微分方程式としての指数関数・三角関数

概要

前提知識: 微分係数と導関数の定義（高校数学）, 指数関数, 三角関数, 平均値の定理, 2次方程式

高校での出発点：$y'=ky$ と単振動

放射性物質の量や、えさが十分ある細菌の数 $y(x)$（$x$ は時刻）は、増える速さ $y'$ がそのときの量 $y$ に比例する。
$$ y'=ky\qquad(k\text{ は定数}) $$
高校ではこれを次のように解く（変数分離）。両辺を $y$ で割って $\frac{y'}{y}=k$、積分して $\log|y|=kx+C$、したがって $y=\pm e^{C}e^{kx}$ である。まとめて $y=Ce^{kx}$ と書く。

半減期から減り方を決める

半減期 $10$ 日の物質では $y'=-ky$、$y=y(0)e^{-kx}$ で、$e^{-10k}=\frac12$ から $k=\frac{\log2}{10}=0.0693\ldots$（1 日あたり）である。$30$ 日後には $y(30)=y(0)e^{-30k}=y(0)\bigl(\frac12\bigr)^3=\frac{y(0)}8$ になる。

物理では、ばねにつながれた質量 $m$ のおもりの位置 $x(t)$ が $mx''=-Kx$（$K>0$ はばね定数）を満たし、$\omega:=\sqrt{K/m}$ として $x=A\sin(\omega t+\varphi)$ と振動すること（単振動）を習う。

単振動の初期値問題

$x''=-4x$、$x(0)=1$、$x'(0)=0$ なら $x=\cos2t$ で、周期は $\pi$ である。

これらの計算には、次の疑問が残る。

変数分離では $y$ で割った。途中で $y=0$ になる解はないのか。$Ce^{kx}$ 以外の解は本当にないのか。（→ thm-edt-first-order）
単振動の解が $A\sin(\omega t+\varphi)$ の形に限るのはなぜか。（→ thm-edt-harmonic、cor-edt-omega）
指数関数と三角関数が同じ種類の方程式から出てくるのはなぜか。抵抗があるとき（減衰振動）はどうなるか。（→ thm-edt-general、ex-edt-damped）

微分方程式と初めの値を決めれば、解はいつもただ 1 つに決まるのか。（→ prop-edt-lipschitz、ex-edt-sqrt）
本記事では、1 と 2 を「一意性の定理」として証明し、3 を定数係数の 2 階線形微分方程式と特性方程式の理論としてまとめる。4 の答えは「いつもではない」で、$y'=\sqrt{|y|}$ という反例がある。
本記事で前提にすることを挙げておく。$e^x$、$\sin x$、$\cos x$ の導関数と、$e^x>0$、$\sin^2x+\cos^2x=1$、積・合成関数の微分法、そして平均値の定理から従う「区間上で導関数が恒等的に $0$ の関数は定数である」（Leb26 Proposition 4.2.6、p. 165）。これを使う場面では、関数の定義域はつねに区間とする。

高校の計算	大学の概念	ボックス
変数分離で $y=Ce^{kx}$	1 階の方程式の解の一意性	thm-edt-first-order
単振動 $A\sin(\omega t+\varphi)$	$y''=-\omega^2y$ の一般解（エネルギーの保存）	thm-edt-harmonic、cor-edt-omega
2 次方程式の判別式	特性方程式と一般解の 3 つの型	thm-edt-general
初期位置と初速度で運動が決まる	初期値問題の解の存在と一意性	cor-edt-ivp
加法定理・指数法則	一意性からの帰結	ex-edt-addition
右辺が連続なだけの方程式	Lipschitz 条件と一意性	prop-edt-lipschitz

取り出すべき構造：微分方程式と初期値問題

微分方程式の解と初期値問題

未知の関数とその導関数の関係を表す式を微分方程式という。$I$ を区間とする。$F(x,y)$ を 2 変数の関数とし、$I$ 上で微分可能な関数 $y$ がすべての $x\in I$ で $y'(x)=F\bigl(x,y(x)\bigr)$ を満たすとき、$y$ を 1 階の微分方程式 $y'=F(x,y)$ の $I$ 上の解という。点 $x_0\in I$ と数 $y_0$ を与えて、$y(x_0)=y_0$ を満たす解を求める問題を初期値問題といい、$y(x_0)=y_0$ を初期条件という。2 階の方程式 $y''=G(x,y,y')$ では、$I$ 上で 2 回微分可能な解を考え、初期条件は $y(x_0)=y_0$、$y'(x_0)=y_1$ の 2 つである。

