小平の問題
概要
小平の問題（Kodaira problem）とは、コンパクト Kähler 多様体の複素構造を小さく変形して射影多様体にできるか、という問題である。射影性は有理係数の Kähler 類の存在と同値なので、変形で動く $(1,1)$ 型の部分空間の Kähler 錐が有理点に出会うかを問うことになる。複素曲面では小平邦彦が肯定的に示し、次元 $3$ でも肯定的な結果が得られている。一方、$4$ 以上の各次元には、特別な自己準同型をもつ複素トーラスの積の爆発として、射影多様体のホモトピー型さえもたないコンパクト Kähler 多様体があることを Voisin が示した。
前提知識: Kähler多様体, 複素トーラス, 小平の埋め込み定理, Hodge構造, Ehresmannの定理
小平の問題（Kodaira problem）とは、コンパクト Kähler 多様体の複素構造を小さく変形して射影多様体にできるか、という問題である。小平邦彦（Kunihiko Kodaira）が複素曲面についてこれを肯定的に示したことから、高い次元での同じ問いがこの名で呼ばれる（小平自身がこの形で問題を述べたわけではないらしい、と Huy07 p. 954-02 は記している）。
射影多様体はすべて Kähler 多様体だが、逆は成り立たない。そこで「Kähler 多様体は射影多様体の変形にすぎないのか」、もっと粗く「Kähler 多様体と射影多様体は位相で区別できるのか」が問われる。答えは複素次元によって分かれる。
| 複素次元 | 答え | 所在 |
|---|---|---|
| $1$ | 変形するまでもなく、つねに射影的である | 小平の埋め込み定理 の例「射影的になる例」 |
| $2$ | 肯定的 | 小平邦彦（Voi04 Theorem 1、p. 1。Lin24 §1.1、p. 1） |
| $3$ | 肯定的 | H.-Y. Lin（Lin24 Theorem 1.1、p. 1） |
| $4$ 以上 | 否定的。射影多様体のホモトピー型をもたない例がある | C. Voisin（Voi04 Theorem 2、p. 1） |
この記事では、問題の定式化と 3 つの形の関係を述べ、複素トーラスがつねに小さな変形で射影的になること（thm-kprob-torus）と、Voisin の反例の核心である「射影的になれない自己準同型つきのトーラス」（thm-kprob-ns）を証明する。次元 $2,3$ の肯定的な結果と、Voisin の定理の全体はこの記事では証明しない。Voisin の定理は証明の筋を述べる。
定義
複素多様体は連結とする。コンパクト複素多様体 $X$ が射影的であるとは、ある複素射影空間の閉複素部分多様体と双正則であることをいう。
連結な複素多様体 $B$ と固有な正則沈め込み $\pi\colon\mathcal{X}\to B$ を族といい、各 $b\in B$ のファイバー $X_b:=\pi^{-1}(b)$ を族のファイバーという。
- コンパクト複素多様体 $X,X'$ が変形同値であるとは、ある族とその 2 点 $b,b'$ で $X_b\cong X$、$X_{b'}\cong X'$ となるものがあることをいう。
- $0$ を含む複素多様体 $S$ の上の族で $X_0\cong X$ となるものを、$X$ の変形という。
- $X$ の変形 $\pi\colon\mathcal{X}\to S$ について $S_{\mathrm{alg}}:=\{s\in S\mid X_s\text{ は射影的}\}$ とおく。$0$ のある近傍で $S_{\mathrm{alg}}$ が稠密であるとき、$\pi$ を $X$ の代数的近似（algebraic approximation）という。
代数的近似の定義は Lin24 §1.1、p. 1 による。GS21 Definition 2.2 は、$0$ が $S_{\mathrm{alg}}$ の閉包に入るだけのものを代数的近似と呼び、ここでの定義のものを強い代数的近似と呼ぶ。文献 Voi04 p. 1 は $B$ を複素解析空間まで許して変形同値を定義している。
コンパクト Kähler 多様体 $X$ について、次の問いをまとめて小平の問題という。
- $X$ は代数的近似をもつか。
- $X$ は射影多様体と変形同値か。
- $X$ は射影多様体とホモトピー同値か。
