直積集合
概要
直積集合（Cartesian product）とは、集合 $A,B$ に対し、$A$ の元と $B$ の元の順序対 $(a,b)$ の全体 $A\times B$ のことである。順序対は Kuratowski の定義 $(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}$ で集合として構成される。集合族 $(A_i)_{i\in I}$ の直積 $\prod_{i\in I}A_i$ は各 $i$ に $A_i$ の元を対応させる写像の全体であり、$\mathbb{R}^n$ がその例である。直積は和集合・共通部分に分配し、有限集合では $|A\times B|=|A||B|$ が成り立つが、$A\times B=B\times A$ は一般に成り立たない。空でない集合の無限族の直積が空でないことは選択公理と同値である。
直積集合は、いくつかの集合から「各集合の元を 1 つずつ並べた組」の全体として作られる集合である。平面 $\mathbb{R}^2$ を実数の対の集合として扱うこと、写像をグラフ（写像のグラフ）で表すこと、二項関係を対の集合として定義することは、いずれも直積集合を土台にしている。本記事では、まず順序対を集合として定義し、2 つの集合の直積、有限個の集合の直積、添字付き族の直積を順に定義して、それらの基本性質を証明する。
定義
順序対
集合 $\{a,b\}$ は元の並ぶ順序を区別しない（$\{a,b\}=\{b,a\}$）。「$a$ が先で $b$ が後」という情報を集合の言葉で表すのが順序対である。順序対に要求される性質は、ただ 1 つ、2 つの順序対が等しいのは両方の成分がそれぞれ等しいときに限る、ということである。次の Kuratowski の定義はこの要求を満たす最も標準的なものである（Jec03 Chapter 1、End77 Chapter 3、Hal74 §6）。
$a,b$ を対象（集合）とする。集合
$$
(a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}
$$
を $a$ と $b$ の順序対（ordered pair）といい、$a$ をその第 1 成分、$b$ を第 2 成分という。
$\{a\}$ と $\{a,b\}$ は対の公理により集合であり、それらを元とする $\{\{a\},\{a,b\}\}$ もまた対の公理により集合である。$a=b$ のときは $\{a,b\}=\{a\}$ なので $(a,a)=\{\{a\}\}$ となる。
任意の $a,b,c,d$ に対し、
$$
(a,b)=(c,d)\iff a=c\ \text{かつ}\ b=d
$$
が成り立つ。
（$\Leftarrow$）$a=c$、$b=d$ なら $\{\{a\},\{a,b\}\}$ と $\{\{c\},\{c,d\}\}$ は同じ集合を書いたものである。
（$\Rightarrow$）$\{\{a\},\{a,b\}\}=\{\{c\},\{c,d\}\}$ を仮定する。この等式の両辺の元は、左辺では $\{a\}$ と $\{a,b\}$、右辺では $\{c\}$ と $\{c,d\}$ である。
場合 1：$a=b$ のとき。左辺は $\{\{a\}\}$ という 1 元集合である。よって右辺の元 $\{c\}$ と $\{c,d\}$ はどちらも $\{a\}$ に等しい。$\{c\}=\{a\}$ から $c=a$ であり、$\{c,d\}=\{a\}$ から $d\in\{a\}$、すなわち $d=a=b$ である。
場合 2：$a\ne b$ のとき。$\{a\}$ は左辺の元なので右辺の元でもあり、$\{a\}=\{c\}$ または $\{a\}=\{c,d\}$ である。後者なら $c,d\in\{a\}$ より $c=d=a$ となり、右辺は $\{\{a\}\}$ となる。しかし左辺の元 $\{a,b\}$ は右辺の元でもあるから $\{a,b\}=\{a\}$、よって $b=a$ となり、仮定 $a\ne b$ に反する。したがって $\{a\}=\{c\}$、すなわち $a=c$ である。次に、左辺の元 $\{a,b\}$ は右辺の元でもあるから $\{a,b\}=\{c\}=\{a\}$ または $\{a,b\}=\{c,d\}=\{a,d\}$ である。前者は $b=a$ を導くので不可能である。後者から $b\in\{a,d\}$ であり、$b\ne a$ なので $b=d$ である。
いずれの場合も $a=c$ かつ $b=d$ である。$\square$
prop-cartesian-product-pair-equality により、順序対 $p=(a,b)$ から $a$ と $b$ が一意に復元できる。そこで $p$ の第 1 成分を $\operatorname{pr}_1(p)$、第 2 成分を $\operatorname{pr}_2(p)$ と書く。これらが $p$ だけで決まる（$p$ の書き表し方によらない）ことがこの命題の内容である。
2 つの集合の直積
$A,B$ を集合とする。第 1 成分が $A$ の元、第 2 成分が $B$ の元であるような順序対の全体
$$
A\times B:=\{(a,b)\mid a\in A,\ b\in B\}
$$
を $A$ と $B$ の直積集合（Cartesian product）、または単に直積、デカルト積という。$A\times A$ は $A^2$ とも書く。