初期値問題の解の確かめ

$y=3e^{2x}$ は $y'=6e^{2x}=2y$ なので $\mathbb{R}$ 上の $y'=2y$ の解で、$y(0)=3$ を満たす。$y=\sin x$ は $y''=-\sin x=-y$、$y(0)=0$、$y'(0)=1$ を満たすので、2 階の初期値問題 $y''=-y$、$y(0)=0$、$y'(0)=1$ の解である。

本記事の中心は、実数の定数 $p,q$ についての
$$ y''+py'+qy=0 $$
という方程式（定数係数の 2 階線形同次微分方程式）である。$y=e^{\lambda x}$ を代入すると $(\lambda^2+p\lambda+q)e^{\lambda x}=0$ なので、$e^{\lambda x}$ が解になるのは
$$ \lambda^2+p\lambda+q=0 $$
のときである。これをこの方程式の特性方程式という。$y'=ky$ の特性方程式は $\lambda=k$、$y''=-y$ の特性方程式は $\lambda^2+1=0$（解は $\pm i$）である。

重ね合わせの原理

$y_1,y_2$ が $y''+py'+qy=0$ の $I$ 上の解で、$A,B$ が定数ならば、$Ay_1+By_2$ も解である。また、$y$ が $\mathbb{R}$ 上の解で $x_0$ が実数ならば、$x\mapsto y(x+x_0)$ も $\mathbb{R}$ 上の解である。

微分の線形性と、係数が定数であること

$(Ay_1+By_2)''+p(Ay_1+By_2)'+q(Ay_1+By_2)=A(y_1''+py_1'+qy_1)+B(y_2''+py_2'+qy_2)=0$ である。後半は、$Y(x):=y(x+x_0)$ について $Y'(x)=y'(x+x_0)$、$Y''(x)=y''(x+x_0)$ なので、$Y''+pY'+qY$ の $x$ での値は $y''+py'+qy$ の $x+x_0$ での値 $0$ に等しい。$\square$

後半は $p,q$ が定数だから成り立つ。あとで初期値問題を扱うとき（cor-edt-ivp）、この平行移動で初期値を与える点を $x=0$ に移す。

主定理と証明

1 階：$y'=ky$ の解は $Ce^{kx}$ に限る

y'=ky の解

$k$ を実数、$I$ を区間とする。$I$ 上で微分可能な関数 $y$ が $y'=ky$ を満たすための必要十分条件は、ある定数 $C$ について $y(x)=Ce^{kx}$（$x\in I$）となることである。特に、$x_0\in I$ と $y_0$ を与えると、初期値問題 $y'=ky$、$y(x_0)=y_0$ の解は $y(x)=y_0e^{k(x-x_0)}$ ただ 1 つである。

e^{-kx} を掛けて定数を取り出す

$y'=ky$ とし、$g(x):=y(x)e^{-kx}$ とおく。積の微分法により
$$ g'(x)=y'(x)e^{-kx}-ky(x)e^{-kx}=\bigl(y'(x)-ky(x)\bigr)e^{-kx}=0 $$
なので、$g$ は $I$ 上で定数 $C$ であり、$y=Ce^{kx}$ である。逆に $(Ce^{kx})'=kCe^{kx}$ なので $Ce^{kx}$ は解である。初期条件 $Ce^{kx_0}=y_0$ から $C=y_0e^{-kx_0}$ と決まる。$\square$

$e^x$ が微分しても変わらない理由は指数関数の微分で扱う。

初期値を x=1 で与える

$y'=-3y$、$y(1)=2$ の解は、thm-edt-first-order により $y=2e^{-3(x-1)}$ ただ 1 つである。例えば $y(2)=2e^{-3}=0.0995\ldots$ である。同様に、ex-edt-halflife の $y=y(0)e^{-kx}$ も、この定理（$k$ を $-k$ に、$x_0=0$ として）により $y'=-ky$ のただ 1 つの解と分かる。