最も標準的な形は 1 である（Lin24 §1.1、GS20 Question 1.1）。Huy07 p. 954-02 は 2 の形で述べ、3 を問題の位相的な形として扱う。
コンパクト複素多様体 $X$ について、$X$ が代数的近似をもつなら $X$ は射影多様体と変形同値であり、変形同値なら $X$ は射影多様体と微分同相で、とくにホモトピー同値である。
代数的近似 $\pi\colon\mathcal{X}\to S$ の $0$ の連結な近傍 $S'$ をとると、$S_{\mathrm{alg}}$ は $S'$ で稠密なので点 $s\in S'$ をとれる。$\pi^{-1}(S')\to S'$ は $X$ と射影多様体 $X_s$ を結ぶ族である。後半：族 $\pi$ は固有な沈め込みで $B$ は連結だから、Ehresmannの定理 の系「ファイバーの微分同相型の一定性」によりファイバーはすべて微分同相である。$\square$
したがって 3 の否定的な答えは 1・2 の否定的な答えも与える。逆に 3 次元の結果は最も強い 1 の形で肯定的である。
射影性と有理的な Kähler 類
なぜ変形が問題になるのかは、小平の射影性の判定からわかる。小平の埋め込み定理 の系「Hodge 計量による判定」により、コンパクト複素多様体 $X$ が射影的であることは、de Rham 類が有理係数である Kähler 形式をもつことと同値である。
Kähler 類は $H^{1,1}(X)\cap H^2(X,\mathbb{R})$ の開錐をなす。$H^2(X,\mathbb{C})=H^{1,1}(X)$、すなわち $H^2(X,\mathcal{O}_X)=0$ なら、有理類はこの錐の中で稠密なので、$X$ は変形しなくても射影的である（小平の埋め込み定理 の例「射影的になる例」）。問題になるのは $H^2(X,\mathcal{O}_X)\ne0$ の場合で、このとき $H^{1,1}(X)\cap H^2(X,\mathbb{R})$ は $H^2(X,\mathbb{R})$ の真の部分空間であり、$0$ 以外の有理点をもたないことさえある（thm-kprob-ns）。一方、族のファイバーの $H^2(X_s,\mathbb{Q})$ は局所的に一定で、$H^{1,1}(X_s)$ だけが動く。小平の問題は、動く部分空間の Kähler 錐が固定された有理点に出会うかという問いである。
$\omega$ をコンパクト多様体のシンプレクティック形式とする。$H^2(X,\mathbb{Q})$ は $H^2(X,\mathbb{R})$ で稠密で、調和形式で代表すれば小さな閉形式 $\eta$ を $[\omega+\eta]$ が有理類になるようにとれる。非退化性は開条件なので $\omega+\eta$ はまたシンプレクティック形式である（Huy07 p. 954-02 の注意）。Kähler 形式では $\eta$ の型が $(1,1)$ でなければならないので、この議論は使えず、複素構造の方を動かす必要がある。次の節はこれを実行できる場合である。
複素トーラスは小さな変形で射影的になる
$\Lambda\cong\mathbb{Z}^{2n}$ を格子とし、$\Lambda_{\mathbb{R}}:=\Lambda\otimes\mathbb{R}$ とする。$J^2=-1$ をみたす $\Lambda_{\mathbb{R}}$ の線形変換 $J$ の全体を $\mathcal{J}$ とする。$J\in\mathcal{J}$ について $(\Lambda_{\mathbb{R}},J)$ は $n$ 次元複素ベクトル空間で、$\Lambda$ はその格子である。商を $T_J:=(\Lambda_{\mathbb{R}},J)/\Lambda$ と書く。$n$ 次元の 複素トーラス はすべてこの形である。
$J$ に $\Lambda_{\mathbb{C}}$ の $(-i)$ 固有空間 $P_J$ を対応させると、$\mathcal{J}$ は Grassmann 多様体 $\operatorname{Gr}(n,\Lambda_{\mathbb{C}})$ の開集合 $\{P\mid P\cap\bar P=0\}$ と同一視され、複素多様体になる。$v\mapsto[v]$ は $\mathbb{C}$ 線形同型 $(\Lambda_{\mathbb{R}},J)\to\Lambda_{\mathbb{C}}/P_J$ を与えるので、$\mathcal{J}$ の上の正則ベクトル束 $Q:=\Lambda_{\mathbb{C}}/P$（$P$ は普遍部分束）を、$\Lambda$ の定める正則な切断たちによる平行移動で割ると、ファイバーが $T_J$ である族 $\mathcal{T}\to\mathcal{J}$ が得られる。
