを述べた（Dic05 Chapter XXVI、pp. 734–735。一般の形の定理と証明もそこにある）。ここでは補助の素数が $q=2p+1$ の場合を述べ、証明を完全に書く。証明には次の補題を使う。
$p$ を奇素数、$y,z$ を互いに素な整数とし、
$$
Q(y,z):=\sum_{i=0}^{p-1}(-1)^iy^{p-1-i}z^i
$$
とおく。このとき $y^p+z^p=(y+z)\,Q(y,z)$ であり、$Q(y,z)\equiv p\,y^{p-1}\pmod{y+z}$ である。さらに $p\nmid y+z$ なら、$y+z$ と $Q(y,z)$ は互いに素である。
等比数列の和の公式により $(y+z)Q(y,z)=y^p-(-z)^p=y^p+z^p$ である（$p$ は奇数）。法 $y+z$ では $z\equiv-y$ なので、各項は $(-1)^iy^{p-1-i}(-y)^i=y^{p-1}$ となり、$Q\equiv py^{p-1}$ である。素数 $r$ が $y+z$ と $Q$ をともに割るとすると、$r\mid py^{p-1}$ である。$r=p$ なら $p\mid y+z$ となり仮定に反するので $r\mid y$ であり、$r\mid y+z$ から $r\mid z$ となって、$y,z$ が互いに素であることに反する。$\square$
$p$ を奇素数とし、$q=2p+1$ も素数とする。このとき、$x^p+y^p+z^p=0$ かつ $p\nmid xyz$ を満たす整数 $x,y,z$ は存在しない。とくに、指数 $p$ の Fermat の方程式の第一の場合の解は存在しない。
$100$ 未満では $p=3,5,11,23,29,41,53,83,89$ がこの条件を満たす。
段 1（互いに素にする）．解 $x,y,z$ があったとする。$p\nmid xyz$ なので $xyz\ne0$ である。$g=\gcd(x,y,z)$ で割っても等式と $p\nmid xyz$ は保たれるので、$\gcd(x,y,z)=1$ としてよい。素数 $r$ が 2 つ、たとえば $x,y$ を割れば $r^p\mid z^p$ から $r\mid z$ となるので、$x,y,z$ はどの 2 つも互いに素である。
段 2（法 $q$ での $p$ 乗）．$q\nmid t$ なら Fermatの小定理 により $(t^p)^2=t^{q-1}\equiv1\pmod q$ で、$q$ は素数なので $t^p\equiv\pm1\pmod q$ である。したがって整数 $u,v,w$ が $u^p+v^p+w^p\equiv0\pmod q$ を満たせば、$q\mid uvw$ である。実際、そうでなければ左辺は $\pm1$ の 3 つの和で、$\pm1$ か $\pm3$ に合同だが、$q\ge7$ なのでどれも $0$ に合同でない。とくに $q\mid xyz$ であり、方程式と仮定は $x,y,z$ について対称なので、$q\mid x$ としてよい。
段 3（$p$ 乗に分ける）．$-x^p=y^p+z^p=(y+z)Q(y,z)$ である（lem-flt-germain-factor）。$p\nmid x$ なので $p\nmid y+z$ であり、補題により $y+z$ と $Q(y,z)$ は互いに素である。互いに素な 2 整数の積が $(-x)^p$ という $p$ 乗数なので、素因数分解の一意性により、どちらも符号を除いて $p$ 乗数であり、$p$ が奇数なので符号は $p$ 乗の中に入れられる。よって整数 $a,\alpha$ で $y+z=a^p$、$Q(y,z)=\alpha^p$ となるものがある。$x,y,z$ の役割を取りかえて同じ議論をすると、整数 $b,c$ で $z+x=b^p$、$x+y=c^p$ となるものがある。
段 4（$q$ は $a$ を割る）．$q\mid x$ なので
$$
b^p+c^p+(-a)^p=(z+x)+(x+y)-(y+z)=2x\equiv0\pmod q
$$
であり、段 2 により $q\mid abc$ である。$q\mid b$ なら $q\mid z+x$ と $q\mid x$ から $q\mid z$ となり、$x,z$ が互いに素であることに反する。同様に $q\mid c$ なら $q\mid y$ となり矛盾する。よって $q\mid a$、すなわち $y+z\equiv0\pmod q$ である。