この証明は $y$ で割っていない。したがって、ある 1 点で $0$ になる解は恒等的に $0$ である（$C=0$）ことも同時に示している。変数分離の計算は、$y$ が $0$ にならない区間で解の形を「見つける」方法であり、それ以外に解がないことはこの定理が保証する。$e^{-kx}$ を掛けることは、$y$ を「ふつうに増えたらこうなるはずの量」$e^{kx}$ で割って比を見ることであり、比が変化しないことが $g'=0$ である。

2 階：$y''=-y$ の解は $A\cos x+B\sin x$ に限る

y''=-y の解

$I$ を区間、$x_0\in I$ とする。$I$ 上で 2 回微分可能な関数 $y$ が $y''=-y$ を満たすならば、すべての $x\in I$ で
$$ y(x)=y(x_0)\cos(x-x_0)+y'(x_0)\sin(x-x_0) $$
である。特に、$\mathbb{R}$ 上の解は定数 $A,B$ を用いて $y=A\cos x+B\sin x$ と書け（$A=y(0)$、$B=y'(0)$）、逆にこの形の関数はすべて解である。

エネルギーが保存される

$A:=y(x_0)$、$B:=y'(x_0)$、$Y(x):=A\cos(x-x_0)+B\sin(x-x_0)$ とおく。$Y'=-A\sin(x-x_0)+B\cos(x-x_0)$、$Y''=-Y$ なので $Y$ も解であり、$Y(x_0)=A$、$Y'(x_0)=B$ である。$z:=y-Y$ とおくと $z''=y''-Y''=-y+Y=-z$、$z(x_0)=z'(x_0)=0$ である。
$E(x):=z(x)^2+z'(x)^2$ とおくと
$$ E'=2zz'+2z'z''=2z'(z+z'')=0 $$
なので、$E$ は $I$ 上で定数であり、$E=E(x_0)=0$ である。$z^2\le E=0$ から $z=0$、すなわち $y=Y$ である。逆向きは $Y''=-Y$ の計算で示した。$\square$

$E=z^2+z'^2$ は、単振動 $x''=-x$ では「位置エネルギー＋運動エネルギー」の 2 倍にあたる。エネルギーが保存されることが、解の一意性を与える。初めにエネルギーが $0$（位置も速度も $0$）なら、その後もずっと静止している。

y''=-ω²y の解

$\omega>0$ とする。$\mathbb{R}$ 上で 2 回微分可能な関数 $y$ が $y''=-\omega^2y$ を満たすための必要十分条件は、ある定数 $A,B$ について $y=A\cos\omega x+B\sin\omega x$ となることである。このとき $A=y(0)$、$B=y'(0)/\omega$ である。

時間の目盛りを変える

$w(s):=y(s/\omega)$ とおくと、$w'(s)=\frac1\omega y'(s/\omega)$、$w''(s)=\frac1{\omega^2}y''(s/\omega)=-w(s)$ である。thm-edt-harmonic により $w(s)=w(0)\cos s+w'(0)\sin s$ であり、$s=\omega x$ を代入すると $y(x)=y(0)\cos\omega x+\frac{y'(0)}{\omega}\sin\omega x$ となる。逆に $A\cos\omega x+B\sin\omega x$ を 2 回微分すると $-\omega^2$ 倍になる。$\square$

単振動の解はただ 1 つ

ex-edt-spring-start の $x=\cos2t$ は、cor-edt-omega（$\omega=2$、変数を $t$、未知関数を $x$ と読む）により、$x''=-4x$、$x(0)=1$、$x'(0)=0$ のただ 1 つの解である。実際 $A=x(0)=1$、$B=x'(0)/2=0$ である。

一般の場合：$y''+py'+qy=0$ と特性方程式

定数係数の 2 階線形微分方程式の一般解

$p,q$ を実数とし、$D:=p^2-4q$ とする。$\mathbb{R}$ 上で 2 回微分可能な関数 $y$ が $y''+py'+qy=0$ を満たすための必要十分条件は、ある定数 $A,B$ について次のようになることである。

