Girsanovの定理
概要
Girsanovの定理（Girsanov's theorem）とは、Brown 運動 $B_t$ と適合したドリフト $\theta_t$ について、密度 $Z_T=\exp(\int_0^T\theta_t\,dB_t-\frac12\int_0^T\theta_t^2\,dt)$ で確率測度を取り替えると、$W_t=B_t-\int_0^t\theta_s\,ds$ が新しい確率測度のもとで Brown 運動になるという定理である。$\theta$ が適合した階段状の過程なら無条件に、有界で連続なら近似により $E[Z_T]=1$ とともに成り立つ。道を変えずに重み付けだけでドリフトを付け外しでき、確定的なドリフトの場合が Cameron–Martin の定理である。確率微分方程式の弱い解の構成や重点サンプリングに使われ、拡散の大きさは変えられない。
前提知識: Brown運動, 伊藤の公式, Radon–Nikodymの定理, 特性関数(確率論)
Girsanovの定理（Girsanov's theorem）は、確率測度を取り替えると Brown 運動にドリフト（平均の流れ）を付けたり取り去ったりできるという定理である。$B_t$ を Brown 運動、$\theta_t$ を適合した過程とし、
$$
Z_T:=\exp\Bigl(\int_0^T\theta_t\,dB_t-\frac12\int_0^T\theta_t^2\,dt\Bigr)
$$
を密度とする新しい確率測度 $Q$ を $Q(A):=E[Z_T;A]$ で定めると、$\theta$ が階段状の場合や、有界で道が連続な場合には、$Q$ のもとで
$$
W_t:=B_t-\int_0^t\theta_s\,ds
$$
が Brown 運動になる。言い換えると、もとの確率 $P$ のもとでドリフトのない Brown 運動 $B$ は、$Q$ のもとでは「Brown 運動 $W$ にドリフト $\int_0^t\theta_s\,ds$ を足したもの」に見える。道そのものは変えず、道の重み付けを変えるだけでドリフトが生じる。
確定的なドリフトの場合は Cameron と Martin が示した（MP10 Theorem 1.38 は「Cameron–Martin の定理」として述べている）。名前は I. V. Girsanov による。丸山儀四郎（Gisiro Maruyama, 1916–1986）の名を添えて 丸山–Girsanovの定理 とも呼ぶ。確率微分方程式の弱い解の構成、ドリフトのある過程の分布の計算、数理ファイナンスでの確率測度の取り替え、まれな事象の確率のシミュレーション（重点サンプリング）などに使われる。
この記事では、まずドリフトが階段状の場合を初等的な計算で完全に証明し、それを近似して、有界で連続なドリフトの場合を証明する。
設定
以下、$T>0$ を固定し、$(B_t)_{0\le t\le T}$ を確率空間 $(\Omega,\mathcal F,P)$ の上の標準 Brown 運動（Brown運動 の定義「Brown 運動」）で道はすべての $\omega$ で連続とし、$\mathcal F_t$ を $B_s$（$0\le s\le t$）たちが生成する $\sigma$-代数とする。伊藤の公式 の補題「未来の増分の独立性」により、$t\le u$ なら $B_u-B_t$ は $\mathcal F_t$ と独立である。
確率変数 $Z\ge0$ で $E[Z]=1$ を満たすものについて、$Q(A):=E[Z;A]$（$A\in\mathcal F$）は確率測度であり、$Z$ はその $P$ に関する密度である（Radon–Nikodymの定理 の定義「密度」）。$Q$ に関する期待値を $E_Q$ と書くと、$E_Q[Y]=E[ZY]$ である。$Z>0$ なら、$P(A)=0$ と $Q(A)=0$ は同値で、$Q$ と $P$ は互いに絶対連続である。
ドリフトを測度で生む仕組み。 1 つの正規変数で見ると、$\Delta\sim N(0,\delta)$ と実数 $c$ について
$$
e^{cz-c^2\delta/2}\cdot\frac1{\sqrt{2\pi\delta}}e^{-z^2/2\delta}=\frac1{\sqrt{2\pi\delta}}e^{-(z-c\delta)^2/2\delta}
$$
