弱収束(Banach空間)
概要
弱収束(Banach空間)（weak convergence in Banach spaces）とは、実 Banach 空間 $X$ の点列 $x_n$ が、すべての連続線形汎関数 $f$ について $f(x_n)\to f(x)$ を満たすことであり、弱位相 $\sigma(X,X^*)$ での点列の収束にあたる。弱収束する列はノルム有界で、ノルムは弱極限で下半連続である。有界性が分かれば、一次結合が双対で稠密になる汎関数だけを調べればよく、$\ell^p$（$1< p<\infty$）と $c_0$ では有界かつ座標ごとの収束と同値になる。$X^*$ が可分か $X$ が反射的な無限次元の空間には、ノルム 1 のまま $0$ に弱収束する列があり、Hilbert 空間ではノルムの収束を足せば強収束が回復する。
無限次元の Banach 空間では、有界な点列からノルムで収束する部分列を取り出せるとは限らない（ノルム空間 の定理「閉単位球のコンパクト性と次元」）。そこで点列そのものの近さを測るのをやめ、連続線形汎関数で測った値の列が収束することだけを要求する。これが 弱収束 である。弱収束する列は強収束する列よりずっと多く、極値問題や偏微分方程式の解を「近似列の極限」として作るときの基本の道具になる。
確率論では、確率測度の列が有界連続関数の積分を通じて収束することも弱収束と呼ぶ。この記事の弱収束は Banach 空間の点列についての概念であり、それとは別のものである。
以下、$X$ は実 Banach 空間、$X^*$ はその連続双対（双対ノルム $\|f\|=\sup_{\|x\|\le1}|f(x)|$ による Banach 空間）とし、$B_X=\{x\in X:\|x\|\le1\}$ と書く。
定義と基本性質
$X$ の点列 $(x_n)$ が $x\in X$ に 弱収束 するとは、すべての $f\in X^*$ について実数列 $f(x_n)$ が $f(x)$ に収束することをいう。このとき $x_n\rightharpoonup x$ と書き、$x$ を 弱極限 という。これと区別するため、ノルムでの収束 $\|x_n-x\|\to0$ を 強収束 という。
弱収束は、$X$ 上で $X^*$ の全元を連続にする最も粗い位相 $\sigma(X,X^*)$（弱位相(関数解析)）での点列の収束と同じである（同記事の命題「基本近傍と収束の判定」）。基本的な性質は同記事で証明されている。
- 弱極限はただ一つである（命題「弱位相の Hausdorff 性」）。
- 強収束すれば弱収束する。弱収束する列はノルム有界で、$\|x\|\le\liminf_n\|x_n\|$ が成り立つ。$x_n\rightharpoonup x$ かつ $X^*$ で $f_n\to f$（ノルム）なら $f_n(x_n)\to f(x)$ である（命題「弱収束列の基本性質」）。
- 有界線形作用素 $T\colon X\to Y$ は、$x_n\rightharpoonup x$ を $Tx_n\rightharpoonup Tx$ に写す（命題「弱連続な線形写像」）。
- $X$ が有限次元なら、弱収束と強収束は一致する（命題「有限次元の場合」）。
有界性は 一様有界性原理 による。各 $f$ について $f(x_n)$ が有界であることから、$\sup_n\|x_n\|<\infty$ という一様な評価が出る。この有界性が、次節の判定法で弱収束を確かめる手間を大きく減らす。
ノルムは弱極限で下半連続であるにとどまり、連続ではない。典型例は、$1< p<\infty$ のときの $\ell^p$ の標準基底 $e_n$ である。$\|e_n\|_p=1$ のまま $e_n\rightharpoonup0$ となる（弱位相(関数解析) の例「$\ell^p$ と $c_0$ の標準基底」）。一方、$\ell^1$ の標準基底はどこにも弱収束しない（同記事の例「$\ell^1$ の標準基底は弱収束しない」）。弱収束するかどうかは空間に強く依存する。
稠密な汎関数の族による判定法
定義どおりに弱収束を確かめるには、$X^*$ の すべての 元を調べなければならない。有界性が分かっていれば、調べる汎関数を稠密な一次結合をもつ族に減らせる。
$D\subset X^*$ を、その一次結合の全体 $\operatorname{span}D$ が $X^*$ でノルムについて稠密になる集合とする。$X$ の点列 $(x_n)$ と $x\in X$ について、次は同値である。
- $x_n\rightharpoonup x$。
- $(x_n)$ はノルム有界であり、すべての $g\in D$ について $g(x_n)\to g(x)$ である。
1 ⇒ 2：有界性は前節の基本性質による。$g\in D\subset X^*$ についての収束は定義そのものである。