$D>0$ のとき（特性方程式が異なる実数解 $\alpha,\beta$ をもつ）：$y=Ae^{\alpha x}+Be^{\beta x}$。
$D=0$ のとき（重解 $\alpha=-\frac p2$）：$y=(A+Bx)e^{\alpha x}$。
$D<0$ のとき（虚数解 $a\pm bi$、$a=-\frac p2$、$b=\frac{\sqrt{-D}}2>0$）：$y=e^{ax}(A\cos bx+B\sin bx)$。

1 階微分の項を消して 3 つの場合に分ける

まず変換する。$y=e^{-px/2}u$、すなわち $u:=e^{px/2}y$ とおく。$y'=e^{-px/2}\bigl(u'-\frac p2u\bigr)$、$y''=e^{-px/2}\bigl(u''-pu'+\frac{p^2}4u\bigr)$ なので
$$ y''+py'+qy=e^{-px/2}\Bigl(u''-\frac{D}{4}u\Bigr) $$
である。$e^{-px/2}\ne0$ なので、$y$ が解であることと、$u''=\frac D4u$ であることは同値である。以下、$u''=\frac D4u$ の解がちょうど次の形であることを示す。特性方程式の解は $-\frac p2\pm\frac{\sqrt D}2$ である。
$D<0$ の場合：$u''=-b^2u$ なので、cor-edt-omega により $u=A\cos bx+B\sin bx$ に限る。$y=e^{-px/2}u$ で、$a=-\frac p2$ である。
$D=0$ の場合：$u''=0$ なので、$u'$ は定数 $B$ であり、$(u-Bx)'=0$ から $u=A+Bx$ に限る。
$D>0$ の場合：$c:=\frac{\sqrt D}2>0$ とおくと $u''=c^2u$ である。$v:=u'-cu$ とおくと $v'=u''-cu'=c^2u-cu'=-cv$ なので、thm-edt-first-order により $v=Ke^{-cx}$（$K$ は定数）である。すると
$$ (ue^{-cx})'=(u'-cu)e^{-cx}=Ke^{-2cx}=\Bigl(-\frac{K}{2c}e^{-2cx}\Bigr)' $$
なので、$ue^{-cx}+\frac K{2c}e^{-2cx}$ は定数 $B$ であり、$u=Ae^{-cx}+Be^{cx}$（$A:=-\frac K{2c}$）となる。逆に $(e^{\pm cx})''=c^2e^{\pm cx}$ なので、この形の $u$ は解である。$y=e^{-px/2}u=Ae^{\beta x}+Be^{\alpha x}$（$\alpha,\beta=-\frac p2\pm c$）であり、$A,B$ の名前を付け替えれば主張の形になる。
どの場合も、$u$ の形は必要十分なので、$y$ の形も必要十分である。$\square$

同じ特性方程式の形で三項間漸化式を解く方法は三項間漸化式の特性方程式で扱う。
$u=e^{px/2}y$ は、$y$ を「$e^{-px/2}$ の速さで減衰（$p<0$ なら増大）する部分」で割って、残りを見る操作である。残った $u$ は $u''=\frac D4u$ という形になり、判別式 $D$ の符号だけで指数関数型（$D>0$）、1 次関数型（$D=0$）、三角関数型（$D<0$）に分かれる。指数関数と三角関数は、同じ方程式の $D$ の符号違いにすぎない（疑問 3）。

特性方程式から一般解を書く

$y''-3y'+2y=0$ の特性方程式 $\lambda^2-3\lambda+2=0$ の解は $1,2$（$D=1>0$）なので、一般解は $y=Ae^x+Be^{2x}$ である。$y''+2y'+5y=0$ では $\lambda=-1\pm2i$（$D=-16<0$）なので、一般解は $y=e^{-x}(A\cos2x+B\sin2x)$ である。

初期値問題の解の存在と一意性

実数 $p,q,x_0,y_0,y_1$ を任意に与えると、$y''+py'+qy=0$、$y(x_0)=y_0$、$y'(x_0)=y_1$ を満たす $\mathbb{R}$ 上の解がただ 1 つ存在する。