$A\times B$ が集合であることは次のように確かめられる。$a\in A$、$b\in B$ なら $\{a\}$ と $\{a,b\}$ はどちらも和集合 $A\cup B$ の部分集合、すなわち冪集合 $\mathcal{P}(A\cup B)$ の元であるから、$(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}$ は $\mathcal{P}(\mathcal{P}(A\cup B))$ の元である。よって $A\times B$ は集合 $\mathcal{P}(\mathcal{P}(A\cup B))$ から「ある $a\in A$ と $b\in B$ について $p=(a,b)$ である」という条件で切り出した部分集合であり、和集合の公理・冪集合公理・分出公理により集合である（End77 Chapter 3）。
$A\times B$ の元 $p$ に対し、成分をとる対応
$$
\operatorname{pr}_1\colon A\times B\to A,\quad (a,b)\mapsto a,\qquad
\operatorname{pr}_2\colon A\times B\to B,\quad (a,b)\mapsto b
$$
は、prop-cartesian-product-pair-equality により写像として well-defined である。これらを $A\times B$ の射影（projection）という。任意の $p\in A\times B$ に対し $p=(\operatorname{pr}_1(p),\operatorname{pr}_2(p))$ が成り立つ。
添字付き族の直積と有限個の集合の直積
3 つ以上の集合の直積は、順序対を繰り返して $(A\times B)\times C$ と定めることもできるが、成分の個数が増えたり無限になったりしても同じ形で扱えるように、集合族の直積として定義するのが標準的である。
$I$ を集合（添字集合）とし、$(A_i)_{i\in I}$ を $I$ で添字付けられた集合族とする。写像 $f\colon I\to\bigcup_{i\in I}A_i$ であって、すべての $i\in I$ に対して $f(i)\in A_i$ を満たすものの全体
$$
\prod_{i\in I}A_i:=\Bigl\{f\colon I\to\bigcup_{i\in I}A_i\ \Bigm|\ \forall i\in I\ \ f(i)\in A_i\Bigr\}
$$
を族 $(A_i)_{i\in I}$ の直積という。その元 $f$ を $(f(i))_{i\in I}$ または $(a_i)_{i\in I}$（$a_i:=f(i)$）と書き、$a_i$ を $f$ の第 $i$ 成分という。各 $j\in I$ に対し、写像
$$
\operatorname{pr}_j\colon\prod_{i\in I}A_i\to A_j,\qquad f\mapsto f(j)
$$
を第 $j$ 成分への射影という。すべての $A_i$ が同じ集合 $A$ に等しいとき、$\prod_{i\in I}A$ は $I$ から $A$ への写像全体の集合であり、これを $A^I$ と書く。
写像 $f\colon I\to\bigcup_iA_i$ はそのグラフ（写像のグラフ）により $I\times\bigcup_iA_i$ の部分集合と同一視されるので、$\prod_iA_i$ は $\mathcal{P}\bigl(I\times\bigcup_iA_i\bigr)$ から分出公理で切り出した集合である。添字集合が空のときは、$\prod_{i\in\emptyset}A_i$ の元は空集合 $\emptyset$ から $\emptyset$ への唯一の写像（空写像）だけなので、$\prod_{i\in\emptyset}A_i=\{\emptyset\}$ は 1 元集合である。
$n$ を正の自然数、$A_1,\dots,A_n$ を集合とする。添字集合 $\{1,\dots,n\}$ の族 $(A_i)_{1\le i\le n}$ の直積を
$$
A_1\times\cdots\times A_n:=\prod_{i\in\{1,\dots,n\}}A_i
$$
と書き、その元 $(a_1,\dots,a_n)$（$a_i\in A_i$）を $n$ 組（$n$-tuple）という。$A_1=\cdots=A_n=A$ のときは $A^n$ と書く。
$n$ 組は写像 $\{1,\dots,n\}\to\bigcup_iA_i$ なので、2 つの $n$ 組 $(a_1,\dots,a_n)$ と $(b_1,\dots,b_n)$ が等しいのは、写像として等しいとき、すなわちすべての $i$ について $a_i=b_i$ のときに限る。これは prop-cartesian-product-pair-equality と同じ形の性質であり、$n$ 組の相等は写像の相等に帰着する（ただし写像自身は順序対の集合であるグラフによって定義されているので、順序対の定義が不要になるわけではない）。