段 5（矛盾）．$q\mid y+z$ なので、補題の合同式から $\alpha^p=Q(y,z)\equiv py^{p-1}\pmod q$ である。一方、$q\mid x$ より $y\equiv x+y=c^p\pmod q$ であり、$q\nmid y$（$x,y$ は互いに素）なので $q\nmid c$、段 2 より $c^p\equiv\pm1$ である。$p-1$ は偶数なので $y^{p-1}\equiv(\pm1)^{p-1}=1\pmod q$ となり、$\alpha^p\equiv p\pmod q$ を得る。ところが段 2 により $\alpha^p$ は $0,1,-1$ のどれかに合同で、$1< p< 2p=q-1$ なので $p$ はそのどれとも合同でない。これは矛盾である。$\square$
段 2 で使ったのは「法 $q$ で $p$ 乗が $0,\pm1$ の 3 つしかなく、その 3 つの和が $0$ にならない」ことと「$p$ 自身が $p$ 乗の値でない」ことの 2 つで、Dic05 p. 734 の一般形はこの 2 条件を仮定にした形である。
Frey 曲線と Wiles の証明
$p\ge5$ を素数とし、互いに素な $0$ でない整数 $a,b,c$ が $a^p+b^p+c^p=0$ を満たすとする（$c$ を $-c$ に取りかえれば Fermat の方程式の原始的な解と同じである）。Y. Hellegouarch と G. Frey は、楕円曲線
$$
E:\ y^2=x\,(x-a^p)\,(x+b^p)
$$
を考えた（Oes88 p. 165）。これを Frey 曲線 という。
Weierstrass 方程式 $y^2=(x-e_1)(x-e_2)(x-e_3)$ の判別式は $\Delta=16(e_1-e_2)^2(e_1-e_3)^2(e_2-e_3)^2$ である（Sil09 Proposition III.1.7 の証明、p. 50）。Frey 曲線では $e_1=0$、$e_2=a^p$、$e_3=-b^p$ で、
$$
e_1-e_2=-a^p,\qquad e_1-e_3=b^p,\qquad e_2-e_3=a^p+b^p=-c^p
$$
だから $\Delta=16\,(abc)^{2p}\ne0$ であり、$E$ は楕円曲線である。判別式は「ほぼ $2p$ 乗数」で、悪い還元をもつ素数は $abc$ を割る素数（と $2$）に限られる。
$a,b,c$ を並べ替え符号を調整して、$b$ が偶数で $a\equiv-1\pmod 4$ となるようにすると、$E$ の極小判別式は $2^{-8}(abc)^{2p}$、導手は $abc$ を割る素数すべての積になる（Oes88 p. 166）。とくに $E$ は 半安定（どの素数でも乗法的還元か良い還元をもつ。半安定還元）である（Sil09 Remark C.13.6.2、p. 443）。極小判別式がほぼ $2p$ 乗数で、導手に比べて非常に大きいという性質はあまりに特殊に見え、Frey はこのような曲線はモジュラーでありえないと考えた（Oes88 pp. 165–166、Sil09 Remark C.13.6.2、p. 443）。
楕円曲線 $E/\mathbb{Q}$ が モジュラー であるとは、ある正の整数 $N$ について、モジュラー曲線 $X_0(N)$ から $E$ への $\mathbb{Q}$ 上の全射があることをいう（Sil09 p. 442）。同値な言い方として、$E$ の $L$ 関数が重さ $2$ のある新形式の $L$ 関数に等しい、というものがある（Mil21 Definition V.5.3、p. 208）。
$p\ge5$ を素数とし、互いに素な $0$ でない整数 $a,b,c$ が $a^p+b^p+c^p=0$ を満たすとする。このとき Frey 曲線 $E$ はモジュラーでない。
K. Ribet は 1986 年に、J.-P. Serre が定式化したモジュラーな Galois 表現の水準についての予想の一部を証明して、この定理を得た（Mil21 p. 209 と §V.9 の Theorem 9.4 とその後の議論、p. 224。Oes88 Théorème 1、p. 166）。$E$ の $p$ 等分点への Galois 群の作用は既約で、$2$ と $p$ 以外の素数で不分岐、$p$ で平坦である。$E$ がモジュラーならこの作用もモジュラーで、Ribet の結果によりそれは水準 $2$・重さ $2$ のカスプ形式から来ることになるが、$X_0(2)$ の種数は $0$ なので、そのようなカスプ形式はない、という筋である。この記事では証明しない。
$\mathbb{Q}$ 上の半安定な楕円曲線はモジュラーである。
以上を合わせると thm-flt-main が得られる。$p\ge5$ の素数指数の自明でない解があれば、原始的な解から Frey 曲線が作れ、それは半安定なので thm-flt-wiles によりモジュラーだが、thm-flt-ribet によりモジュラーでない。これは矛盾なので、$p\ge5$ の素数指数では解がない。$n=3,4$ は古典的に示されているので、prop-flt-reduction によりすべての $n\ge3$ で解がない。