定数の連立方程式が解ける

lem-edt-superposition の平行移動により $x_0=0$ としてよい（$Y(x):=y(x+x_0)$ は、$Y(0)=y_0$、$Y'(0)=y_1$ を満たす解と 1 対 1 に対応する）。thm-edt-general の一般解に $x=0$ を代入すると、$A,B$ についての連立 1 次方程式は
$$ \text{1：}\ A+B=y_0,\ \alpha A+\beta B=y_1;\qquad\text{2：}\ A=y_0,\ \alpha A+B=y_1;\qquad\text{3：}\ A=y_0,\ aA+bB=y_1 $$
である。係数の行列式はそれぞれ $\beta-\alpha\ne0$、$1$、$b\ne0$ なので、$A,B$ はただ 1 通りに決まる。解はすべて一般解の形なので、これで存在と一意性が示された。$\square$

初期値から定数を決める

$y''-3y'+2y=0$、$y(0)=0$、$y'(0)=1$ では、ex-edt-general-small の一般解から $A+B=0$、$A+2B=1$ なので $A=-1$、$B=1$ であり、解は $y=e^{2x}-e^x$ ただ 1 つである。

したがって解の全体は、2 つの数 $(y(0),y'(0))$ で過不足なく決まる。$y\mapsto(y(0),y'(0))$ は解の全体から $\mathbb{R}^2$ への線形な全単射なので、解の全体は 2 次元のベクトル空間であり、$e^{\alpha x},e^{\beta x}$ などはその基底である。

高校の公式は一意性から出てくる

一意性から加法定理と指数法則を導く

実数 $a$ を固定し、$y(x):=\sin(x+a)$ とおくと、$y''=-y$、$y(0)=\sin a$、$y'(0)=\cos a$ である。thm-edt-harmonic により
$$ \sin(x+a)=\sin a\cos x+\cos a\sin x $$
となる。$\cos(x+a)$ も同様に $y(0)=\cos a$、$y'(0)=-\sin a$ から $\cos(x+a)=\cos a\cos x-\sin a\sin x$ となる。同じく $y(x):=e^{x+a}$ は $y'=y$、$y(0)=e^a$ を満たすので、thm-edt-first-order により $e^{x+a}=e^ae^x$（指数法則）である。微分の公式を認めれば、「同じ微分方程式と同じ初期値をもつ 2 つの関数は等しい」という一意性だけで、加法定理と指数法則が出る。ただし高校の教科書では $(\sin x)'=\cos x$ を加法定理から、$(e^x)'=e^x$ を指数法則から導くので、これは加法定理・指数法則の独立な証明ではない。$\sin,\cos$ を $y''=-y$ の解として、$e^x$ を $y'=y$ の解として定義する立場では、これが加法定理・指数法則の証明になる（三角関数はどう定義するか、指数関数と対数関数はどう定義するか）。

三角関数の合成

cor-edt-omega の解 $A\cos\omega t+B\sin\omega t$ は、$R:=\sqrt{A^2+B^2}$ とし、$(A,B)\ne(0,0)$ なら $\sin\varphi=\frac AR$、$\cos\varphi=\frac BR$ となる $\varphi$ をとって、加法定理から $R\sin(\omega t+\varphi)$ と書ける。物理で習う単振動の式は、この一般解の書き換えである。

三項間漸化式 $a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_n=0$（$q\ne0$）でも、等比数列 $a_n=\lambda^n$ が解になる条件は同じ特性方程式 $\lambda^2+p\lambda+q=0$ であり、解の形は次のように対応する（三項間漸化式と行列の固有値）。$q\ne0$ なら特性方程式の解はどれも $0$ でない。$q=0$ を許すと、$p=q=0$（重解 $0$）のとき漸化式は $a_{n+2}=0$ で $a_0,a_1$ は任意なのに、$(A+Bn)0^n$ では $a_1=0$ の数列しか表せず、表の重解の行が崩れる。

	微分方程式 $y''+py'+qy=0$	漸化式 $a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_n=0$（$q\ne0$）
基本の操作	微分 $y\mapsto y'$	ずらし $a_n\mapsto a_{n+1}$
操作で $\lambda$ 倍になるもの	$e^{\lambda x}$	$\lambda^n$
異なる実数解 $\alpha,\beta$	$Ae^{\alpha x}+Be^{\beta x}$	$A\alpha^n+B\beta^n$
重解 $\alpha$	$(A+Bx)e^{\alpha x}$	$(A+Bn)\alpha^n$
虚数解	$a\pm bi$ のとき $e^{ax}(A\cos bx+B\sin bx)$	$r(\cos\theta\pm i\sin\theta)$ のとき $r^n(A\cos n\theta+B\sin n\theta)$
初期値	$y(0),y'(0)$	$a_0,a_1$