2 ⇒ 1：$M=\sup_n\|x_n\|$ とおく。$g(x_n)\to g(x)$ は線形性によって $\operatorname{span}D$ のすべての元に広がる。$f\in X^*$ と $\varepsilon>0$ を取り、$g\in\operatorname{span}D$ を $\|f-g\|<\varepsilon$ となるように選ぶ。
$$
|f(x_n)-f(x)|\le|(f-g)(x_n)|+|g(x_n)-g(x)|+|(g-f)(x)|\le\varepsilon(M+\|x\|)+|g(x_n)-g(x)|
$$
であり、右辺の最後の項は $0$ に収束する。よって $\limsup_n|f(x_n)-f(x)|\le\varepsilon(M+\|x\|)$ である。$\varepsilon$ は任意なので $f(x_n)\to f(x)$ となる。$f$ は任意だから $x_n\rightharpoonup x$ である。
数列の空間では、座標を取り出す汎関数が稠密な一次結合をもつので、弱収束は「有界かつ座標ごとの収束」と言い換えられる。以下 $\ell^p$ と $c_0$ は実数列の空間とし、$x^n=(x^n_k)_{k\ge1}$ のように上付きの添字で列の番号を表す。
$X$ を $\ell^p$（$1< p<\infty$）または $c_0$ とする。
- $X$ の点列 $(x^n)$ と $x\in X$ について、$x^n\rightharpoonup x$ であることと、$(x^n)$ がノルム有界ですべての $k$ について $x^n_k\to x_k$ であることは同値である。
- $X=\ell^p$（$1< p<\infty$）とする。$(x^n)$ がノルム有界で、各 $k$ について実数列 $(x^n_k)_n$ がある実数 $\xi_k$ に収束するなら、$\xi=(\xi_k)\in\ell^p$ であり、$x^n\rightharpoonup\xi$ である。
$X=\ell^p$ の場合、$q=p/(p-1)$ とおく。ℓp空間 の定理「$\ell^p$ と $c_0$ の双対」により、$u\in\ell^q$ に汎関数 $\varphi_u(x)=\sum_ku_kx_k$ を対応させる写像は $\ell^q$ から $X^*$ への全射な線形等長写像である。$X=c_0$ の場合も、$\ell^1$ から $X^*$ への同じ形の全射な線形等長写像がある。どちらの場合も、座標の汎関数 $x\mapsto x_k$ は $\varphi_{e_k}$ である。$D=\{\varphi_{e_k}:k\ge1\}$ とおくと、$\operatorname{span}D$ は有限個の座標だけが $0$ でない数列 $u$ に対応する $\varphi_u$ の全体である。そうした数列は $\ell^q$（$q<\infty$）でも $\ell^1$ でも稠密であり（ℓp空間 の命題「有限列の稠密性」）、対応は等長なので、$\operatorname{span}D$ は $X^*$ で稠密である。よって thm-wcb-criterion から 1 が従う。
2：$M=\sup_n\|x^n\|_p$ とおく。$N$ を固定すると、有限和なので
$$
\sum_{k\le N}|\xi_k|^p=\lim_{n\to\infty}\sum_{k\le N}|x^n_k|^p\le M^p
$$
である。$N$ は任意なので $\xi\in\ell^p$ である。すると 1 により $x^n\rightharpoonup\xi$ となる。
2 は $c_0$ では成り立たない。$s_n=e_1+\dots+e_n\in c_0$ は $\|s_n\|_\infty=1$ で座標ごとに $1$ へ収束するが、極限の数列 $(1,1,\dots)$ は $c_0$ に属さず、$(s_n)$ は $c_0$ のどの点にも弱収束しない（c0空間 の命題「弱収束しない弱 Cauchy 列」）。$\ell^p$ で 2 が成り立つのは、座標ごとの極限が $\ell^p$ の中に残ることを有界性が保証するからである。
判定法の二つの条件はどちらも外せない。
$\ell^2$ で $x^n=ne_n$ とおく。各座標 $x^n_k$ は $n>k$ で $0$ になるので、座標ごとには $0$ に収束する。しかし $\|x^n\|_2=n$ は有界でないので、$(x^n)$ はどの点にも弱収束しない。
$\ell^1$ の標準基底 $e_n$ は $\|e_n\|_1=1$ で、座標ごとに $0$ に収束する。それでも $(e_n)$ はどの点にも弱収束しない（弱位相(関数解析) の例「$\ell^1$ の標準基底は弱収束しない」）。$(\ell^1)^*$ は $\ell^\infty$ と同一視され、座標の汎関数の一次結合は有限個の座標だけが $0$ でない有界列に対応する。この全体は $\ell^\infty$ の中で上限ノルムについて稠密でない。たとえば $(1,1,\dots)$ との距離は $1$ 以上である。
弱収束から強収束へ
弱収束は強収束より弱いが、条件を一つ足すと強収束が回復する場面が多い。Hilbert 空間では、ノルムの収束を足せばよい。