$g_0$ を $\Lambda_{\mathbb{R}}$ の内積とする。非退化な交代形式 $E$ に対し、$g_0$ について歪対称な $A$ を $E(x,y)=g_0(Ax,y)$ で定め、$B:=(-A^2)^{1/2}$（正定値対称行列の正の平方根）、$J_E:=B^{-1}A$ とおく。このとき次が成り立つ。
- $J_E\in\mathcal{J}$ で、$E(J_Ex,J_Ey)=E(x,y)$ である。
- $g_E(x,y):=E(x,J_Ey)$ は $J_E$ 不変な内積である。
- $E\mapsto J_E$ は連続である。
$A$ と $B$ は可換で、$J_E^2=B^{-2}A^2=-1$ である。転置は $J_E^{\mathsf T}=A^{\mathsf T}B^{-1}=-J_E$ なので、$J_E$ は $g_0$ の直交変換で、$A$・$B$ と可換である。よって $E(J_Ex,J_Ey)=g_0(AJ_Ex,J_Ey)=g_0(J_E^{\mathsf T}J_EAx,y)=E(x,y)$ である。次に
$$
g_E(x,y)=g_0(Ax,J_Ey)=-g_0(x,AB^{-1}Ay)=g_0(x,B^{-1}(-A^2)y)=g_0(x,By)
$$
なので $g_E$ は対称で正定値であり、$J_E$ は $g_0$ の直交変換で $B$ と可換だから $g_E$ は $J_E$ 不変である。3 は、正定値対称行列の正の平方根が連続に動くことによる。$\square$
$\{J\in\mathcal{J}\mid T_J\text{ は射影的}\}$ は $\mathcal{J}$ で稠密である。とくに、すべての複素トーラス $T_J$ は代数的近似をもつ。
$J\in\mathcal{J}$ をとる。$\Lambda_{\mathbb{R}}$ の内積を $J$ の位数 $4$ の群で平均して、$J$ 不変な内積 $g_0$ をとり、$\omega(x,y):=g_0(Jx,y)$ とおく。$\omega$ は非退化な交代形式で、lem-kprob-polar の記号で $A=J$、$B=1$ なので $J_\omega=J$ である。
$\Lambda$ 上で有理数値をとる交代形式は交代形式の空間で稠密で、非退化性は開条件なので、非退化で有理数値の交代形式の列 $E_k\to\omega$ がとれる。$J_k:=J_{E_k}$ とおくと、lem-kprob-polar の 3 により $J_k\to J$ である。
$E=E_k$、$J'=J_k$ とし、$H(x,y):=g_E(x,y)+ig_E(x,J'y)$ とおく。$g_E$ が $J'$ 不変で対称なので、$H$ は $(\Lambda_{\mathbb{R}},J')$ 上の正定値 Hermite 形式である。実際、第 1 変数の $\mathbb{C}$ 線形性は $H(J'x,y)=g_E(J'x,y)+ig_E(x,y)=iH(x,y)$ による。さらに $\operatorname{Im}H(x,y)=g_E(x,J'y)=E(x,J'^2y)=-E(x,y)$ である。正の整数 $N$ で $NE$ が $\Lambda\times\Lambda$ 上で整数値になるものをとると、$NH$ は 複素トーラス の定理「Riemann の条件」をみたすので、$T_{J_k}$ は射影的である。
後半：$0:=J$ の座標近傍である開球 $S\subset\mathcal{J}$ に $\mathcal{T}\to\mathcal{J}$ を制限すればよい。$\square$
$n=1$ では $\mathcal{J}$ の点はすべて射影的である。$n\ge2$ では射影的でない点が現れる。thm-kprob-torus の証明は、固定した有理類 $E$ に複素構造を合わせる点で、前節の説明そのものである。
この議論を一般化したのが次の判定法である。$X$ をコンパクト Kähler 多様体、$\kappa\colon T_0S\to H^1(X,T_X)$ を変形 $\pi\colon\mathcal{X}\to S$ の小平–Spencer 写像とし、$[\omega]\in H^1(X,\Omega_X^1)$ を Kähler 類とする。