（平方完成）なので、密度 $e^{c\Delta-c^2\delta/2}$ で重み付けると $\Delta$ の分布は $N(c\delta,\delta)$ になり、$\Delta-c\delta$ は再び $N(0,\delta)$ に従う。Girsanov の定理は、この計算を時間の小区間ごとに、しかも $c$ をそれまでの情報に応じて選びながら積み重ねたものである。
階段状のドリフト
$[0,T]$ の分割 $0=t_0< t_1< \cdots< t_k=T$ と、各 $i$ について $\mathcal F_{t_{i-1}}$-可測な実数値の確率変数 $\xi_i$ をとり、$t\in(t_{i-1},t_i]$ のとき $\theta_t:=\xi_i$、$\theta_0:=0$ とおく。このような $\theta$ を 適合した階段状の過程 という。このとき $\Delta_i:=B_{t_i}-B_{t_{i-1}}$、$\delta_i:=t_i-t_{i-1}$ として
$$
Z_T(\theta):=\exp\Bigl(\sum_{i=1}^k\xi_i\Delta_i-\frac12\sum_{i=1}^k\xi_i^2\delta_i\Bigr)
$$
とおく。
$\xi_i$ には可積分性を課さない。指数の中の 2 つの和は、冒頭の $\int_0^T\theta_t\,dB_t$ と $\int_0^T\theta_t^2\,dt$ にあたる。分割に点を付け加えても、新しい小区間の値は元の小区間の $\xi_i$ のままで（元の左端の情報で決まるので、新しい左端の情報でも決まる）、2 つの和は変わらない。
$0\le a< b\le T$、$\Delta:=B_b-B_a$、$\delta:=b-a$ とし、$\xi$ を $\mathcal F_a$-可測な実数値の確率変数、$Y$ を $\mathcal F_a$-可測で可積分な複素数値の確率変数とする。このとき、すべての $\lambda\in\mathbb R$ について
$$
E\Bigl[Y\exp\Bigl(\xi\Delta-\frac12\xi^2\delta+i\lambda(\Delta-\xi\delta)\Bigr)\Bigr]=E[Y]\,e^{-\lambda^2\delta/2}
$$
であり、左辺の期待値の中身は可積分である。
$\gamma$ を $N(0,\delta)$ の分布、$\varphi(z):=(2\pi\delta)^{-1/2}e^{-z^2/2\delta}$ をその密度とする。実数 $x,\lambda$ について、平方完成 $xz-\frac12x^2\delta-\frac{z^2}{2\delta}=-\frac{(z-x\delta)^2}{2\delta}$ から $e^{xz-x^2\delta/2}\varphi(z)=\varphi(z-x\delta)$ なので、
$$
\int_{\mathbb R}e^{xz-x^2\delta/2}\,\gamma(dz)=1,\qquad\int_{\mathbb R}e^{xz-x^2\delta/2+i\lambda(z-x\delta)}\,\gamma(dz)=\int_{\mathbb R}e^{i\lambda w}\varphi(w)\,dw=e^{-\lambda^2\delta/2}
$$
である（2 つ目は $w:=z-x\delta$ と置換し、正規分布 の定理「積率母関数と特性関数」を使った）。
$U:=(Y,\xi)$ は $\mathcal F_a$-可測で、$\Delta$ は $\mathcal F_a$ と独立なので、$P(U\in A,\Delta\in C)=P(U\in A)\gamma(C)$ が Borel 集合の積 $A\times C$ について成り立つ。積の全体は共通部分で閉じて積 $\sigma$-代数を生成するので、Dynkinのπ-λ定理 の定理「π系の上で一致する測度の一意性」により、$(U,\Delta)$ の分布は $U$ の分布 $\mu$ と $\gamma$ の積測度である（Fubiniの定理 の定理「積測度の存在と一意性」）。$\psi(y,x,z):=y\,e^{xz-x^2\delta/2+i\lambda(z-x\delta)}$ とおくと、Fubiniの定理 の定理「非負関数の累次積分の交換」と 1 つ目の等式から
$$
E\lvert\psi(U,\Delta)\rvert=\int\lvert y\rvert\Bigl(\int e^{xz-x^2\delta/2}\gamma(dz)\Bigr)\mu(dy,dx)=E\lvert Y\rvert< \infty
$$