$n=2$ のとき、def-cartesian-product の $A\times B$（順序対の集合）と def-cartesian-product-finite の $\prod_{i\in\{1,2\}}A_i$（$A_1=A$、$A_2=B$、写像の集合）は集合としては別物である。しかし対応 $(a,b)\mapsto\bigl(1\mapsto a,\ 2\mapsto b\bigr)$ は全単射であり（逆写像は $f\mapsto(f(1),f(2))$）、射影とも両立する。同様に $(A\times B)\times C$、$A\times(B\times C)$、$\prod_{i\in\{1,2,3\}}A_i$ の 3 つも互いに全単射で対応する。通常の数学では、これらは同じものとして扱われ、記号 $A\times B\times C$ でそのどれを指しているかは問題にしない。集合として本当に異なることは rem-cartesian-product-counterexample-associativity で確かめる。
直感
直積集合は「座標を並べる」操作である。$A\times B$ の 1 つの元を指定することは、$A$ の元と $B$ の元を 1 つずつ独立に選ぶことと同じであり、$A$ を横軸、$B$ を縦軸にとった長方形の格子や平面を思い浮かべればよい。添字付き族の直積 $\prod_iA_i$ では、添字 $i$ ごとに「$i$ 番目の座標」を $A_i$ から選ぶ。各 $A_i$ が空でなく成分が有限個なら、この選択はいつでも行える。しかし成分が無限個で、しかも各 $A_i$ から元を選ぶ規則が一様に書けないときには、「すべての座標を一斉に選ぶ」ことの正当化に選択公理が要る（thm-cartesian-product-ac）。直積の元を「座標の列」と見る見方と「添字集合上の写像」と見る見方を自由に行き来できることが、直積を扱う上で最も基本的な技術である。
例と反例
$A=\{1,2\}$、$B=\{x,y,z\}$ とすると
$$
A\times B=\{(1,x),(1,y),(1,z),(2,x),(2,y),(2,z)\}
$$
であり、元の個数は $2\cdot3=6$ である。$B\times A=\{(x,1),(x,2),(y,1),(y,2),(z,1),(z,2)\}$ はこれと元の個数は同じだが、集合としては異なる（rem-cartesian-product-counterexample-commutativity）。一般に有限集合の直積の元の個数は各集合の元の個数の積である（prop-cartesian-product-cardinality）。
実数全体の集合 $\mathbb{R}$ について、$\mathbb{R}^2=\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ は実数の順序対 $(x,y)$ の全体である。これが座標平面であり、点 $(x,y)$ の $x$ 座標が第 1 成分、$y$ 座標が第 2 成分である。射影 $\operatorname{pr}_1\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$ は点を $x$ 軸へ正射影する写像であり、$(x,y)\mapsto x$ である。より一般に $\mathbb{R}^n=\prod_{i\in\{1,\dots,n\}}\mathbb{R}$ は実数の $n$ 組の全体であり、これに通常の距離やベクトル空間（ベクトル空間）の構造を入れたものが $n$ 次元の Euclid空間 である。座標平面の部分集合、たとえば単位円 $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x^2+y^2=1\}$ や関数 $y=x^2$ のグラフ $\{(x,x^2)\mid x\in\mathbb{R}\}$ は、いずれも直積 $\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ の部分集合として定式化される。複素数全体 $\mathbb{C}$ を実部と虚部の対 $(a,b)$ の集合 $\mathbb{R}^2$ として構成するのも同じ考えである。
すべての成分が同じ集合 $A$ である直積 $A^I$ は、$I$ から $A$ への写像全体である。$I=\mathbb{N}$ のとき、$A^{\mathbb{N}}$ の元 $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ は $A$ の元の数列である。$I=\{1,\dots,n\}$ のとき、$A^n$ は長さ $n$ の列の全体である。$A=\{0,1\}$ のとき、$\{0,1\}^I$ の元 $f$ は $I$ の部分集合 $\{i\in I\mid f(i)=1\}$ と一対一に対応する（指示関数）。この対応 $\{0,1\}^I\to\mathcal{P}(I)$ は全単射である。実際、部分集合 $S\subset I$ に対して $S$ の指示関数 $\chi_S$（$i\in S$ なら $1$、そうでなければ $0$）をとる写像がその逆写像であり、$\chi_S$ から $S=\{i\mid\chi_S(i)=1\}$ が復元され、$f\in\{0,1\}^I$ から作った $S$ の指示関数は $f$ に戻るからである。冪集合を $2^I$ と書く記法はこの全単射に由来する。
任意の集合 $A$ に対し
$$
A\times\emptyset=\emptyset,\qquad \emptyset\times A=\emptyset
$$