カップ積と縮約の合成 $\alpha_\omega\colon H^1(X,T_X)\to H^2(X,\Omega^1_X\otimes T_X)\to H^2(X,\mathcal{O}_X)$ について $\alpha_\omega\circ\kappa$ が全射なら、$\pi$ は $X$ の代数的近似である。
この記事では証明しない（GS21 Theorem 3.1、p. 8 は特異点をもつ空間の局所自明な変形へ一般化した形で述べ、証明は滑らかな場合の Green–Voisin の判定法に帰着している）。複素トーラスでは $V:=T_0T$ として $H^1(T,T_T)=\bar V^*\otimes V$、$H^2(\mathcal{O}_T)=\wedge^2\bar V^*$ で、定係数の Kähler 形式は同型 $V\cong\bar V^*$ を与えるから、$\alpha_\omega$ は反対称化 $\bar V^*\otimes\bar V^*\to\wedge^2\bar V^*$ と同一視され全射である。
射影的になれない自己準同型
$n\ge2$ の複素トーラスのうち、自己準同型によって射影性が禁じられるものを作る。
$n\ge2$ とし、$\Gamma\cong\mathbb{Z}^{2n}$ の自己準同型 $\varphi$ の固有多項式 $f$ が次をみたすとする。
- $f$ は実根をもたない。
- $f$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小分解体を $K$ とするとき、$\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})$ は $f$ の根の全体に対称群 $\mathfrak{S}_{2n}$ として作用する。
このとき $f$ は既約なので、根 $\lambda_1,\dots,\lambda_{2n}$ は相異なり $0$ でない。
すべての $n\ge2$ について、def-kprob-condition をみたす $\varphi$ がある。
要点：3 つの素数を法とする分解の型を指定して Galois 群を $\mathfrak{S}_{2n}$ にし、法の倍数を足して正の値の多項式にする。
証明を開く
$2n$ より大きい相異なる素数 $p_1,p_2,p_3$ をとる。中国の剰余定理により、$\mathbb{Z}$ 係数のモニック多項式 $g$ で、次数 $2n$ で次をみたすものがある：法 $p_1$ で既約、法 $p_2$ で $x$ と次数 $2n-1$ の既約多項式の積、法 $p_3$ で既約な $2$ 次式と相異なる $2n-2$ 個の $1$ 次式の積。
$N:=p_1p_2p_3$ の十分大きい倍数 $M$ について $f(x):=g(x)+M(x^{2n-2}+1)$ とおく。$g$ の次数 $2n-1$ 以下の項は $\tfrac12x^{2n}+C(x^{2n-2}+1)$ で抑えられるので、$M$ が大きければ $f$ はつねに正で実根をもたない。$f\equiv g$（法 $N$）なので分解の型は変わらない。
法 $p_1$ の既約性から $f$ は既約で、Galois 群は根に推移的である。法 $p_2,p_3$ で $f$ は重根をもたないので、Frobenius元 の系「最小多項式の因数分解と Frobenius 元」（Frobenius 元の巡回型は法 $p$ の分解の次数に等しい）により、Galois 群は $(2n-1)$ 巡回置換と互換を含む。前者により 1 点の固定部分群は残りの根に推移的なので、群は 2 重推移的であり、互換の共役としてすべての互換を含む。よって $\mathfrak{S}_{2n}$ である。$\varphi$ には $f$ の同伴行列をとればよい。$\square$
根の全体を、複素共役で移りあう $n$ 組に分け、各組から 1 つ選んだ集合を $R$ とする。$\Gamma_{\mathbb{C}}$ の中で $R$ の根の固有空間の和を $\Gamma'$ とすると、$\Gamma_{\mathbb{C}}=\Gamma'\oplus\overline{\Gamma'}$ で、$\Gamma_{\mathbb{R}}\to\Gamma_{\mathbb{C}}/\Gamma'$ は同型である。$\Gamma_{\mathbb{C}}$ の $\varphi$ は $\Gamma'$ と $\Gamma$ を保つので、複素トーラス
