Schubert多項式

1．$g:=f-s_if$ は $x_i=x_{i+1}$ を代入すると $0$ になる。$g$ を $x_i$ の多項式とみてモニック多項式 $x_i-x_{i+1}$ で割ると $g=(x_i-x_{i+1})q+r$、$r$ は $x_i$ を含まず、$x_i=x_{i+1}$ を代入して $r=0$ を得る。よって $\partial_if=q$ は多項式である。次数と同値性は定義から明らかである。
2．$s_i$ は $f-s_if$ と $x_i-x_{i+1}$ の符号をともに変えるので、商を変えない。よって $\partial_if$ は $s_i$ で不変であり、1 から $\partial_i\partial_if=0$ である。
3．$fg-(s_if)(s_ig)=(f-s_if)g+(s_if)(g-s_ig)$ を $x_i-x_{i+1}$ で割ればよい。
4．$s_i$ と $s_j$ は可換で、$s_i$ は $x_j-x_{j+1}$ を、$s_j$ は $x_i-x_{i+1}$ を動かさないので、$\partial_i\partial_jf=\dfrac{f-s_jf-s_if+s_is_jf}{(x_i-x_{i+1})(x_j-x_{j+1})}$ となり、これは $i,j$ について対称である。
5．$i=1$ としてよい（他の場合は添字をずらすだけである）。有理関数体 $\mathbb{Q}(x_1,x_2,x_3)$ の上の作用素として
$$ \partial_1\partial_2\partial_1=\frac{1}{\Delta}\sum_{w\in S_3}\operatorname{sgn}(w)\,w,\qquad\Delta:=(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_2-x_3) $$
が成り立つ。$\mathbb{Q}(x_1,x_2,x_3)$ の自己同型 $\theta(x_k):=-x_{4-k}$ は $\theta\partial_1\theta^{-1}=\partial_2$、$\theta\partial_2\theta^{-1}=\partial_1$、$\theta(\Delta)=\Delta$ を満たし、$S_3$ の元を同じ符号の元に共役で写すので、右辺は $\theta$ による共役で変わらない。左辺を $\theta$ で共役にしたものは $\partial_2\partial_1\partial_2$ なので、主張を得る。$x_4,x_5,\dots$ を含む多項式についても、$x_4,x_5,\dots$ を係数に含めて $s_1,s_2,\theta$ がそれらを動かさないとすれば、同じ計算がそのまま成り立つ。

1．$l=\ell(w)$ についての帰納法で示す。$l\le1$ なら簡約語は 1 つしかない。$\mathbf{a}=(a_1,\dots,a_l)$、$\mathbf{b}=(b_1,\dots,b_l)$ を $w$ の簡約語とし、$i:=a_l$、$j:=b_l$ とおく。
(i) $i=j$ のとき。$(a_1,\dots,a_{l-1})$ と $(b_1,\dots,b_{l-1})$ はどちらも $ws_i$ の簡約語なので、帰納法の仮定から $\partial_{a_1}\cdots\partial_{a_{l-1}}=\partial_{b_1}\cdots\partial_{b_{l-1}}$ であり、右から $\partial_i$ を掛ければよい。
(ii) $i\ne j$ のとき。$\ell(ws_i)< \ell(w)$ かつ $\ell(ws_j)< \ell(w)$ である。$I:=\{s_i,s_j\}$ が生成する部分群を $W_I$ とする。Coxeter系 の命題「両側剰余類の最小長代表元」により、左剰余類 $wW_I$ の長さ最小の元 $u$ があり、すべての $y\in W_I$ で $\ell(uy)=\ell(u)+\ell(y)$ が成り立つ。$w=uy_0$（$y_0\in W_I$）と書くと、$\ell(ws_i)< \ell(w)$ から $\ell(y_0s_i)< \ell(y_0)$、同様に $\ell(y_0s_j)< \ell(y_0)$ である。同じ記事の命題「放物型部分群の基本性質」により $W_I$ の中の長さは $I$ に関する長さに等しい。$|i-j|\ge2$ なら $W_I=\{e,s_i,s_j,s_is_j\}$ で、右から $s_i$ と $s_j$ のどちらを掛けても短くなる元は $y_0=s_is_j=s_js_i$ だけである。$|i-j|=1$ なら $W_I$ は位数 $6$ で、そのような元は $y_0=s_is_js_i=s_js_is_j$ だけである（$s_is_j$ は $s_i$ を右から掛けると長さ $3$ になる）。$u$ の簡約語 $\mathbf{r}$ をとり、$\mathbf{c}$、$\mathbf{c}'$ をそれぞれ $i$ で終わる $y_0$ の簡約語（$(j,i)$ または $(i,j,i)$）と $j$ で終わる簡約語とすると、長さが足し合わされるので $\mathbf{r}\mathbf{c}$、$\mathbf{r}\mathbf{c}'$ も $w$ の簡約語である。(i) により $\partial_{\mathbf{a}}=\partial_{\mathbf{r}\mathbf{c}}$、$\partial_{\mathbf{b}}=\partial_{\mathbf{r}\mathbf{c}'}$ であり、lem-schubert-dd の 4・5 により $\partial_{\mathbf{c}}=\partial_{\mathbf{c}'}$ なので、$\partial_{\mathbf{a}}=\partial_{\mathbf{b}}$ である。
2．$a_1\cdots a_k$ が簡約語でない最小の $k$ をとる。$v:=s_{a_1}\cdots s_{a_{k-1}}$ は長さ $k-1$ で、$\ell(vs_{a_k})< k$ かつ長さは $1$ ずつしか変わらないので $\ell(vs_{a_k})=k-2< \ell(v)$ である。Coxeter系 の系「Coxeter系は交換条件を満たす」により、$vs_{a_k}$ は $(a_1,\dots,a_{k-1})$ から 1 文字除いた長さ $k-2$ の語で表され、その後ろに $a_k$ を付けた語は $v$ の簡約語である。1 により $\partial_{a_1}\cdots\partial_{a_{k-1}}$ は右端が $\partial_{a_k}$ の積に書き直せるので、$\partial_{a_1}\cdots\partial_{a_k}$ は $\partial_{a_k}\partial_{a_k}=0$ を含み、$0$ である。
3．$u$、$v$ の簡約語をつないだ語は $uv$ を表し、長さが足し合わされるときに限り簡約語なので、1・2 から従う。$\square$