$\mathbb{Q}$ 上の楕円曲線がすべてモジュラーであるという予想は、谷山豊（Yutaka Taniyama）が 1955 年の東京・日光の代数的整数論の国際会議で配った問題の中で、数体上の楕円曲線について漠然とした形で問い、志村五郎（Goro Shimura）が有理数体上の楕円曲線についての予想として述べ、A. Weil の 1967 年の論文が導手と水準の一致を含めて広く知らせたものである（Mil21 p. 209 と脚注 13・14、Sil09 Remark C.13.6.1、p. 443）。名前の付け方は文献によって異なり、「志村–谷山予想」「谷山–志村予想」「谷山–Weil 予想」などと呼ばれる。
ほかの方向との関係
- 有限性．$n\ge4$ では曲線 $x^n+y^n=z^n$ の種数は $\frac{(n-1)(n-2)}2\ge3$ なので、Faltingsの定理 により、各 $n\ge4$ について原始的な解は（符号を除いて）有限個しかない（Oes88 p. 165）。Wiles 以前に知られていた「解は高々有限個」という形の結果で、Faltings の定理からこの有限性を導く証明は Faltingsの定理 の命題「Fermat の方程式の原始的な解の有限性」にある。
- abc 予想．abc予想 からは、十分大きい指数の Fermat の最終定理が従う（abc予想 の定理「abc 予想から Fermat の最終定理（大きい指数）」）。Szpiro の予想からも同じことが従い、その証明にも Frey 曲線が使われる（Sil09 Proposition VIII.11.2、pp. 256–257）。
- 合同式では解ける．指数 $m$ を固定すると、十分大きい素数 $p$ について $u^m+v^m\equiv w^m\pmod p$ には $p$ で割れない解がある（Schurの定理(和のない集合) の定理「Fermatの方程式の合同式での可解性」）。したがって、1 つの素数を法として解がないことを示すだけでは、Fermat の最終定理は証明できない。thm-flt-germain でも、法 $q$ で $p$ 乗の値が $0,\pm1$ しかないことだけでは矛盾は出ず、段 3 で $y+z$ と $Q(y,z)$ を互いに素にするのに「$p\nmid xyz$」を使ってはじめて矛盾を生む。
反例
thm-flt-main の条件を 1 つ外すと、主張は成り立たなくなる。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| $n\ge3$ | $n=2$：$3^2+4^2=5^2$ | 自明でない整数解がある |
| 解が整数（有理数） | $n=3$、$\mathbb{Z}[\sqrt2]$ の元 $x=18+17\sqrt2$、$y=18-17\sqrt2$、$z=42$ | $x^3+y^3=z^3$ が成り立ち、$xyz\ne0$ |
| 等式（整数としての一致） | $n=3$、法 $19$：$1^3+4^3\equiv2^3\pmod{19}$ | 法 $19$ では $19$ で割れない解がある |
| 自明でない解（$xyz\ne0$） | $1^n+0^n=1^n$ | 自明な解はどの $n$ でもある |
表の各行の確かめを開く
2 行目：$x+y=36$、$xy=18^2-2\cdot17^2=324-578=-254$ なので、$x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)=46656+27432=74088=42^3$ である。$x,y$ は $\mathbb{Q}(\sqrt2)$ の整数環 $\mathbb{Z}[\sqrt2]$ の $0$ でない元で、有理数ではない。
3 行目：$1+64=65=3\cdot19+8$ で $2^3=8$ なので成り立つ。$19\equiv1\pmod 3$ なので法 $19$ の 3 乗の値は $0$ 以外に 6 個しかない（$1,7,8,11,12,18$）が、それでも解がある。
関連項目
- 前提: 無限降下法, ピタゴラス数と円の有理点, 楕円曲線, モジュラー形式
- 比較: 正則素数, Vandiver予想, abc予想
- 例: ピタゴラス数, Schurの定理(和のない集合)
- 発展: Faltingsの定理, Galois表現, 半安定還元, 岩澤理論
参考文献
Mathpediaは寄付と、参考文献の書籍リンク（Amazonアソシエイト）の紹介料で運営されています。 支援について ／ 寄付する