どちらも、線形な操作（微分、ずらし）で定数倍になるもの、すなわちその操作の固有ベクトルを探しており、特性方程式はその固有値の方程式である。虚数解の行は、複素数の指数関数についての Eulerの公式 $e^{(a+bi)x}=e^{ax}(\cos bx+i\sin bx)$ と、ド・モアブルの定理 $\bigl(r(\cos\theta+i\sin\theta)\bigr)^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)$ の実部と虚部にあたる（本記事では複素数値関数の微分は扱わず、thm-edt-general は実数の範囲で証明した）。

例：単振動と減衰振動

単振動

質量 $m$、ばね定数 $K$ のおもりの位置 $x(t)$ は $mx''=-Kx$ を満たす。$\omega:=\sqrt{K/m}$ とすると $x''=-\omega^2x$ であり、cor-edt-omega により、初期位置 $x_0$、初速度 $v_0$ の運動は
$$ x(t)=x_0\cos\omega t+\frac{v_0}{\omega}\sin\omega t $$
に限る。振幅は $\sqrt{x_0^2+(v_0/\omega)^2}$ で初期条件によるが、周期 $\frac{2\pi}\omega$ は振幅によらない（等時性）。たとえば ex-edt-spring-start と同じ方程式（$m=1$、$K=4$）で初速度を $2$ にした $x_0=1$、$v_0=2$ なら $x=\cos2t+\sin2t=\sqrt2\sin\bigl(2t+\frac\pi4\bigr)$ で、周期は $\pi$ である。
力学的エネルギー $\frac12mx'^2+\frac12Kx^2$ を微分すると $x'(mx''+Kx)=0$ であり、エネルギーは一定である。これは thm-edt-harmonic の証明の $E$ と同じものである。

減衰振動・臨界減衰・過減衰

速さに比例する抵抗があると、$\gamma>0$、$\omega_0>0$ として $x''+2\gamma x'+\omega_0^2x=0$ となる。特性方程式 $\lambda^2+2\gamma\lambda+\omega_0^2=0$ の解は $-\gamma\pm\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}$ であり、thm-edt-general の 3 つの場合がそのまま物理の 3 つの運動になる。

$\gamma<\omega_0$（減衰振動）：$\omega_1:=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}$ として $x=e^{-\gamma t}(A\cos\omega_1t+B\sin\omega_1t)$。$\gamma=0.1$、$\omega_0=1$、$x(0)=1$、$x'(0)=0$ なら、cor-edt-ivp の証明の連立方程式から $A=1$、$B=\frac{\gamma}{\omega_1}$ で、$\omega_1=\sqrt{0.99}=0.99498\ldots$ である。1 周期 $T=\frac{2\pi}{\omega_1}=6.3148\ldots$ ごとに $x(T)=e^{-\gamma T}=0.5318\ldots$、$x(2T)=0.2828\ldots$ と、振れ幅はほぼ半分ずつになる。
$\gamma=\omega_0$（臨界減衰）：$x=(A+Bt)e^{-\gamma t}$。$x''+2x'+x=0$、$x(0)=1$、$x'(0)=0$ なら $x=(1+t)e^{-t}$ で、振動せずに $0$ に近づく。
$\gamma>\omega_0$（過減衰）：$x=Ae^{\lambda_1t}+Be^{\lambda_2t}$（$\lambda_1,\lambda_2<0$）。$x''+5x'+4x=0$、$x(0)=1$、$x'(0)=0$ なら特性方程式の解は $-1,-4$ で、$x=\frac43e^{-t}-\frac13e^{-4t}$ である。$t>0$ で $4e^{3t}>1$ なので $x>0$ であり、一度も $0$ を横切らない。
エネルギー $E:=\frac12x'^2+\frac12\omega_0^2x^2$ は $E'=x'(x''+\omega_0^2x)=-2\gamma x'^2\le0$ を満たし、抵抗によって減っていく。