1．$\partial_v\mathfrak{S}_w=\partial_v\partial_{w^{-1}w_0}x^{\delta_n}$ である。$u:=wv^{-1}$ とおくと $vw^{-1}w_0=u^{-1}w_0$ で、その長さは $\ell(w_0)-\ell(u)$ である。thm-schubert-well-defined の 3 により、$\ell(w_0)-\ell(u)=\ell(v)+\ell(w_0)-\ell(w)$、すなわち $\ell(u)=\ell(w)-\ell(v)$ なら $\partial_v\partial_{w^{-1}w_0}=\partial_{u^{-1}w_0}$ で、結果は $\mathfrak{S}_u$ である。そうでなければ $0$ である。
2．$S_{n+1}$ の最長元を $w_0'$ とし、$c:=w_0w_0'$ とおく（$w_0$ は $S_n$ の最長元）。$c(1)=n+1$、$c(i)=i-1$（$i\ge2$）であり、$c=s_ns_{n-1}\cdots s_1$、$\ell(c)=n$ である。$w\in S_n$ について $\ell(w^{-1}w_0)+\ell(c)=\binom n2-\ell(w)+n=\binom{n+1}2-\ell(w)=\ell(w^{-1}w_0')$ なので、thm-schubert-well-defined の 3 から $\partial_{w^{-1}w_0'}=\partial_{w^{-1}w_0}\,\partial_n\partial_{n-1}\cdots\partial_1$ である。したがって
$$ \partial_n\partial_{n-1}\cdots\partial_1\bigl(x^{\delta_{n+1}}\bigr)=x^{\delta_n} $$
を示せばよい。$k=1,\dots,n$ の順に $\partial_k$ を施すと、その直前の多項式は $x_k^{n-k+1}x_{k+1}^{n-k}$ に $x_k,x_{k+1}$ を含まない単項式を掛けた形をしていて、$x_k^{n-k+1}x_{k+1}^{n-k}=(x_kx_{k+1})^{n-k}x_k$ と lem-schubert-dd の 3 により、$\partial_k$ はこれを $(x_kx_{k+1})^{n-k}$ に変える。$k=1$ の直前は $x^{\delta_{n+1}}$ であり、$\partial_k$ の後の多項式は $x_1^{n-1}\cdots x_k^{n-k}x_{k+1}^{n-k}x_{k+2}^{n-k-1}\cdots x_n$ なので、次の $\partial_{k+1}$ の前でも同じ形になっている。$k=n$ の後に $x^{\delta_n}$ を得る。
3．$x^{\delta_n}$ は $\binom n2$ 次斉次で、各 $\partial_i$ は次数を $1$ 下げるか $0$ にするので、$\mathfrak{S}_w$ は $\binom n2-\ell(w^{-1}w_0)=\ell(w)$ 次斉次か $0$ である。$S_1$ では $\mathfrak{S}_e=x^{\delta_1}=1$ であり、2 により任意の $n$ で $\mathfrak{S}_e=1$ である。$\ell(w)\ge1$ なら正の次数の斉次多項式か $0$ なので定数項は $0$ である。
4．各 $\partial_i$（$i\le n-1$）は $H_n$ を $H_n$ に写す（下の詳細）。$x^{\delta_n}\in H_n$ なので $\mathfrak{S}_w\in H_n$ である。1 と 3 により
$$ (\partial_v\mathfrak{S}_w)(0)=\delta_{v,w}\qquad(v,w\in S_n) $$
である（$\ell(wv^{-1})=0$ は $v=w$ と同値）。$\sum_wc_w\mathfrak{S}_w=0$ なら、$\partial_v$ を施して定数項をとると $c_v=0$ なので、$\mathfrak{S}_w$（$n!$ 個）は一次独立である。$H_n\otimes\mathbb{Q}$ の次元は $n!$ なので、これは $\mathbb{Q}$ 上の基底であり、$f\in H_n$ は $f=\sum_wq_w\mathfrak{S}_w$（$q_w\in\mathbb{Q}$）と書ける。同じ操作で $q_v=(\partial_vf)(0)$ であり、$\partial_vf$ は整数係数の多項式なので $q_v\in\mathbb{Z}$ である。