$H$ を実 Hilbert 空間とし、$x_n\rightharpoonup x$ かつ $\|x_n\|\to\|x\|$ とする。このとき $x_n\to x$（強収束）である。
$y\mapsto\langle y,x\rangle$ は $H$ 上の連続線形汎関数なので、弱収束の定義から $\langle x_n,x\rangle\to\langle x,x\rangle=\|x\|^2$ である。したがって
$$
\|x_n-x\|^2=\|x_n\|^2-2\langle x_n,x\rangle+\|x\|^2\to\|x\|^2-2\|x\|^2+\|x\|^2=0
$$
である。
ノルムの収束を外すと、$\ell^2$ の標準基底 $e_n\rightharpoonup0$ のように、強収束しない。強収束を回復させる条件として、ほかに次のものが知られている。どれも各記事で証明されている。
| 弱収束 $x_n\rightharpoonup x$ に足す条件 | 結論 | 所在 |
|---|---|---|
| $X$ は一様凸で $\limsup_n\|x_n\|\le\|x\|$ | $x_n\to x$ | 一様凸Banach空間 の定理「弱収束とノルムからの強収束」 |
| $X=\ell^1$ | $x_n\to x$ | ℓp空間 の定理「Schurの定理」 |
| $T$ はコンパクト作用素 | $Tx_n\to Tx$ | コンパクト作用素 の命題「弱収束する列をノルム収束する列へ写す」 |
| $x_n$ の凸結合を取る | 凸結合の列で $x$ に強収束するものがある | Mazurの補題 の定理「Mazurの補題」 |
| $X$ は Hilbert 空間で、部分列の算術平均を取る | 部分列 $(x_{n_k})$ で $\frac1N\sum_{k=1}^Nx_{n_k}\to x$ となるものがある | Banach–Saksの定理 の定理「Banach–Saksの定理」 |
| $X$ は実 Hilbert 空間で、$(x_n)$ は内点をもつ閉凸集合に関して Fejér 単調 | $x_n\to x$ | Fejér単調列 の定理「内点があるときの強収束」 |
一様凸性の行は prop-wcb-hilbert の一般化である。Hilbert 空間は一様凸であり（一様凸Banach空間 の例「Hilbert 空間」）、$\|x_n\|\to\|x\|$ なら $\limsup_n\|x_n\|\le\|x\|$ だからである。弱収束にノルムの収束を足すと強収束が従う、というノルム空間の性質を Radon–Riesz性 といい、一様凸空間はこの性質をもつ（Radon–Riesz性 の系「一様凸空間のRadon–Riesz性」）。$\ell^1$ の行が示すように、弱収束する列がすべて強収束する無限次元の空間もある。それでも弱位相とノルムの位相は異なる（弱位相(関数解析) の系「単位球面の弱閉包」）。位相の違いが列では見えないことがある、という点は節「列と位相の違い」で再び扱う。
ノルム 1 のまま 0 に弱収束する列
$\ell^p$（$1< p<\infty$）の標準基底のように、ノルムを保ったまま $0$ に弱収束する列は、多くの無限次元の空間にある。次の定理は、それが存在するための二つの十分条件を与える。
$X$ を無限次元の実 Banach 空間とし、次のどちらかを仮定する。
(a) $X^*$ は可分である。
(b) $X$ は反射的である。
このとき、$\|x_n\|=1$ かつ $x_n\rightharpoonup0$ となる点列 $(x_n)$ が存在する。
(a) $X^*$ の稠密な列 $(f_k)_{k\ge1}$ を取る。各 $n$ について、線形写像 $\Phi_n\colon X\to\mathbb R^n$、$\Phi_n(x)=(f_1(x),\dots,f_n(x))$ は、$X$ が無限次元なので単射でない。したがって $N_n=\bigcap_{k\le n}\ker f_k=\ker\Phi_n$ は $\{0\}$ でない部分空間であり、$x_n\in N_n$ を $\|x_n\|=1$ となるように選べる。各 $k$ について、$n\ge k$ なら $f_k(x_n)=0$ なので $f_k(x_n)\to0$ である。$D=\{f_k:k\ge1\}$ はそれ自体が $X^*$ で稠密なので $\operatorname{span}D$ も稠密であり、$(x_n)$ は有界である。thm-wcb-criterion により $x_n\rightharpoonup0$ である。