一意性はいつ成り立つか：$y'=\sqrt{|y|}$ の反例

振り返ると、thm-edt-first-order と thm-edt-harmonic の証明は、どちらも「2 つの解の差の大きさを表す量が増えられない」ことを示していた。この議論は、右辺が $y$ について急に変化しないという条件のもとで一般化できる。

外した仮定	崩れる主張	ボックス
Lipschitz 条件（右辺は連続のまま）	初期値問題の解はただ 1 つ	ex-edt-sqrt
右辺が $y$ の 1 次式であること	解は $\mathbb{R}$ 全体に延びる	ex-edt-blowup

右辺が Lipschitz 条件を満たせば解は一意

$I$ を区間、$x_0\in I$ とし、$F$ は $I\times\mathbb{R}$ 上の関数で、ある定数 $L\ge0$ についてすべての $x\in I$、$y,z\in\mathbb{R}$ で
$$ |F(x,y)-F(x,z)|\le L|y-z| $$
を満たすとする（Lipschitz 条件）。$y,z$ が $I$ 上の $y'=F(x,y)$ の解で $y(x_0)=z(x_0)$ ならば、$I$ 上で $y=z$ である。

差の 2 乗の増え方を指数関数で押さえる

$w:=(y-z)^2\ge0$ とおくと、$w(x_0)=0$ であり、
$$ |w'|=2|y-z|\,\bigl|F(x,y)-F(x,z)\bigr|\le2L(y-z)^2=2Lw $$
である。$x\ge x_0$ の側では、$(we^{-2Lx})'=(w'-2Lw)e^{-2Lx}\le0$ なので $we^{-2Lx}$ は減少し、$w(x)e^{-2Lx}\le w(x_0)e^{-2Lx_0}=0$ となる。$x\le x_0$ の側では、$(we^{2Lx})'=(w'+2Lw)e^{2Lx}\ge0$ なので $we^{2Lx}$ は増加し、$w(x)e^{2Lx}\le w(x_0)e^{2Lx_0}=0$ となる。$w\ge0$ と合わせて $w=0$、すなわち $y=z$ である。（関数の増減には、導関数の符号と増減の関係を使った。これも平均値の定理から従う。）$\square$

$F(x,y)=ky$ なら $L=|k|$ で、thm-edt-first-order の一意性の部分はこの命題の特別な場合である。thm-edt-harmonic の $E=z^2+z'^2$ も、$y''=-y$ を 2 つの未知関数 $(y,y')$ の方程式 $(y,y')'=(y',-y)$ とみて、差の長さの 2 乗の変化を調べたものである。

反例：y'=√|y| は初期値 0 から無数の解をもつ

初期値問題 $y'=\sqrt{|y|}$、$y(0)=0$ を考える。$y\equiv0$ は解である。さらに、任意の $c\ge0$ について
$$ y_c(x):=\begin{cases}0&(x< c)\\[2pt]\dfrac{(x-c)^2}{4}&(x\ge c)\end{cases} $$
も $\mathbb{R}$ 上の解である。実際、$x>c$ では $y_c'=\frac{x-c}2=\sqrt{\frac{(x-c)^2}4}=\sqrt{|y_c|}$、$x< c$ では両辺が $0$ である。$x=c$ では、左からの差分商は $0$、右からの差分商は $\frac{h^2/4}{h}=\frac h4\to0$ なので $y_c'(c)=0=\sqrt{|y_c(c)|}$ である。$c>0$ なら $y_c(0)=0$、また $c=0$ の $y_c$ も $y_c(0)=0$ を満たす。したがって同じ初期条件をもつ解が無数にある。「$0$ にしばらくとどまり、好きな時刻 $c$ に動き出す」解がすべて許される。
右辺 $F(y)=\sqrt{|y|}$ は連続だが、$y=0$ の近くで Lipschitz 条件を満たさない：$\frac{|F(y)-F(0)|}{|y-0|}=\frac1{\sqrt{|y|}}$ は $y\to0$ で限りなく大きくなる（$y=10^{-2},10^{-4},10^{-6}$ で $10,100,1000$）。この例は「右辺が連続なら初期値問題の解は一意である」という主張の反例であり、prop-edt-lipschitz の Lipschitz 条件を外すと一意性が崩れることを示す。証明のどこが崩れるかを見ると、$y=y_c$、$z=0$ では $w=\frac{(x-c)^4}{16}$ で $w'=\frac{(x-c)^3}{4}$ となり、$\frac{w'}{w}=\frac4{x-c}$ は $x\to c+0$ で限りなく大きくなって、$|w'|\le2Lw$ となる定数 $L$ がない。