である。実際、$(a,b)\in A\times\emptyset$ なら $b\in\emptyset$ となるが、空集合は元をもたないのでそのような順序対は存在しない。$\emptyset\times A$ も同様である。逆に $A\times B=\emptyset$ なら $A=\emptyset$ または $B=\emptyset$ である（prop-cartesian-product-empty-commutative）。添字付き族についても、ある $i_0\in I$ で $A_{i_0}=\emptyset$ なら $\prod_{i\in I}A_i=\emptyset$ である。$f(i_0)\in A_{i_0}=\emptyset$ を満たす写像 $f$ が存在しないからである。これに対し、添字集合が空のときは $\prod_{i\in\emptyset}A_i=\{\emptyset\}\ne\emptyset$ であり、「空の直積」は空集合ではなく 1 元集合であることに注意する。
$A\times B=B\times A$ は一般には成り立たない。$A=\{1\}$、$B=\{2\}$ とすると $A\times B=\{(1,2)\}$、$B\times A=\{(2,1)\}$ であり、prop-cartesian-product-pair-equality により $(1,2)\ne(2,1)$ なので $A\times B\ne B\times A$ である。この例は「$A,B$ は空でない集合である」という性質を満たすが「$A\times B=B\times A$」という性質を満たさず、「直積は集合の順序によらない」という含意を破る。破れている条件は $A=B$ であり、実際 $A\times B=B\times A$ が成り立つのは $A=B$ か、$A,B$ の少なくとも一方が空のときに限る（prop-cartesian-product-empty-commutative）。一方、$A\times B$ と $B\times A$ の間には常に全単射 $(a,b)\mapsto(b,a)$ が存在する（逆写像は $(b,a)\mapsto(a,b)$）ので、「集合として等しい」と「自然に同一視できる」を区別する必要がある。
$(A\times B)\times C=A\times(B\times C)$ も一般には成り立たない。$A=B=C=\{\emptyset\}$ とすると
$$
(A\times B)\times C=\{((\emptyset,\emptyset),\emptyset)\},\qquad
A\times(B\times C)=\{(\emptyset,(\emptyset,\emptyset))\}
$$
であり、両者が等しければ、それぞれ唯一の元どうしが等しいので、prop-cartesian-product-pair-equality により $(\emptyset,\emptyset)=\emptyset$ となる。しかし $(\emptyset,\emptyset)=\{\{\emptyset\}\}$ は元 $\{\emptyset\}$ をもつので $\emptyset$ ではない。よって $(A\times B)\times C\ne A\times(B\times C)$ である。この確認に使ったのは順序対の定義と prop-cartesian-product-pair-equality だけであり、正則性公理は要らない。この例は「$A,B,C$ は空でない集合である」という性質を満たすが「$(A\times B)\times C=A\times(B\times C)$」という性質を満たさず、「直積は集合として結合的である」という含意を破る。
さらに、Kuratowski の順序対と正則性公理のもとでは、$a\in A$、$b\in B$、$c\in C$ に対して $((a,b),c)\ne(a,(b,c))$ が常に成り立つ。実際、$((a,b),c)=(a,(b,c))$ と仮定すると、prop-cartesian-product-pair-equality により第 2 成分が等しく、$c=(b,c)=\{\{b\},\{b,c\}\}$ である。すると $\{b,c\}\in c$ かつ $c\in\{b,c\}$、すなわち $c\in\{b,c\}\in c$ となり、集合 $\{c,\{b,c\}\}$ は $\in$ に関する極小元をもたないことになって正則性公理に反する。正則性公理を仮定しなければ、$(a,b)=a$ かつ $c=(b,c)$ を満たす $a,c$ の存在は否定できず（そのとき両辺はともに $(a,c)$ に一致する）、この証明には正則性公理が本当に要る。一方、異なる 3 つ組から作った元どうしが一致することはありうる。たとえば $p:=(\emptyset,\emptyset)=\{\{\emptyset\}\}$ とおき、$A=C=\{\emptyset,p\}$、$B=\{\emptyset\}$ とすると、$((\emptyset,\emptyset),p)=(p,p)=(p,(\emptyset,\emptyset))$ は $(A\times B)\times C$ と $A\times(B\times C)$ の共通の元である。したがって、2 つの集合が共通の元をもたないとまでは一般にはいえない。それでも $((a,b),c)\mapsto(a,(b,c))$ は全単射であり、def-cartesian-product-finite の $A\times B\times C$ とも全単射で対応するので、通常はこれらを同一視して括弧を省く。
性質
集合演算との関係
直積に関する等式の証明は、順序対 $(x,y)$ が $A\times B$ に属するための条件を成分の言葉に翻訳することから始まる。
$A,B$ を集合、$x,y$ を任意の対象とする。このとき
$$
(x,y)\in A\times B\iff x\in A\ \text{かつ}\ y\in B