$$
T:=(\Gamma_{\mathbb{C}}/\Gamma')/\Gamma
$$
に正則な自己準同型 $\varphi_T$ を引き起こし、$H_1(T,\mathbb{Z})=\Gamma$ に $\varphi$ として作用する（Voi04 §1、p. 2）。逆に $H_1$ に $\varphi$ として作用する自己準同型をもつ複素トーラスはこの形である（同 Remark 1、p. 3）。
def-kprob-condition のもとで、$\{a,b\}\ne\{c,d\}$（$a\ne b$、$c\ne d$）なら $\lambda_a\lambda_b\ne\lambda_c\lambda_d$ である。
等号が成り立つとする。添字が共通するなら、$0$ でない根で割って相異なる 2 根が等しくなり矛盾する。$a,b,c,d$ が相異なるとする。互換 $(a\,c)$ を引き起こす Galois 元を等式に当てると $\lambda_c\lambda_b=\lambda_a\lambda_d$ で、もとの式と辺々割ると $\lambda_a/\lambda_c=\lambda_c/\lambda_a$、すなわち $\lambda_a=-\lambda_c$ である。同様に互換 $(a\,d)$ から $\lambda_a=-\lambda_d$ を得るので $\lambda_c=\lambda_d$ となり矛盾する。$\square$
$(\Gamma,\varphi)$ が def-kprob-condition をみたすとき、上の $T$ について $\operatorname{NS}(T)=0$ である。とくに $T$ は射影的でない。
$e_a\in\Gamma^*\otimes K$ を、$\varphi$ の転置の固有値 $\lambda_a$ の固有ベクトルとする。$H^1(T,\mathbb{C})=\Gamma_{\mathbb{C}}^*$ で、$H^{1,0}(T)=(\Gamma_{\mathbb{C}}/\Gamma')^*$ は $\lambda_a\notin R$ である $e_a$ の張る空間である。$H^2(T,K)=\wedge^2(\Gamma^*\otimes K)$ の上で $\varphi_T^*$ は基底 $e_a\wedge e_b$ に固有値 $\lambda_a\lambda_b$ で作用し、lem-kprob-products によりこれらは相異なる。
直線束の引き戻しを考えると、$\operatorname{NS}(T)\otimes\mathbb{Q}\subset H^2(T,\mathbb{Q})$ は $\varphi_T^*$ で保たれる。したがって $W:=\operatorname{NS}(T)\otimes K$ はいくつかの直線 $Ke_a\wedge e_b$ の和である。$\sigma\in\operatorname{Gal}(K/\mathbb{Q})$ は係数に作用して $W$ を保ち、$\varphi_T^*$ と可換なので、$Ke_a\wedge e_b$ を $Ke_{\sigma a}\wedge e_{\sigma b}$ に移す。$W\ne0$ なら、Galois 群が $\mathfrak{S}_{2n}$ であることからすべての $e_a\wedge e_b$ が $W$ に入る。$n\ge2$ なので $\lambda_a,\lambda_b\notin R$ となる $a\ne b$ があり、$e_a\wedge e_b$ は $0$ でない $(2,0)$ 類である。これは $\operatorname{NS}(T)\subset H^{1,1}(T)$（Lefschetzの(1,1)定理）に反する。
よって $W=0$ で、$H^2(T,\mathbb{Z})$ は捩れをもたないから $\operatorname{NS}(T)=0$ である。$T$ が射影的なら豊富な直線束の第 1 Chern 類は $0$ でないので、$T$ は射影的でない。$\square$