時間を逆向きに見ると、底に穴のあいた水槽の水位 $h$ は（Torricelli の法則により）$h'=-k\sqrt h$ の形の方程式に従い、有限の時間で空になる。空になった水槽を見ても、いつ空になったかは分からない。これが一意性の破れの物理的な姿である。
右辺 $F$ が初期値 $(x_0,y_0)$ を中心とする有界な長方形 $[x_0-a,x_0+a]\times[y_0-b,y_0+b]$（$a,b>0$）の上で連続で、さらにその上で $y$ について Lipschitz 条件を満たせば（ある定数 $L$ があって、長方形の中のすべての $(x,y)$、$(x,z)$ で $|F(x,y)-F(x,z)|\le L|y-z|$）、$x_0$ の近くで解が存在し、ただ 1 つである（Picard–Lindelöf の定理。本記事では証明しない。Leb26 Theorem 6.3.2、p. 247。同書の Example 6.3.5、p. 251 は $y'=2\sqrt{|y|}$ で一意性が崩れる例を挙げる）。ただし「近くで」は外せない。$F(x,y)=y^2$ はどの有界な長方形の上でも Lipschitz 条件を満たす（$|y^2-z^2|=|y+z|\,|y-z|$ で、$|y+z|$ は長方形の上で有界）が、$\mathbb{R}^2$ 全体では満たさない（$|y+z|$ が有界でない）。それでも $y(0)=1$ の解は $x=1$ を越えて延びない（ex-edt-blowup）。解の存在を支えるのは右辺の連続性の側で、Lipschitz 条件だけでは存在は保証されない（同書 Example 6.3.6、p. 251 は、$y$ について Lipschitz 条件を満たすが $x$ について連続でない右辺で、解が存在しない例を挙げる）。

反例：有限の時間で発散する解

$y'=y^2$、$y(0)=1$ の解 $y=\frac1{1-x}$ は $x\to1-0$ で限りなく大きくなり、$x=1$ を越えて延ばせない（Leb26 Example 6.3.4、p. 250）。$x=0.9,0.99$ で $y=10,100$ である。右辺 $y^2$ は $y$ の 1 次式でなく、この例は「解は $\mathbb{R}$ 全体に延びる」という主張を破る。

定数係数の線形方程式で解が $\mathbb{R}$ 全体に延びるのは、thm-edt-general で具体的に解けたからである。

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行列の指数関数：$Y:=(y,y')^{\top}$ とおくと $y''+py'+qy=0$ は $Y'=CY$、$C=\begin{pmatrix}0&1\\-q&-p\end{pmatrix}$ となり、解は $Y(x)=e^{xC}Y(0)$ と書ける。$C$ の固有値が特性方程式の解であり、漸化式の $v_n=C^nv_0$ と対応する（行列の指数関数）。
$n$ 階の方程式：$y^{(n)}+c_1y^{(n-1)}+\cdots+c_ny=0$ の解の全体は $n$ 次元で、特性方程式の $m$ 重解 $\alpha$ から $e^{\alpha x},xe^{\alpha x},\dots,x^{m-1}e^{\alpha x}$ が現れる（本記事では証明しない）。
強制振動と共振：右辺に外力 $f(t)$ がある $x''+\omega^2x=f(t)$ では、$f(t)=\cos\omega t$（固有の振動数と同じ）のとき $x=\frac{t\sin\omega t}{2\omega}$ が解になり、振れ幅が時間に比例して大きくなる（共振）。
一意性の一般論：prop-edt-lipschitz の証明は Gronwall の不等式と呼ばれる評価の最も簡単な形で、連立の方程式にもそのまま一般化する。