$$
が成り立つ。
（$\Leftarrow$）は def-cartesian-product そのものである。（$\Rightarrow$）$(x,y)\in A\times B$ なら、定義によりある $a\in A$ と $b\in B$ について $(x,y)=(a,b)$ である。prop-cartesian-product-pair-equality により $x=a\in A$、$y=b\in B$ である。$\square$
$A,B,C,D$ を集合とする。
- $A\times(B\cup C)=(A\times B)\cup(A\times C)$、$(B\cup C)\times A=(B\times A)\cup(C\times A)$。
- $A\times(B\cap C)=(A\times B)\cap(A\times C)$、$(B\cap C)\times A=(B\times A)\cap(C\times A)$。
- $A\times(B\setminus C)=(A\times B)\setminus(A\times C)$。
- $(A\times B)\cap(C\times D)=(A\cap C)\times(B\cap D)$。
- $A\subset C$ かつ $B\subset D$ ならば $A\times B\subset C\times D$。逆に $A\times B\subset C\times D$ かつ $A\ne\emptyset$、$B\ne\emptyset$ ならば $A\subset C$ かつ $B\subset D$。
どの等式も、両辺の元がすべて順序対であることに注意し、順序対 $(x,y)$ の所属を lem-cartesian-product-membership で成分の条件に直して比べる。
1：$(x,y)\in A\times(B\cup C)$ は「$x\in A$ かつ（$y\in B$ または $y\in C$）」と同値である。論理の分配法則により、これは「（$x\in A$ かつ $y\in B$）または（$x\in A$ かつ $y\in C$）」、すなわち「$(x,y)\in A\times B$ または $(x,y)\in A\times C$」と同値である。両辺の元はすべて順序対なので、これで両辺の元が一致し、等式が成り立つ。もう 1 つの等式は $A$ を右側に置いて同じ議論をすればよい。
2：$(x,y)\in A\times(B\cap C)$ は「$x\in A$ かつ $y\in B$ かつ $y\in C$」と同値であり、これは「$(x,y)\in A\times B$ かつ $(x,y)\in A\times C$」と同値である。もう 1 つの等式も同様である。
3：$(x,y)\in A\times(B\setminus C)$ は「$x\in A$ かつ $y\in B$ かつ $y\notin C$」と同値である。一方、$(x,y)\in(A\times B)\setminus(A\times C)$ は「$x\in A$ かつ $y\in B$、かつ（$x\notin A$ または $y\notin C$）」と同値であり、$x\in A$ のもとで「$x\notin A$ または $y\notin C$」は $y\notin C$ と同値なので、両者は一致する。
4：$(x,y)\in(A\times B)\cap(C\times D)$ は「$x\in A$ かつ $y\in B$ かつ $x\in C$ かつ $y\in D$」、すなわち「$x\in A\cap C$ かつ $y\in B\cap D$」と同値であり、これは $(x,y)\in(A\cap C)\times(B\cap D)$ と同値である。
5：前半。$(x,y)\in A\times B$ なら $x\in A\subset C$、$y\in B\subset D$ なので $(x,y)\in C\times D$ である。後半。$x\in A$ を任意にとる。$B\ne\emptyset$ なので $b\in B$ がとれ、$(x,b)\in A\times B\subset C\times D$ から $x\in C$ である。よって $A\subset C$ である。$B\subset D$ も同様に、$A\ne\emptyset$ から $a\in A$ をとって示される。$\square$
5 の後半で $A,B$ が空でないという仮定は外せない。$A=\emptyset$ なら $A\times B=\emptyset$ はどんな $C\times D$ にも含まれるが、$B\subset D$ は成り立つとは限らない。また、直積は和集合に分配するが、和集合の直積は直積の和集合ではない。$(A\cup B)\times(C\cup D)$ は $(A\times C)\cup(B\times D)$ より一般に大きく、たとえば $A=C=\{0\}$、$B=D=\{1\}$ とすると前者は $\{0,1\}^2$（4 元）、後者は $\{(0,0),(1,1)\}$（2 元）である。
$A,B$ を集合とする。
- $A\times B=\emptyset$ であることと、$A=\emptyset$ または $B=\emptyset$ であることは同値である。
- $A\times B=B\times A$ であることと、$A=B$ または $A=\emptyset$ または $B=\emptyset$ であることは同値である。