(b) まず、$\|y_j\|=1$ かつ $i\ne j$ なら $\|y_i-y_j\|\ge1/2$ となる列 $(y_j)$ を作る。$y_1$ をノルム $1$ の任意の元とする。$y_1,\dots,y_m$ まで選んだとき、$U_m=\operatorname{span}\{y_1,\dots,y_m\}$ は有限次元なので閉集合であり（ノルム空間 の系「有限次元ノルム空間の性質」の 4）、$X$ が無限次元なので $U_m\ne X$ である。ノルム空間 の補題「Rieszの補題」を $\theta=1/2$ で使うと、$\|y_{m+1}\|=1$ で $U_m$ のすべての元から距離 $1/2$ 以上離れた $y_{m+1}$ が取れる。$i< j$ なら $y_i\in U_{j-1}$ なので $\|y_j-y_i\|\ge1/2$ である。
$(y_j)$ は有界であり、$X$ は反射的なので、弱収束する部分列 $y_{j_k}\rightharpoonup y$ がある（反射的Banach空間 の定理「有界列の弱収束部分列」）。$z_k=y_{j_{2k}}-y_{j_{2k-1}}$ とおくと、各 $f\in X^*$ について $f(z_k)=f(y_{j_{2k}})-f(y_{j_{2k-1}})\to f(y)-f(y)=0$ なので $z_k\rightharpoonup0$ である。また $1/2\le\|z_k\|\le2$ である。$x_k=z_k/\|z_k\|$ とおけば $\|x_k\|=1$ であり、$|f(x_k)|\le2|f(z_k)|\to0$ から $x_k\rightharpoonup0$ となる。
条件 (a) と (b) のどちらも満たさない空間では、結論が成り立たないことがある。$\ell^1$ の双対 $\ell^\infty$ は可分でなく（可分空間 の注意「反例：有界数列の空間」）、$\ell^1$ は反射的でない（ℓp空間 の系「反射性」）。そして $\ell^1$ では、$\|x_n\|_1=1$ かつ $x_n\rightharpoonup0$ となる列は存在しない。もし存在すれば Schur の定理（ℓp空間 の定理「Schurの定理」）により $\|x_n\|_1\to0$ となって矛盾するからである。
一方、二つの条件は必要条件ではない。$\ell^\infty$ は反射的でなく、$(\ell^\infty)^*$ は可分でない（可分なら $\ell^\infty$ も可分になる。弱位相の距離化可能性 の補題「双対が可分なら空間も可分」）。それでも標準基底 $e_n$ は $\ell^\infty$ で $0$ に弱収束する。実際、$f\in(\ell^\infty)^*$ の $c_0$ への制限は $(c_0)^*$ の元であり、$c_0$ では $e_n\rightharpoonup0$ だから、$f(e_n)\to0$ である。
関数の空間での典型例：振動と逃げ出し
関数の空間 $L^p$ では、弱収束するが強収束しない列が二つの典型的なしくみで現れる。値が激しく振動して平均だけが残る場合と、関数の形を保ったまま無限遠へ逃げていく場合である。この節では $L^p$ は実数値の関数の空間とし、$p'$ を共役指数（$1/p+1/p'=1$）とする。$1\le p<\infty$ なら、区間 $I$ の上の $L^p(I)$ の連続線形汎関数は $g\in L^{p'}(I)$ による $u\mapsto\int_Iug$ ですべて表される（Lp空間の双対 の定理「$L^p$ の双対の表現定理（$1< p<\infty$）」と定理「$L^1$ の双対の表現定理」）。したがって $L^p(I)$ での $u_n\rightharpoonup u$ は、すべての $g\in L^{p'}(I)$ で $\int_Iu_ng\to\int_Iug$ となることと同じである。
$1\le p<\infty$、$T>0$ とし、$f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ を可測で、ほとんどすべての $x$ で $f(x+T)=f(x)$、かつ $\int_0^T|f|^p<\infty$ を満たす関数とする。$\bar f:=\frac1T\int_0^Tf$ とおき、$L^p(0,1)$ の列を $u_n(x):=f(nx)$（$n\ge1$）で定める。このとき次が成り立つ。
- $u_n\rightharpoonup\bar f$（定数関数）が $L^p(0,1)$ で成り立つ。
- $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\|u_n-\bar f\|_p=\Bigl(\frac1T\int_0^T|f-\bar f|^p\Bigr)^{1/p}$ である。
とくに $f$ がほとんどいたるところ定数でなければ、$(u_n)$ は強収束しない。
要点：原始関数が周期的で有界になることから区間での積分が $O(1/n)$ で消え、有界な $f$ では階段関数による近似で、一般の $f$ では値の切り詰めで結論を広げる。
詳しい証明を開く
