高木関数

1：$n$ 番目の項の絶対値は $2^{-n}\cdot\frac12$ 以下で、$\sum_{n\ge m}2^{-n-1}=2^{-m}$ である。よって Weierstrass の M 判定法により級数は一様収束し、連続関数の一様収束極限として $\tau$ は連続である（一様収束）。同じ評価から $\lvert\tau-\tau_m\rvert\le2^{-m}$。
2：$\varphi(y+k)=\varphi(y)$（$k\in\mathbb{Z}$）と $\varphi(-y)=\varphi(y)$ を各項に使う。$2^n(x+1)=2^nx+2^n$ である。
3：$n< m$ とする。$2^nI=\bigl[\frac{k}{2^{m-n}},\frac{k+1}{2^{m-n}}\bigr]$ は長さ $2^{n-m}\le\frac12$ で、端点が $2^{n-m}$ の整数倍なので、ある $\bigl[\frac j2,\frac{j+1}2\bigr]$ に含まれる。したがって $x\mapsto2^{-n}\varphi(2^nx)$ は $I$ の上で傾き $\pm1$ の 1 次式である。傾きが $+1$ になるのは $j$ が偶数のとき、つまり $2^nI$ の点の小数部分が $[0,\frac12]$ にあるときで、これは $I$ の内部の点 $x$ の 2 進展開の $n+1$ 桁目が $b_{n+1}=c_{n+1}=0$ であることと同じである。$n=0,\dots,m-1$ について足すと 3 を得る。
4：$n\ge m$ なら $2^nu=2^{n-m}k$ は整数なので $\varphi(2^nu)=0$ である。$\square$

$y=0.c_1c_2\cdots$ なら $\varphi(y)=\sum_{j\ge1}[c_j\ne c_1]\,2^{-j}$ である。ここで $[\ \cdot\ ]$ は条件が成り立てば $1$、成り立たなければ $0$ を表す。

$0\le x\le1$ とする。$\varphi\bigl(\frac x2\bigr)=\frac x2$、$\varphi\bigl(\frac{1+x}2\bigr)=1-\frac{1+x}2=\frac{1-x}2$ である。$n\ge1$ では $\varphi\bigl(2^n\cdot\frac x2\bigr)=\varphi(2^{n-1}x)$、$\varphi\bigl(2^n\cdot\frac{1+x}2\bigr)=\varphi(2^{n-1}+2^{n-1}x)=\varphi(2^{n-1}x)$ である。よって
$$ \tau\Bigl(\frac x2\Bigr)=\frac x2+\sum_{n\ge1}\frac{\varphi(2^{n-1}x)}{2^n}=\frac x2+\frac{\tau(x)}2 $$
で、もう一方も同じである。
逆を示す。$g:=f-\tau$ は $[0,1]$ 上で有界で、$g\bigl(\frac x2\bigr)=\frac{g(x)}2$、$g\bigl(\frac{1+x}2\bigr)=\frac{g(x)}2$ を満たす。$M:=\sup_{[0,1]}\lvert g\rvert$ とおく。$[0,1]$ のどの点 $y$ も、$x=2y$（$y\le\frac12$）か $x=2y-1$（$y\ge\frac12$）とおけば $x\in[0,1]$ で $y=\frac x2$ か $y=\frac{1+x}2$ と書けるので、$\lvert g(y)\rvert=\frac{\lvert g(x)\rvert}2\le\frac M2$ である。よって $M\le\frac M2$ で、$M$ は有限なので $M=0$ である。$\square$

$x=\frac{k+y}{2^m}$ とおく。$\tau_m$ は $I$ の上で傾き $D$ の 1 次式なので $\tau_m(x)=\tau_m\bigl(\frac k{2^m}\bigr)+D\frac y{2^m}$ で、prop-tk-basic の 4 により $\tau_m\bigl(\frac k{2^m}\bigr)=\tau\bigl(\frac k{2^m}\bigr)$ である。$n\ge m$ の項は $\varphi(2^nx)=\varphi(2^{n-m}k+2^{n-m}y)=\varphi(2^{n-m}y)$ なので、$\sum_{n\ge m}2^{-n}\varphi(2^nx)=2^{-m}\tau(y)$ である。$\square$

$\lambda_m:=\frac{v_m-x}{v_m-u_m}\in[0,1]$ とおく。$\varepsilon>0$ に対して $\delta>0$ を、$0<\lvert t-x\rvert<\delta$ なら $\bigl\lvert\frac{f(t)-f(x)}{t-x}-f'(x)\bigr\rvert\le\varepsilon$ となるようにとり、$v_m-u_m<\delta$ となる $m$ を考える。$u_m< x< v_m$ なら
$$ \frac{f(v_m)-f(u_m)}{v_m-u_m}=\lambda_m\frac{f(v_m)-f(x)}{v_m-x}+(1-\lambda_m)\frac{f(x)-f(u_m)}{x-u_m} $$
で、右辺の 2 つの傾きはどちらも $f'(x)$ との差が $\varepsilon$ 以下なので、左辺もそうである。$x=u_m$ や $x=v_m$ のときは左辺が片方の傾きそのものになり、同じ評価が成り立つ。$\square$