なので中身は可積分で、Fubiniの定理 と 2 つ目の等式から $E[\psi(U,\Delta)]=\int y\,e^{-\lambda^2\delta/2}\,\mu(dy,dx)=E[Y]e^{-\lambda^2\delta/2}$ である（実部と虚部に分けて当てる）。$\square$
$\theta$ を適合した階段状の過程とし、$Z:=Z_T(\theta)$ とおく。
- $E[Z]=1$ である。よって $Q(A):=E[Z;A]$ は $P$ と互いに絶対連続な確率測度である。
- $W_t:=B_t-\int_0^t\theta_s\,ds$ は適合し道は連続で、$0\le t\le u\le T$、有界な $\mathcal F_t$-可測の確率変数 $G$、$\lambda\in\mathbb R$ について
$$ E\bigl[Z\,G\,e^{i\lambda(W_u-W_t)}\bigr]=E[Z\,G]\,e^{-\lambda^2(u-t)/2} $$
が成り立つ。 - $Q$ のもとで $W$ は標準 Brown 運動であり、$t\le u$ なら $W_u-W_t$ は $Q$ のもとで $\mathcal F_t$ と独立である。
要点：密度 $Z$ を小区間ごとの因子の積に分け、時刻の遅い因子から順に lem-gir-step で期待値をとる。$[t,u]$ の外の因子は $\lambda=0$ の場合として消え、$[t,u]$ の中の因子は特性関数 $e^{-\lambda^2\delta_i/2}$ を 1 つずつ生む。3 は、この特性関数から条件付きの分布を読み取って得る。
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準備。 分割に $t,u$ を付け加えてよいので、$t=t_a$、$u=t_b$（$a\le b$）とする。$Z_j:=\exp\bigl(\sum_{i\le j}(\xi_i\Delta_i-\frac12\xi_i^2\delta_i)\bigr)$（$Z_0:=1$）とおくと、$Z_j$ は $\mathcal F_{t_j}$-可測で、$Z=Z_k$ である。
1。 $E[Z_{j-1}]=1$ なら、lem-gir-step を $Y=Z_{j-1}$、$\xi=\xi_j$、$\lambda=0$ に当てて $E[Z_j]=E[Z_{j-1}]=1$ である。帰納法で $E[Z]=1$ を得る。$Z>0$ なので $Q$ は $P$ と互いに絶対連続である。
2。 $W_s=B_s-\sum_i\xi_i(t_i\wedge s-t_{i-1}\wedge s)$ で、$s$ より前に始まる小区間の $\xi_i$ だけが現れるので $W_s$ は $\mathcal F_s$-可測であり、道は連続である。$X$ が有界で $\mathcal F_{t_j}$-可測なら、$m>j$ について lem-gir-step を $Y=Z_{m-1}X$（可積分）、$\lambda=0$ に当てて $E[Z_mX]=E[Z_{m-1}X]$ なので、$E[Z_kX]=E[Z_jX]$ である。$X:=G\,e^{i\lambda(W_u-W_t)}$ は $\mathcal F_{t_b}$-可測で、$W_u-W_t=\sum_{i=a+1}^b(\Delta_i-\xi_i\delta_i)$ である。$a< m\le b$ について $V_m:=\exp\bigl(i\lambda\sum_{i=a+1}^m(\Delta_i-\xi_i\delta_i)\bigr)$（$V_a:=1$）とおき、lem-gir-step を $Y=Z_{m-1}GV_{m-1}$ に当てると $E[Z_mGV_m]=E[Z_{m-1}GV_{m-1}]e^{-\lambda^2\delta_m/2}$ である。$m=b$ から $a+1$ まで繰り返して $E[ZG\,e^{i\lambda(W_u-W_t)}]=E[Z_bGV_b]=E[Z_aG]e^{-\lambda^2(u-t)/2}$ を得て、最後に $E[Z_aG]=E[ZG]$（上の $X=G$ の場合）を使う。