周期ごとの積分。$f(x+kT)=f(x)$ は各整数 $k$ についてほとんどすべての $x$ で成り立つ（$k=\pm1$ から帰納法。零集合の可算和は零集合）。よって非負の周期関数 $\varphi$（$\varphi=|f|^p$ など）について $\int_{kT}^{(k+1)T}\varphi=\int_0^T\varphi$ である。$n\ge1$ について $m:=\lfloor n/T\rfloor$ とおくと $mT\le n<(m+1)T$ なので、置換 $y=nx$ により $\displaystyle \frac mn\int_0^T\varphi\le\int_0^1\varphi(nx)\,dx=\frac1n\int_0^n\varphi\le\frac{m+1}n\int_0^T\varphi$ である。$m/n\le1/T$、$(m+1)/n\le1/T+1$ なので、$\int_0^1\varphi(nx)\,dx\le(1+1/T)\int_0^T\varphi$ となる。$\varphi=|f|^p$ とすれば $u_n\in L^p(0,1)$ であり、$\|u_n\|_p$ は $n$ について有界である。また $L^p(0,T)\subset L^1(0,T)$（Lp空間 の命題「有限測度空間での包含」）なので $\bar f$ は有限である。
2 の証明。$\varphi=|f-\bar f|^p$ に上の不等式を使い、$m/n\to1/T$、$(m+1)/n\to1/T$ から $\|u_n-\bar f\|_p^p\to\frac1T\int_0^T|f-\bar f|^p$ を得る。
有界な $f$ の場合の 1。$|f|\le K$ とし、$h:=f-\bar f$、$H(t):=\int_0^th$ とおく。周期性から長さ $T$ のどの区間での $h$ の積分も等しく、$\int_t^{t+T}h=\int_0^Th=0$ なので $H(t+T)=H(t)$ であり、$H$ は連続な周期関数だから $|H|\le M_H$ となる定数 $M_H$ がある。$0\le a< b\le1$ について、置換 $y=nx$ により $\displaystyle \Bigl|\int_a^bh(nx)\,dx\Bigr|=\frac{|H(nb)-H(na)|}n\le\frac{2M_H}n\to0$ である。線形性から、有限個の区間の指示関数の一次結合（階段関数）$s$ について $\int_0^1(u_n-\bar f)s\to0$ となる。$g\in L^1(0,1)$ と $\varepsilon>0$ をとる。$(0,1)$ にコンパクトな台をもつ連続関数の全体は $L^1(0,1)$ で稠密であり（Bre11 Corollary 4.23、p. 109）、$[0,1]$ 上の連続関数は一様連続なので階段関数で一様に近似できるから、$\|g-s\|_1<\varepsilon$ となる階段関数 $s$ がある。$|u_n-\bar f|\le2K$ なので $\displaystyle \Bigl|\int_0^1(u_n-\bar f)g\Bigr|\le\Bigl|\int_0^1(u_n-\bar f)s\Bigr|+2K\varepsilon$ であり、$\limsup_n|\int_0^1(u_n-\bar f)g|\le2K\varepsilon$ を得る。よってすべての $g\in L^1(0,1)$ で $\int_0^1(u_n-\bar f)g\to0$ である。
一般の $f$ の場合の 1。$M>0$ について $f_M:=\max(-M,\min(f,M))$ とおくと、$f_M$ も周期 $T$ をもち、$|f_M|\le M$ である。$|f-f_M|\le|f|$ で、各点で $f_M\to f$（$M\to\infty$）なので、優収束定理により $\delta_M:=(\int_0^T|f-f_M|^p)^{1/p}\to0$ である。$\bar f_M:=\frac1T\int_0^Tf_M$ は、Hölder の不等式により $|\bar f-\bar f_M|\le\frac1T\int_0^T|f-f_M|\le T^{-1/p}\delta_M$ を満たす。$g\in L^{p'}(0,1)$ をとると、$(0,1)$ の測度は有限なので $g\in L^1(0,1)$ である。周期ごとの積分の評価を $\varphi=|f-f_M|^p$ に使うと $\|(f-f_M)(n\,\cdot)\|_{L^p(0,1)}\le(1+1/T)^{1/p}\delta_M$ なので、Hölder の不等式により $\displaystyle \Bigl|\int_0^1(u_n-\bar f)g\Bigr|\le(1+1/T)^{1/p}\delta_M\|g\|_{p'}+T^{-1/p}\delta_M\|g\|_1+\Bigl|\int_0^1\bigl(f_M(nx)-\bar f_M\bigr)g(x)\,dx\Bigr|$ である。最後の項は有界な $f_M$ の場合により $n\to\infty$ で $0$ に収束する。$M$ を大きくとってから $n\to\infty$ とすれば、$\int_0^1(u_n-\bar f)g\to0$ を得る。冒頭の双対の表現により、これが 1 である。