これは Voi04 Lemma 1 とその Remark 3、p. 3 である。Voi04 の証明は固有値の集合の Galois 不変性によるもので、上では固有値の重なりを lem-kprob-products で除いて述べた。Huy07 p. 954-02 が挙げるように一般の複素トーラスも射影的でないが、$T$ の特徴は、$\varphi_T$ を保つ限り射影的にならないことである。実際 $(\Gamma,\varphi)$ を保つ複素構造は $R$ の選び方の有限個しかない。一方 $T$ 自身は、$\varphi_T$ を保たない変形で thm-kprob-torus により射影的になる。
Voisin の反例
上の $T$ から、コホモロジー環が $\varphi$ を記憶する多様体を作る。$\varphi$ と $\varphi-1$ は $0$・$1$ を固有値にもたないので、$T\times T$ の 4 つの部分トーラス
$$
T\times0,\qquad 0\times T,\qquad T_{\mathrm{diag}},\qquad T_{\mathrm{graph}}
$$
（後の 2 つは対角と $\varphi_T$ のグラフ）は、どの 2 つも有限個の点で横断的に交わる。まずこれらの交点で $T\times T$ を爆発すると、4 つの部分トーラスの固有変換は滑らかで交わらなくなる。次にその和に沿って 爆発 し、得られる多様体を $X$ とする。$X$ は次元 $2n\ge4$ のコンパクト Kähler 多様体である（Voi04 §2、p. 4）。
$(\Gamma,\varphi)$ が def-kprob-condition をみたし、$X$ を上の多様体とする。コンパクト Kähler 多様体 $X'$ に環同型 $H^*(X',\mathbb{Z})\cong H^*(X,\mathbb{Z})$ があるなら、$X'$ は射影的でない。とくに $X$ は射影多様体とホモトピー同値でなく、代数的近似をもたない。
この記事では証明しない（Voi04 Theorem 3、pp. 4–8。Huy07 §§2–3 に整理がある）。「とくに」の部分は、射影多様体が Kähler であることと prop-kprob-chain による。証明は次の順に進む。
- 環同型から、$H^1$ の元のカップ積が $X'$ でも最高次の整係数コホモロジーを生成することがわかり、$X'$ の Albanese多様体 への写像は次数 $1$ で、双有理である。
- Albanese 写像の Gysin 写像の $H^2$ での核は $X'$ で $(1,1)$ 型の類からなる。この核は環の言葉で定まるので、例外因子の類に対応する類 $\delta$ は $X'$ の Hodge 類である。
- $\cup\delta\colon H^1\to H^3$ の核は部分 Hodge 構造である。爆発の公式により、4 つの例外因子に対応する核は $H^1(X,\mathbb{Z})\cong\Gamma^*\oplus\Gamma^*$ の $\ker\mathrm{pr}_1$、$\ker\mathrm{pr}_2$、$\ker(\mathrm{pr}_1+\mathrm{pr}_2)$、$\ker(\mathrm{pr}_1+\varphi^{\mathsf T}\circ\mathrm{pr}_2)$ である。
- この 4 つの部分格子の位置から、$\operatorname{Pic}^0(X')\cong T'\times T'$ で、$T'$ は $H_1$ に $\varphi^{\mathsf T}$ として作用する自己準同型をもつ複素トーラスである。$\varphi^{\mathsf T}$ の固有多項式は $f$ なので、thm-kprob-ns により $T'$ は射影的でない。$X'$ が射影的なら $\operatorname{Pic}^0(X')$ も射影的なので矛盾する。
奇数次元 $2n+1\ge5$ の例は $X$ と楕円曲線の積で得られる（Voi04 Proposition 1、p. 8）。これらをあわせて、$4$ 以上のすべての次元に、射影多様体のホモトピー型をもたないコンパクト Kähler 多様体がある（同 Theorem 2）。さらに Deligne により、整係数の環を有理係数の環に替えても結論が成り立つ（同 Theorem 4、p. 9、Huy07 Theorem 0.1、p. 954-02）。
$T\times T$ 自身は thm-kprob-torus により代数的近似をもつので、反例を生むのは爆発である。$X$ のコホモロジー環は 4 つの部分トーラスの位置、すなわち $\varphi$ を記憶していて、これが射影性を禁じる。
