球（高校数学）

方針：(B3) で、$\alpha$ の上の点が球に入る条件を、$H$ からの距離の条件に直す。
段 1（言いかえ）。$\alpha$ の上の点 $X$ について、(B3) から $CX^2=d^2+HX^2$ である。したがって
$$ X\ \text{が球の点}\iff d^2+HX^2\le r^2\iff HX^2\le r^2-d^2 $$
であり、$X$ が球面の点であることは $HX^2=r^2-d^2$ と同値である。
段 2（場合分け）。$d< r$ なら、$\alpha$ の上の点 $X$ が球の点であることは $HX\le\sqrt{r^2-d^2}$ と同値で、切り口は中心 $H$、半径 $\sqrt{r^2-d^2}$ の円板である。同じく、球面と $\alpha$ の交わりは $HX=\sqrt{r^2-d^2}$ の円である。$d=r$ なら条件は $HX^2\le0$、つまり $X=H$ である。$d>r$ なら $r^2-d^2<0$ で、条件を満たす $X$ はない。$\square$

方針：$\vec x=\overrightarrow{CX}$、$\vec y=\overrightarrow{CY}$ とおくと、$\lvert\vec x\rvert\le r$、$\lvert\vec y\rvert\le r$ である。三角不等式とその等号の条件を使う。
段 1（1 の証明）。線分 $XY$ の点は、$0\le t\le1$ で $\overrightarrow{CZ}=(1-t)\vec x+t\vec y$ となる点 $Z$ である。三角不等式から
$$ CZ=\lvert(1-t)\vec x+t\vec y\rvert\le(1-t)\lvert\vec x\rvert+t\lvert\vec y\rvert\le(1-t)r+tr=r $$
なので、$Z$ は球の点である。
段 2（2 の不等式）。$XY=\lvert\vec y-\vec x\rvert\le\lvert\vec y\rvert+\lvert-\vec x\rvert\le2r$ である。
段 3（等号の条件）。$XY=2r$ なら、段 2 の 2 つの不等号がどちらも等号なので、$\lvert\vec x\rvert=\lvert\vec y\rvert=r$（$X$、$Y$ は球面の上）で、三角不等式の等号から $(-\vec x)\cdot\vec y=\lvert\vec x\rvert\lvert\vec y\rvert=r^2$ である。(B2) の等号の条件から $\vec y=k(-\vec x)$ となる $k$ があり、内積に代入すると $kr^2=r^2$、$k=1$ である。よって $\vec y=-\vec x$ で、$C$ は線分 $XY$ の中点である。逆に $\lvert\vec x\rvert=r$、$\vec y=-\vec x$ なら $XY=\lvert-2\vec x\rvert=2r$ である。$\square$

方針：thm-blh-section で底面の円の中心と半径を決め、体積を $h$ の 3 次関数にして (B4) を使う。
段 1（底面の円）。球の中心を $C$、底面を含む平面を $\beta$、$C$ と $\beta$ の距離を $d$、垂線の足を $H$ とする。底面の円周 $K$（中心 $O$、半径 $r$）は球面と $\beta$ の交わりに含まれる。交わりが 2 点以上を含むので、thm-blh-section により $d< R$ で、交わりは中心 $H$、半径 $s=\sqrt{R^2-d^2}$ の円である。$K$ の点は $\beta$ の中の単位ベクトル $\vec u$ を使って $O+r\vec u$ と書け、$H$ からの距離が $s$ なので
$$ \lvert\overrightarrow{HO}\rvert^2+2r\,\vec u\cdot\overrightarrow{HO}+r^2=s^2 $$
がすべての $\vec u$ で成り立つ。$\vec u$ と $-\vec u$ を入れて引くと $\vec u\cdot\overrightarrow{HO}=0$ である。$\overrightarrow{HO}$ は $\beta$ の中のベクトルで、$\beta$ の中のどの向きとも垂直なので $\overrightarrow{HO}=\vec 0$、つまり $O=H$ で、$r^2=s^2=R^2-d^2$ である。
段 2（高さ）。円錐の軸は、$O=H$ を通って $\beta$ に垂直な直線で、$CH\perp\beta$ なので $C$ を通る（$C=H$ のときも通る）。頂点 $V$ は軸の上で $CV=R$ の点なので、$C$ から軸に沿って $R$ だけ離れた 2 点のどちらかである。$V$ と $\beta$ の距離 $h$ は $R+d$ か $R-d$ で、どちらでも $(h-R)^2=d^2$、$0< h<2R$ である。よって
$$ r^2=R^2-(h-R)^2=h(2R-h) $$
である。逆に $0< h<2R$ のどの $h$ についても、$d=\lvert h-R\rvert$ の平面と軸の上の点でこの円錐が作れる。
段 3（体積の最大）。体積は $f(h)=\dfrac13\pi h^2(2R-h)=\dfrac\pi3(2Rh^2-h^3)$ で、
$$ f'(h)=\frac\pi3(4Rh-3h^2)=\frac\pi3h(4R-3h) $$
である。$0< h< \dfrac43R$ で $f'(h)>0$、$\dfrac43R< h<2R$ で $f'(h)<0$ なので、(B4) により $f$ は $0< h\le\dfrac43R$ で増加し、$\dfrac43R\le h<2R$ で減少する。よって $f$ は $h=\dfrac43R$ のときに限り最大である。このとき $r^2=\dfrac43R\cdot\dfrac23R=\dfrac89R^2$、$f\left(\dfrac43R\right)=\dfrac\pi3\cdot\dfrac{16}9R^2\cdot\dfrac23R=\dfrac{32}{81}\pi R^3$ である。球の体積 $\dfrac43\pi R^3$ との比は $\dfrac{32}{81}\cdot\dfrac34=\dfrac8{27}$ である。$\square$