1：$A=\emptyset$ または $B=\emptyset$ なら $A\times B=\emptyset$ であることは ex-cartesian-product-empty で示した。逆に $A\ne\emptyset$ かつ $B\ne\emptyset$ なら、$a\in A$ と $b\in B$ がとれて $(a,b)\in A\times B$ なので $A\times B\ne\emptyset$ である。
2：$A=B$ なら両辺は同じ集合 $A\times A$ である。$A=\emptyset$ または $B=\emptyset$ なら 1 により両辺とも $\emptyset$ である。逆に $A\times B=B\times A$ を仮定し、$A\ne\emptyset$ かつ $B\ne\emptyset$ とする。$a\in A$ を任意にとり、$b\in B$ を 1 つとると $(a,b)\in A\times B=B\times A$ なので、lem-cartesian-product-membership により $a\in B$ である。よって $A\subset B$ である。$A$ と $B$ の役割を入れ替えて $B\subset A$ も得られ、$A=B$ である。$\square$
射影と直積の普遍性
直積は「成分ごとに写像を与えれば直積への写像が 1 つ定まる」という性質で特徴づけられる。この性質は、直積を圏論的な積（積(圏論)）として捉える出発点である。
- $A,B,X$ を集合とし、写像 $f\colon X\to A$、$g\colon X\to B$ が与えられたとする。このとき $\operatorname{pr}_1\circ h=f$ かつ $\operatorname{pr}_2\circ h=g$ を満たす写像 $h\colon X\to A\times B$ がただ 1 つ存在する。この $h$ を $(f,g)$ と書く。
- $(A_i)_{i\in I}$ を集合族、$X$ を集合とし、各 $i\in I$ に対し写像 $f_i\colon X\to A_i$ が与えられたとする。このとき、すべての $i\in I$ に対して $\operatorname{pr}_i\circ h=f_i$ を満たす写像 $h\colon X\to\prod_{i\in I}A_i$ がただ 1 つ存在する。
1：存在。$h(x):=(f(x),g(x))$ と定める。$f(x)\in A$、$g(x)\in B$ なので $h(x)\in A\times B$ であり、$\operatorname{pr}_1(h(x))=f(x)$、$\operatorname{pr}_2(h(x))=g(x)$ である。一意性。$h'\colon X\to A\times B$ が $\operatorname{pr}_1\circ h'=f$、$\operatorname{pr}_2\circ h'=g$ を満たすとする。任意の $x\in X$ に対し、$h'(x)\in A\times B$ は順序対なので $h'(x)=(\operatorname{pr}_1(h'(x)),\operatorname{pr}_2(h'(x)))=(f(x),g(x))=h(x)$ である。よって $h'=h$ である。
2：存在。各 $x\in X$ に対し、写像 $h(x)\colon I\to\bigcup_iA_i$ を $h(x)(i):=f_i(x)$ で定める。$f_i(x)\in A_i$ なので $h(x)\in\prod_iA_i$ であり、$\operatorname{pr}_i(h(x))=h(x)(i)=f_i(x)$ である。$h(x)$ は $x$ と族 $(f_i)_{i\in I}$ から定まる集合（グラフ $\{(i,f_i(x))\mid i\in I\}$）なので、$x\mapsto h(x)$ は写像である。一意性。$h'$ がすべての $i$ について $\operatorname{pr}_i\circ h'=f_i$ を満たすなら、任意の $x\in X$ と $i\in I$ に対し $h'(x)(i)=\operatorname{pr}_i(h'(x))=f_i(x)=h(x)(i)$ なので、写像として $h'(x)=h(x)$ であり、$h'=h$ である。$\square$
prop-cartesian-product-universal の 1 で $X=A\times B$、$f=\operatorname{pr}_1$、$g=\operatorname{pr}_2$ とすると、$(\operatorname{pr}_1,\operatorname{pr}_2)$ は $A\times B$ の恒等写像である。また写像 $u\colon A\to C$、$v\colon B\to D$ に対し、$(u\circ\operatorname{pr}_1,\ v\circ\operatorname{pr}_2)\colon A\times B\to C\times D$ を $u\times v$ と書く。これは $(a,b)\mapsto(u(a),v(b))$ である。$X=A$、$f=g=\mathrm{id}_A$ とすれば $A\to A\times A$、$a\mapsto(a,a)$ が得られ、これを対角写像という。その像 $\{(a,a)\mid a\in A\}$ は $A\times A$ の対角線集合であり、$A$ 上の等号を二項関係として表したものである。