$x$ を固定し、$m\ge0$ について $k_m:=\lfloor2^mx\rfloor$、$u_m:=\frac{k_m}{2^m}\le x< v_m:=\frac{k_m+1}{2^m}$、$I_m:=[u_m,v_m]$ とおく。$I_{m+1}\subset I_m$ である。prop-tk-basic の 4 により $\tau(u_m)=\tau_m(u_m)$、$\tau(v_m)=\tau_m(v_m)$ なので、
$$ Q_m:=\frac{\tau(v_m)-\tau(u_m)}{v_m-u_m}=\frac{\tau_m(v_m)-\tau_m(u_m)}{v_m-u_m}=D_m(I_m) $$
は $\tau_m$ の $I_m$ 上の傾きである。$\tau_{m+1}=\tau_m+2^{-m}\varphi(2^m\,\cdot\,)$ で、$I_{m+1}\subset I_m$ の上で $\tau_m$ の傾きは $D_m(I_m)$、$2^{-m}\varphi(2^m\,\cdot\,)$ の傾きは $\pm1$ なので（prf-tk-basic の 3）、$Q_{m+1}-Q_m=\pm1$ である。よって $(Q_m)$ は Cauchy 列でなく収束しない。$\tau$ が $x$ で微分可能なら lem-tk-straddle により $Q_m\to\tau'(x)$ となるはずなので、$\tau$ は $x$ で微分可能でない。$\square$

$2^{-m}< h\le2^{-m+1}$ となる整数 $m\ge1$ をとる。$m-1\le\log_2\frac1h$ である。$\tau_m$ は連続な折れ線で、prop-tk-basic の 3 により各線分の傾きの絶対値は $m$ 以下なので、$\lvert\tau_m(x+h)-\tau_m(x)\rvert\le mh$ である。残りの項は $\lvert\varphi(a)-\varphi(b)\rvert\le\frac12$ により
$$ \Bigl\lvert\sum_{n\ge m}\frac{\varphi(2^n(x+h))-\varphi(2^nx)}{2^n}\Bigr\rvert\le\sum_{n\ge m}\frac{1}{2^{n+1}}=2^{-m}< h $$
である。合わせて $\lvert\tau(x+h)-\tau(x)\rvert\le(m+1)h\le h\bigl(\log_2\frac1h+2\bigr)$。
後半は ex-tk-values の 1 から $\tau(2^{-m})=m2^{-m}$ である。Hölder 連続性：$0<\alpha<1$ なら $h^{1-\alpha}\bigl(\log_2\frac1h+2\bigr)$ は $(0,1]$ で有界なので、ある $C$ で $\lvert\tau(x+h)-\tau(x)\rvert\le Ch^\alpha$（$0< h\le1$）であり、$h>1$ では $\lvert\tau(x+h)-\tau(x)\rvert\le\frac23\le\frac23h^\alpha$ である（thm-tk-max）。Lipschitz でないこと：$\frac{\tau(2^{-m})-\tau(0)}{2^{-m}}=m$ は有界でない。$\square$

$\psi(y):=\varphi(y)+\frac12\varphi(2y)$ とおくと、$\psi$ は周期 $1$ の偶関数で、$0\le y\le\frac14$ では $\psi(y)=y+y=2y\le\frac12$、$\frac14\le y\le\frac12$ では $\psi(y)=y+\frac12(1-2y)=\frac12$ である。よって $\psi\le\frac12$ で、等号は $\varphi(y)\ge\frac14$、つまり $y$ の小数部分が $\bigl[\frac14,\frac34\bigr]$ にあるときに限る。$\tau$ の項を $n=2k$ と $n=2k+1$ の組にまとめると（項は $0$ 以上なのでまとめてよい）
$$ \tau(x)=\sum_{k\ge0}\frac{\psi(4^kx)}{4^k}\le\frac12\sum_{k\ge0}\frac1{4^k}=\frac23 $$
で、等号はすべての $k$ で $\psi(4^kx)=\frac12$ のときに限る。$x=\frac13$ では $4^kx$ の小数部分はいつも $\frac13$ である。非可算性：4 進展開の桁がすべて $1$ か $2$ である $x=0.d_1d_2\cdots$（4 進）の全体は非可算で、$4^kx$ の小数部分 $0.d_{k+1}d_{k+2}\cdots$ は $0.111\cdots=\frac13$ 以上 $0.222\cdots=\frac23$ 以下なので、条件を満たす。$\square$