その後の結果
- 単連結な例：$\pi_1$ が障害なのではない。$6$ 以上のすべての次元に、射影多様体の有理ホモトピー型をもたない単連結なコンパクト Kähler 多様体がある（Huy07 Theorem 3.8、p. 954-16。Voisin による）。小木曽啓示（Keiji Oguiso）は、単連結で射影的でなく変形をもたない（剛な）次元 $4$ 以上の例を調べた（同 Remark 3.9）。
- 双有理版：次元 $2n\ge10$ の偶数次元に、それと双有理同値（bimeromorphic）な複素多様体をどれをとっても射影多様体の有理ホモトピー型をもたない、コンパクト Kähler 多様体がある（Huy07 Theorem 3.10、p. 954-16。Voisin による）。これらの例は単線織的である（GS20 §1）。
- 次元 3：H.-Y. Lin は arXiv 論文 Lin24（Theorem 1.1、p. 1）で、すべてのコンパクト Kähler 多様体が次元 $3$ で代数的近似をもつことを証明した。査読誌の論文 GS21 §1.A も、Lin らの仕事により次元 $3$ の問題が完全に肯定的に解決されたと記している。
- 極小モデル：知られている反例はどれも爆発から作られるので、Peternell は、極小な Kähler 多様体（一般に端末特異点を許す）は代数的近似をもつと予想した（Lin24 Conjecture 1.5、p. 2）。次元 $3$ では正しく（同 Corollary 1.6）、一般の次元では 2024 年の時点で未解決である（同 p. 2）。標準束が捩れで klt 特異点をもつ場合の部分的な結果が GS21 にある。一方、特異点をもつ単線織的な Kähler 空間で、$K_X$ の極小モデルプログラムが直ちに森ファイバー空間で終わり、代数的近似をもたない例がある（GS20 Theorem 1.2）。
反例：条件を外すと崩れること
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 変形を許すこと | 上のトーラス $T$（$n=2$） | Kähler 曲面が射影的であること |
| Kähler であること | Hopf曲面 | コンパクト複素曲面が射影多様体と変形同値であること |
| 次元が $3$ 以下であること | Voisin の $X$（$n=2$、次元 $4$） | コンパクト Kähler 多様体が代数的近似をもつこと |
1 行目：$T$ は次元 $2$ の複素トーラスなのでコンパクト Kähler 曲面であり（満たす性質）、thm-kprob-ns により射影的でない（満たさない性質）。thm-kprob-torus により小さな変形で射影的になるので、変形を許さない場合だけ主張が崩れる。
2 行目：Hopf曲面 の定理「$H_\alpha$ は $S^1\times S^3$ に微分同相」により、対角的な Hopf 曲面 $H_\alpha$ の第 1 Betti 数は $1$ である。射影多様体はコンパクト Kähler なので第 1 Betti 数は Hodge分解 により偶数である。よって $H_\alpha$ はどの射影多様体ともホモトピー同値でなく、prop-kprob-chain により変形同値でない。次元は $2$ のままで、Kähler であることだけを外している。
3 行目：$X$ はコンパクト Kähler で、thm-kprob-voisin により代数的近似をもたない。次元が $4$ であることだけが、次元 $3$ 以下の肯定的な結果の仮定から外れている。
Kähler であることは変形でいつも保たれるわけではない。Hironaka は、コンパクト Kähler 多様体の変形で Kähler でないものの例を作った（Huy07 p. 954-02）。
関連項目
- 前提: Kähler多様体, 複素トーラス, 小平の埋め込み定理, Hodge構造
- 道具: Lefschetzの(1,1)定理, Ehresmannの定理, 爆発, Albanese多様体
- 例: K3曲面, アーベル多様体, Hopf曲面
- 比較: Enriques–小平の分類
参考文献
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