射影が全射であるとは限らない。$A\ne\emptyset$ かつ $B\ne\emptyset$ なら $\operatorname{pr}_1\colon A\times B\to A$ は全射である（$a\in A$ に対し $b\in B$ をとれば $(a,b)\mapsto a$）が、$B=\emptyset$ かつ $A\ne\emptyset$ なら $A\times B=\emptyset$ なので $\operatorname{pr}_1$ は全射でない。添字付き族についても同様で、$\prod_iA_i\ne\emptyset$ なら各 $\operatorname{pr}_j$ は全射である。実際 $a\in A_j$ と $f\in\prod_iA_i$ に対し、$f$ の第 $j$ 成分だけを $a$ に取り替えた写像 $f'$（$f'(j):=a$、$i\ne j$ なら $f'(i):=f(i)$）は $\prod_iA_i$ の元で $\operatorname{pr}_j(f')=a$ である。
有限集合の濃度
有限集合 $A$ の濃度（元の個数）$|A|$ が $m$ であるとは、$A$ と $\{1,\dots,m\}$ の間に全単射があることをいう。以下では、有限集合について次の基本事実を用いる。有限集合と全単射で対応する集合は同じ濃度の有限集合であること、有限集合 $X,Y$ が $X\cap Y=\emptyset$ を満たせば $X\cup Y$ は有限集合で $|X\cup Y|=|X|+|Y|$ であること、および $|B|=n+1$ なら任意の $b\in B$ に対し $|B\setminus\{b\}|=n$ であることである。これらの証明は End77 Chapter 6、Mat68 第 2 章に譲る。
$A,B$ を有限集合とし、$|A|=m$、$|B|=n$ とする。このとき $A\times B$ は有限集合であり、
$$
|A\times B|=|A|\cdot|B|=mn
$$
が成り立つ。
$m$ を固定し、$n$ に関する帰納法（数学的帰納法）で示す。
$n=0$ のとき。$B=\emptyset$ なので ex-cartesian-product-empty により $A\times B=\emptyset$ であり、$|A\times B|=0=m\cdot0$ である。
$n$ で成り立つと仮定し、$|B|=n+1$ とする。$B\ne\emptyset$ なので $b\in B$ を 1 つとり、$B':=B\setminus\{b\}$ とおくと $|B'|=n$ であり、$B=B'\cup\{b\}$、$B'\cap\{b\}=\emptyset$ である。prop-cartesian-product-distributive の 1 と 2 により
$$
A\times B=(A\times B')\cup(A\times\{b\}),\qquad
(A\times B')\cap(A\times\{b\})=A\times(B'\cap\{b\})=A\times\emptyset=\emptyset
$$
である。帰納法の仮定により $A\times B'$ は有限で $|A\times B'|=mn$ である。次に、写像 $\varphi\colon A\to A\times\{b\}$、$a\mapsto(a,b)$ は全単射である。実際、$\varphi(a)=\varphi(a')$ なら prop-cartesian-product-pair-equality により $a=a'$ なので単射であり、$A\times\{b\}$ の任意の元は定義によりある $a\in A$ について $(a,b)=\varphi(a)$ と書けるので全射である。よって $A\times\{b\}$ は有限で $|A\times\{b\}|=m$ である。互いに素な 2 つの有限集合の和集合の濃度は濃度の和なので、$A\times B$ は有限で
$$
|A\times B|=mn+m=m(n+1)
$$
である。$\square$
同じ議論を繰り返せば、有限集合 $A_1,\dots,A_n$ に対し $|A_1\times\cdots\times A_n|=|A_1|\cdots|A_n|$、特に $|A^n|=|A|^n$ が得られる（def-cartesian-product-finite の直積と繰り返しの直積 $(\cdots(A_1\times A_2)\times\cdots)\times A_n$ が全単射で対応することを使う）。ex-cartesian-product-sequences の全単射 $\{0,1\}^I\cong\mathcal{P}(I)$ と合わせると（全単射 $I\cong\{1,\dots,n\}$ から写像の集合の全単射 $\{0,1\}^I\cong\{0,1\}^n$ が従うので）、$|I|=n$ のとき $|\mathcal{P}(I)|=|\{0,1\}^n|=2^n$ である。無限集合については事情が変わり、たとえば $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ は $\mathbb{N}$ と同じ濃度をもつ。一般に無限集合 $A$ と空でない集合 $B$ で $|B|\le|A|$ なら $|A\times B|=|A|$ であることが、選択公理のもとで成り立つ（Jec03 Theorem 3.5（無限基数 $\kappa$ について $\kappa\cdot\kappa=\kappa$）から従う。End77 Chapter 6 も参照。証明は 基数 の記事の命題「無限基数の和と積」および同書に譲り、本記事では扱わない）。