最後の主張。$u_n$ がある $u$ に強収束すれば $u_n\rightharpoonup u$ なので、弱極限の一意性から $u=\bar f$ であり、2 の右辺が $0$ になる。これは $|f-\bar f|^p$ の $(0,T)$ 上の積分が $0$、すなわち $f=\bar f$ がほとんどいたるところで成り立つことを意味する。$\square$
$f(x)=\sin x$（$T=2\pi$、$\bar f=0$）なら、$\sin nx\rightharpoonup0$ が $L^p(0,1)$（$1\le p<\infty$）で成り立ち、$\|\sin nx\|_p\to\bigl(\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}|\sin t|^p\,dt\bigr)^{1/p}>0$ である（$L^2(0,2\pi)$ での同じ現象は 弱位相(関数解析) の例「振動する関数と非線形な操作」）。$(0,1/2)$ で $1$、$(1/2,1)$ で $-1$ をとる周期 $1$ の関数 $f$ では $\bar f=0$、$|f(nx)|=1$ なので、$f(nx)\rightharpoonup0$ でありながらすべての $n$ で $\|f(nx)\|_p=1$ である。$n=2^k$（$k\ge0$）の項 $f(2^kx)=(-1)^{\lfloor2^{k+1}x\rfloor}$ は Rademacher関数 $r_{k+1}$ である。
$1< p<\infty$ とし、$u_0\in L^p(\mathbb R)$、$u_n(x):=u_0(x+n)$ とおく。このとき $\|u_n\|_p=\|u_0\|_p$ であり、$L^p(\mathbb R)$ で $u_n\rightharpoonup0$ である。
要点：$g$ の裾を小さくしてから、$u_0$ の遠い部分のノルムが $0$ に近づくことを使う。
詳しい証明を開く
Lebesgue 測度は平行移動で変わらないので $\|u_n\|_p=\|u_0\|_p$ である。$g\in L^{p'}(\mathbb R)$ と $\varepsilon>0$ をとる。$p'<\infty$ なので、優収束定理により $R>0$ を $\|g1_{\{|x|>R\}}\|_{p'}<\varepsilon$ となるようにとれる。Hölder の不等式により $\displaystyle \Bigl|\int_{\mathbb R}u_ng\Bigr|\le\|u_0\|_p\,\varepsilon+\int_{-R}^R|u_0(x+n)||g(x)|\,dx\le\|u_0\|_p\,\varepsilon+\Bigl(\int_{n-R}^{n+R}|u_0|^p\Bigr)^{1/p}\|g\|_{p'}$ である。$p<\infty$ なので、優収束定理により $\int_{n-R}^\infty|u_0|^p\to0$（$n\to\infty$）であり、$\limsup_n|\int u_ng|\le\|u_0\|_p\,\varepsilon$ となる。$\varepsilon$ は任意なので $\int u_ng\to0$ であり、冒頭の双対の表現から $u_n\rightharpoonup0$ である。$\square$
$u_0\ne0$ なら $\|u_n\|_p$ は $0$ に近づかないので、この列も強収束しない。証明では $p<\infty$（$u_0$ の裾が小さい）と $p'<\infty$（$g$ の裾が小さい）の両方を使った。$p=1$ では結論が成り立たない。
$L^1(\mathbb R)$ で $u_0:=1_{(0,1)}$、$u_n(x):=u_0(x+n)=1_{(-n,1-n)}(x)$ とおく。満たす性質は「$\|u_n\|_1=1$ で有界」と「有界な台をもつどの有界可測関数 $g$ についても $\int u_ng\to0$」、満たさない性質は「弱収束する部分列をもつ」ことである。prop-wcb-translation の仮定 $p>1$ と、反射的Banach空間 の定理「有界列の弱収束部分列」の反射性の仮定は、どちらも外せない。
弱収束する部分列がないことの確かめ
部分列 $(u_{n_k})$ が $u\in L^1(\mathbb R)$ に弱収束したとする。有界な可測集合 $E$ について、$E\subset[-R,R]$ なら $n_k>R+1$ で $E\cap(-n_k,1-n_k)=\emptyset$ なので、$\int_Eu=\lim_k\int_Eu_{n_k}=0$ である（$1_E\in L^\infty(\mathbb R)$ である）。$E=\{u>0\}\cap[-m,m]$ と $E=\{u<0\}\cap[-m,m]$（$m\ge1$）にこれを使えば $u=0$ がほとんどいたるところで成り立つ。ところが $g=1$ についての $\int u_{n_k}=1$ は $\int u=0$ に収束しない。これは矛盾である。
