Liouvilleの近似定理

$\alpha=\sqrt2$ は $f(x)=x^2-2$ の根で、もう一つの根は $-\sqrt2$ である。$H=1\cdot(1+2\sqrt2)$ なので、すべての分数について
$$ \Bigl|\sqrt2-\frac pq\Bigr|\ge\frac1{(1+2\sqrt2)\,q^2}=\frac{0.2612\ldots}{q^2} $$
である（$x^2-2$ の根 $\pm\sqrt2$ は無理数なので、どの分数でも $f(p/q)\neq0$ であり、lem-lat-poly をそのまま使える）。収束子 $\frac32,\frac75,\frac{17}{12},\frac{41}{29}$ で $q^2|\sqrt2-p/q|$ は $0.343,0.355,0.353,0.354$ であり、この下界を上回っている。
$\alpha=\sqrt[3]2=1.2599\ldots$ は $f(x)=x^3-2$ の根で、ほかの根は $\sqrt[3]2\,\omega$、$\sqrt[3]2\,\omega^2$（$\omega=e^{2\pi i/3}$）である。$|1-\omega|=|1-\omega^2|=\sqrt3$ なので $|\alpha-\alpha\omega|=|\alpha-\alpha\omega^2|=\sqrt3\sqrt[3]2$ であり、$H=(1+\sqrt3\sqrt[3]2)^2=10.126\ldots$ である。既約分数 $r/s$（$s\ge1$）が $x^3-2$ の根なら $r^3=2s^3$ であり、$s$ が素因数 $\ell$ をもてば $\ell\mid r^3$ から $\ell\mid r$ となって既約であることに反するので、$s=1$ である。ところが $r^3=2$ を満たす整数 $r$ はないので、$x^3-2$ は有理数の根をもたない。よってすべての分数について
$$ \Bigl|\sqrt[3]2-\frac pq\Bigr|\ge\frac1{10.127\,q^3} $$
である。

$L:=\sum_{k=1}^\infty10^{-k!}=0.110001000\ldots$（小数第 $1,2,6,24,\dots$ 位だけが $1$）は Liouville 数であり、したがって超越数である。
$n\ge1$ について $q_n:=10^{n!}\ge10$、$p_n:=\sum_{k=1}^n10^{n!-k!}$ とおくと、$p_n$ は整数で $p_n/q_n=\sum_{k=1}^n10^{-k!}$ である。$j\ge1$ について $(j+1)!-j!=j\cdot j!\ge1$ なので、$k\ge n+1$ について $k!\ge(n+1)!+(k-n-1)$ であり、
$$ 0< L-\frac{p_n}{q_n}=\sum_{k=n+1}^\infty10^{-k!}\le\sum_{m=0}^\infty10^{-(n+1)!-m}=\frac{10}9\cdot10^{-(n+1)!} $$
である。$(n+1)!=n\cdot n!+n!$ かつ $n!\ge1$ なので $10^{-(n+1)!}=10^{-n!}\,q_n^{-n}\le\frac1{10}q_n^{-n}$ であり、
$$ 0< L-\frac{p_n}{q_n}\le\frac19\cdot\frac1{q_n^{\,n}}< \frac1{q_n^{\,n}} $$
となる。よって $L$ は Liouville 数である。HW60 Theorem 192（p. 162）は、この数と、連分数の部分商を急速に大きくした数がともに超越数であることを述べている。

1 行目：Dirichletの近似定理 により、$|\sqrt2-p/q|<1/q^2$ を満たす有理数は無限に多くの値をとる。$|\sqrt2-p/q|<1$ で分母が $Q$ 以下の分数は有限個なので、その分母 $q$ はいくらでも大きい。もし $c/q^{2-\varepsilon}\le|\sqrt2-p/q|$ なら $c/q^{2-\varepsilon}<1/q^2$、すなわち $q^{\varepsilon}<1/c$ となり、$q$ が大きいと成り立たない。2 次の数について指数 $2$ は最良である。
2 行目：$p/q=1/q$ とすると $|0-1/q|=1/q$ であり、$1/q\ge c/q^{1-\varepsilon}$ は $q^{\varepsilon}\le1/c$ と同じなので、$q$ が大きいと成り立たない。有理数については指数 $1$ が最良である。
3 行目：$|\alpha-p/q|=0$ である。$d\ge2$ では $p/q\neq\alpha$ は自動的に成り立つので、この条件が効くのは $d=1$ だけである。
4 行目：ex-lat-liouville-constant により、各 $n$ について $0<|L-p_n/q_n|< q_n^{-n}$ である。$d$ と $c>0$ を与えると、$n>d$ を $10^{n-d}>1/c$ となるようにとれば、$q_n\ge10$ から $q_n^{-n}=q_n^{-d}q_n^{d-n}\le q_n^{-d}10^{d-n}< c\,q_n^{-d}$ となり、$p_n/q_n$ が不等式を破る。
5 行目：$n\ge1$ について $n^2< n^2+1<(n+1)^2$ なので $n^2+1$ は平方数でなく、$\alpha_n$ は $x^2-(n^2+1)$ の根である次数 $2$ の無理数である。分数 $n/1$ について
$$ 0< \alpha_n-n=\frac1{\sqrt{n^2+1}+n}< \frac1{2n} $$
なので、共通の $c$ があれば $c\le|\alpha_n-n|\cdot1^2<1/(2n)$ がすべての $n$ で成り立ち、$c>0$ に反する。lem-lat-poly の定数 $1/H=1/(1+2\sqrt{n^2+1})$ も $n\to\infty$ で $0$ に近づく。

Diophantus近似 の系「近似指数はほとんどすべての実数で 2」により、ほとんどすべての実数 $\alpha$ について、$|\alpha-p/q|<1/q^3$ を満たす整数の組 $(p,q)$（$q\ge1$）は有限個しかない。また代数的数全体は可算集合なので（超越数 の記事の命題「代数的数の可算性と超越数の非可算性」）、実数の代数的数全体は測度 $0$ である。測度 $0$ の集合の和も測度 $0$ なので、超越数 $\alpha$ で、$|\alpha-p/q|<1/q^3$ を満たす整数の組が有限個 $(p_1,q_1),\dots,(p_m,q_m)$ しかないものがある（ほとんどすべての実数がそうである）。
$$ c:=\min\Bigl(1,\ \min_{1\le i\le m}q_i^3\Bigl|\alpha-\frac{p_i}{q_i}\Bigr|\Bigr) $$
とおくと、$\alpha$ は無理数なので $c>0$ であり（$m=0$ なら $c=1$）、すべての分数について $|\alpha-p/q|\ge c/q^3$ が成り立つ。この $\alpha$ は thm-lat-main の結論を $d=3$ で満たすが、代数的数ではない。また $|\alpha-p/q|<1/q^3$ の解が有限個なので $\alpha$ は Liouville 数でもなく、Liouville 数でない超越数はたくさんある。