選択公理との関係
有限個の空でない集合の直積が空でないことは、選択公理 の記事の例「有限族の選択関数」のとおり帰納法で示せる。ところが、無限個の空でない集合の直積が空でないことは、ZF公理系 $\mathsf{ZF}$ の他の公理からは証明できず、選択公理そのものと同値である。
$\mathsf{ZF}$ のもとで、次の 2 つの主張は同値である。
- （選択公理）任意の集合 $I$ と、すべての $i\in I$ で $A_i\ne\emptyset$ を満たす集合族 $(A_i)_{i\in I}$ に対し、写像 $f\colon I\to\bigcup_{i\in I}A_i$ ですべての $i\in I$ について $f(i)\in A_i$ を満たすもの（選択関数）が存在する。
- 任意の集合 $I$ と、すべての $i\in I$ で $A_i\ne\emptyset$ を満たす集合族 $(A_i)_{i\in I}$ に対し、$\prod_{i\in I}A_i\ne\emptyset$ である。
def-cartesian-product-family により、$\prod_{i\in I}A_i$ の元とは、写像 $f\colon I\to\bigcup_iA_i$ ですべての $i$ について $f(i)\in A_i$ を満たすもの、すなわち族 $(A_i)_{i\in I}$ の選択関数にほかならない。したがって、どの族 $(A_i)_{i\in I}$ についても「選択関数が存在する」と「$\prod_iA_i\ne\emptyset$」は同じ主張であり、1 と 2 は同値である。$\square$
thm-cartesian-product-ac は選択公理の言い換えであって、直積が空でないことを $\mathsf{ZF}$ の中で証明したものではない。$\mathsf{ZF}$ が無矛盾なら、選択公理は $\mathsf{ZF}$ から証明も反証もできない（Gödel と Cohen による。Jec03 Chapter 13・14・15）。したがって「空でない集合の無限族の直積は空でない」も $\mathsf{ZF}$ だけからは証明できない。選択公理と同値な他の命題（整列可能定理、Zornの補題 など）、および選択公理が不要な場合の詳しい議論は 選択公理 の記事が扱う。特に、添字集合 $I$ が有限のとき、あるいは各 $A_i$ から元を選ぶ規則が一様に書けるときには、選択公理なしで $\prod_iA_i\ne\emptyset$ が示せる（選択公理 の記事の例「有限族の選択関数」「選択規則が明示できる族」）。たとえば $A_i=\mathbb{N}$ なら $f(i):=0$ が直積の元であり、$A_i$ がそれぞれ $\mathbb{N}$ の空でない部分集合なら $f(i):=\min A_i$ が直積の元である。
補足
順序対の他の定義
Kuratowski の定義は 1921 年のものであり、それ以前に Wiener（1914 年）が $(a,b):=\{\{\{a\},\emptyset\},\{\{b\}\}\}$ を、Hausdorff が $(a,b):=\{\{a,1\},\{b,2\}\}$（$1,2$ は $a,b$ と異なる固定した対象）を提案している（End77 Chapter 3 の注記）。どの定義を採っても、順序対に要求されるのは prop-cartesian-product-pair-equality の性質だけであり、その後の理論はこの性質のみを使って進む。したがって順序対の内部構造（たとえば $\{a\}\in(a,b)$ であること）を数学の他の部分で使うことはなく、rem-cartesian-product-counterexample-associativity のような事実も定義の選び方に依存する一種の「実装の細部」である。圏論では、順序対の構成を指定する代わりに prop-cartesian-product-universal の普遍性で直積を特徴づける（積(圏論)）。
直積に構造を入れる
集合の直積は、さまざまな構造をもつ対象の直積の土台になる。群 $G,H$ の直積集合 $G\times H$ に成分ごとの演算 $(g,h)(g',h')=(gg',hh')$ を入れたものが直積群であり、ベクトル空間の直積も成分ごとの演算で定まる。位相空間の族の直積集合には、すべての射影が連続写像になる最も粗い位相として直積位相が入り、コンパクト空間の直積がコンパクトであるという Tychonoffの定理 は選択公理と同値である。順序集合の直積には成分ごとの直積順序や辞書式順序が入る。いずれの場合も、台集合は本記事の直積集合であり、射影が構造を保つ写像になるように構造が定められる。
関係・写像・非交和
$A$ から $B$ への二項関係とは $A\times B$ の部分集合のことであり、写像 $f\colon A\to B$ はそのグラフ $\{(a,f(a))\mid a\in A\}\subset A\times B$ で決まる。したがって $A$ から $B$ への写像全体 $B^A$ は $\mathcal{P}(A\times B)$ の部分集合として集合になる。直積の双対にあたる構成は非交和 $A\sqcup B=(A\times\{0\})\cup(B\times\{1\})$ であり、これも直積を使って「どちらから来た元か」の目印を付けることで作られる。圏論の言葉では直積は積(圏論)、非交和は余積(圏論)である。
関連項目
参考文献
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