ex-wcb-l1 の $\ell^1$ の標準基底と同じく、質量 $1$ を保ったまま「どこにもない」所へ逃げるので、$L^1$ の双対 $L^\infty$ の定数関数 $1$ がそれを検出する。
弱スター収束との比較
双対 $X^*$ の点列 $(f_n)$ については、$X^*$ 自身の弱収束（$X^{**}$ の全元で値が収束すること）のほかに、弱スター収束、すなわちすべての $x\in X$ で $f_n(x)\to f(x)$ となることを考える（弱スター位相）。$x\in X$ での評価は $X^{**}$ の元なので、
$$
f_n\to f\ (\text{ノルム})\ \Longrightarrow\ f_n\rightharpoonup f\ (X^*\text{ での弱収束})\ \Longrightarrow\ f_n\to f\ (\text{弱スター})
$$
である。$X$ が反射的なら後の二つは一致する。$X$ が Banach 空間なので、弱スター収束する列もノルム有界である（弱スター位相 の節「弱スター収束とノルムの上界」）。
| 性質 | $X$ の弱収束 | $X^*$ の弱スター収束 |
|---|---|---|
| 調べる値 | $f(x_n)$（$f\in X^*$） | $f_n(x)$（$x\in X$） |
| 収束する列の有界性 | 成り立つ | 成り立つ |
| 有界列から収束部分列を取れる条件 | $X$ が反射的（反射的Banach空間 の定理「有界列の弱収束部分列」） | $X$ が可分（Banach–Alaogluの定理 の命題「可分な場合の部分列」） |
| ノルム $1$ のまま $0$ に収束する例 | $\ell^p$（$1< p<\infty$）の標準基底 | $(c_0)^*=\ell^1$ の標準基底 |
最後の行の $\ell^1$ の標準基底は、$\ell^1$ を $c_0$ の双対とみると $0$ に弱スター収束するが、$\ell^1$ の点列としてはどこにも弱収束しない（弱スター位相 の節「列で見える差：$c_0$ と $\ell^1$」）。同じ列でも、どの空間の双対とみるかで収束のしかたが変わる。
弱 Cauchy 列
弱収束を確かめるには極限の候補 $x$ が要る。候補を知らずに使える条件として、次の概念がある。
$X$ の点列 $(x_n)$ が 弱 Cauchy 列 であるとは、すべての $f\in X^*$ について実数列 $(f(x_n))$ が収束することをいう。$X$ のどの弱 Cauchy 列も $X$ のある点に弱収束するとき、$X$ は 弱点列完備 であるという。
弱収束する列は弱 Cauchy 列である。弱 Cauchy 列はノルム有界である。実際、評価写像 $J\colon X\to X^{**}$、$J(x)(f)=f(x)$ は等長であり（Hahn–Banachの定理 の系「ノルムを保つ延長」による）、各 $f$ で $(J(x_n)(f))_n$ は有界なので、一様有界性原理 から $\sup_n\|x_n\|=\sup_n\|J(x_n)\|<\infty$ となる。双対空間の側では、各点での収束がつねに極限の汎関数を与える。
$(f_n)$ を $X^*$ の点列とし、すべての $x\in X$ で実数列 $(f_n(x))$ が収束するとする。$f(x):=\lim_nf_n(x)$ とおくと、$f\in X^*$ であり、$\sup_n\|f_n\|<\infty$、$\|f\|\le\liminf_n\|f_n\|$ である。すなわち $(f_n)$ は $X^*$ の元 $f$ に弱スター収束する。
一様有界性原理 の系「Banach–Steinhausの定理」を、Banach 空間 $V=X$、ノルム空間 $W=\mathbb R$、$T_n=f_n$ に当てはめたものである。$\square$
$X$ の弱 Cauchy 列 $(x_n)$ に prop-wcb-weak-star-complete を当てはめると（$X^*$ は Banach 空間で、$J(x_n)$ は $X^{**}=(X^*)^*$ の点列である）、$J(x_n)$ は $X^{**}$ のある元 $\xi$ に弱スター収束する。弱 Cauchy 列が弱収束するかどうかは、$\xi$ が $J(X)$ に入るかどうかで決まる。
$X$ が反射的なら、$X$ は弱点列完備である。
$(x_n)$ を弱 Cauchy 列とし、上のように $\xi\in X^{**}$ をとる。$X$ は反射的なので $J$ は全射であり、$\xi=J(x)$ となる $x\in X$ がある。すべての $f\in X^*$ について $f(x_n)=J(x_n)(f)\to\xi(f)=f(x)$ なので、$x_n\rightharpoonup x$ である。$\square$
反射性は外せない。$c_0$ の $s_n=e_1+\dots+e_n$ は弱 Cauchy 列だが、$c_0$ のどの点にも弱収束しない（c0空間 の命題「弱収束しない弱 Cauchy 列」）。上の記号では、$\xi$ は $(c_0)^*\cong\ell^1$ の元 $u$ に $\sum_ku_k$ を対応させる汎関数であり、$J(c_0)$ に入らない。反射的でなくても弱点列完備な空間はある。$\ell^1$ は弱点列完備である（c0空間 の命題「弱点列完備な空間」。そこでは反射的な空間の場合も部分列を使う別の方法で示されている）。
列と位相の違い
弱位相は無限次元では距離化できないので（弱位相の距離化可能性 の定理「全空間の弱位相は距離化できない」）、弱収束する列だけで弱位相を記述することはできない。たとえば $\ell^2$ の集合 $\{\sqrt n\,e_n:n\ge1\}$ の弱閉包は $0$ を含むが、この集合の点列で $0$ に弱収束するものはない（弱位相の距離化可能性 の例「$\ell^2$ の集合 $\{\sqrt n\,e_n\}$」）。弱収束する列は有界でなければならないので、有界でない集合の点に列で近づくことができないのである。
有界集合に限ると事情が変わる。$X^*$ が可分なら閉単位球の上の弱位相は距離化でき、有界集合の弱閉包の点はその集合の点列の弱極限になる（弱位相の距離化可能性 の系「有界集合の弱閉包と点列」）。可分性がなくても、Banach 空間では弱コンパクトと弱点列コンパクトが同値になる（Eberlein–Šmulianの定理）。
文献
弱収束の定義と基本性質は Bre11 の Proposition 3.5（p. 58）にある。$\ell^p$ での座標ごとの収束による判定は Exercise 3.17（p. 83）、ノルム 1 の弱零列の存在は Exercise 3.22（p. 84）の主張であり、この記事ではそれぞれ cor-wcb-sequence-spaces（thm-wcb-criterion から導いた）と thm-wcb-normalized として証明した。双対空間の弱スター点列完備性、反射的な空間の弱点列完備性と $c_0$ の $s_n$ は Exercise 3.16（p. 83）、周期関数を細かく繰り返した列は Exercise 4.18（pp. 123–124）、平行移動した列とその $p=1$ での反例は Exercise 4.21（pp. 124–125）にある。弱収束する列がすべて強収束する空間がありうることは Remark 4（p. 60）で注意されている。
反例の表
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 有界性（thm-wcb-criterion の 2） | $\ell^2$ の $ne_n$（ex-wcb-unbounded） | 座標ごとの収束からの弱収束 |
| $\operatorname{span}D$ の稠密性（thm-wcb-criterion の 2） | $\ell^1$ の $e_n$（ex-wcb-l1） | 座標ごとの収束からの弱収束 |
| $X=\ell^p$（$1< p<\infty$）であること（cor-wcb-sequence-spaces の 2） | $c_0$ の $s_n=e_1+\dots+e_n$ | 座標ごとの極限への弱収束 |
| 反射性（cor-wcb-reflexive-complete） | $c_0$ の $s_n=e_1+\dots+e_n$ | 弱 Cauchy 列の弱収束 |
| $f$ が定数であること（prop-wcb-oscillation） | $L^p(0,1)$ の $\sin nx$ | 弱収束する列の強収束 |
| $p>1$（prop-wcb-translation） | $L^1(\mathbb R)$ の $1_{(-n,1-n)}$（ex-wcb-translation-l1） | 平行移動した列の弱収束（部分列でも） |
| ノルムの収束（prop-wcb-hilbert） | $\ell^2$ の $e_n$ | 強収束 |
| (a) または (b)（thm-wcb-normalized） | $\ell^1$ | ノルム $1$ で $0$ に弱収束する列の存在 |
| 無限次元（thm-wcb-normalized） | $\mathbb R^d$ | 同上（弱収束と強収束が一致するため） |
関連項目
- 前提: 弱位相(関数解析), 連続双対空間, 一様有界性原理
- 比較: 弱スター位相, 弱位相の距離化可能性
- 道具: Mazurの補題, 一様凸Banach空間, コンパクト作用素, Radon–Riesz性, Banach–Saksの定理, Fejér単調列
- 例: ℓp空間, c0空間
- 発展: 反射的Banach空間, Eberlein–Šmulianの定理, Krein–Šmulianの定理
参考文献
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