3。 $A\in\mathcal F_t$ で $Q(A)>0$ とし、2 を $G=1_A$ に当てると、確率測度 $Q(\,\cdot\mid A)$ のもとでの $W_u-W_t$ の特性関数は $e^{-\lambda^2(u-t)/2}$ である。これは $N(0,u-t)$ の特性関数（正規分布 の定理「積率母関数と特性関数」）なので、特性関数(確率論) の系「特性関数は分布を決める」により、Borel 集合 $C$ について $Q(A\cap\{W_u-W_t\in C\})=Q(A)\,\gamma_{u-t}(C)$ である（$\gamma_{u-t}$ は $N(0,u-t)$ の分布。$Q(A)=0$ でも両辺 $0$ で成り立つ）。$A=\Omega$ として $W_u-W_t\sim N(0,u-t)$（$Q$ のもとで）であり、$W_u-W_t$ は $\mathcal F_t$ と $Q$ のもとで独立である。$0\le s_0< s_1< \cdots< s_m$ について、$W_{s_1}-W_{s_0},\dots,W_{s_{m-1}}-W_{s_{m-2}}$ は $\mathcal F_{s_{m-1}}$-可測なので、最後の増分はそれらと独立であり、$m$ についての帰納法で増分たちは互いに独立である。$W_0=0$ と道の連続性は定義から明らかなので、$W$ は $Q$ のもとで標準 Brown 運動である。$\square$
主定理：有界で連続なドリフト
次に、ドリフト $\theta$ が 伊藤の公式 の定義「適合過程と $L^2$ 連続性」の被積分過程である場合を扱う。$\theta$ が適合し、道が連続で、$\lvert\theta_t\rvert\le K$（定数）なら、優収束定理 の系「有界収束定理」により $t\mapsto\theta_t$ は $L^2$ 連続なので、$\theta\in\mathcal L_T$ で、伊藤積分 $\int_0^T\theta_t\,dB_t$ が定まる（伊藤の公式 の定理「伊藤積分の存在と等長性」）。
$\theta=(\theta_t)_{0\le t\le T}$ を適合した過程で、道がすべて連続であり、定数 $K$ について $\lvert\theta_t\rvert\le K$ を満たすものとし、
$$
Z_T:=\exp\Bigl(\int_0^T\theta_t\,dB_t-\frac12\int_0^T\theta_t^2\,dt\Bigr)
$$
とおく。このとき $E[Z_T]=1$、$E[Z_T^2]\le e^{K^2T}$ であり、$Q(A):=E[Z_T;A]$ で定めた確率測度 $Q$ は $P$ と互いに絶対連続である。$Q$ のもとで
$$
W_t:=B_t-\int_0^t\theta_s\,ds\qquad(0\le t\le T)
$$
は標準 Brown 運動であり、$t\le u$ なら $W_u-W_t$ は $Q$ のもとで $\mathcal F_t$ と独立である。
要点：分割の左端の値 $\theta_{t_{i-1}}$ をとった階段状の過程 $\theta^n$ に thm-gir-simple を当て、極限に移る。密度 $Z^n$ が $L^1$ で収束することが鍵で、$Z^n$ の 2 乗を「$2\theta^n$ の密度」と有界な因子に分けると、thm-gir-simple の 1 から $E[(Z^n)^2]\le e^{K^2T}$ が出て一様可積分性が分かる。
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近似。 $\lvert\Pi_n\rvert\to0$ となる分割の列 $\Pi_n$ をとり、$\Pi_n$ の小区間 $(t_{i-1},t_i]$ で $\theta^n_t:=\theta_{t_{i-1}}$ とおく。$\theta^n$ は適合した階段状の過程で $\lvert\theta^n\rvert\le K$ である。$Z^n:=Z_T(\theta^n)$ の指数の第 1 項は左端の Riemann 和 $\sum_i\theta_{t_{i-1}}\Delta_i$ で、伊藤の公式 の定理「伊藤積分の存在と等長性」により $\int_0^T\theta_t\,dB_t$ に 2 乗平均で収束するので、部分列に移って確率 $1$ で収束するとしてよい。第 2 項 $\sum_i\theta_{t_{i-1}}^2\delta_i$ と $\int_0^t\theta^n_s\,ds$ は、道ごとに連続関数の Riemann 和なので $\int_0^T\theta_t^2\,dt$、$\int_0^t\theta_s\,ds$ に収束する。よって確率 $1$ で $Z^n\to Z_T$、各 $t$ で $W^n_t:=B_t-\int_0^t\theta^n_s\,ds\to W_t$ である。
一様可積分性。 $(Z^n)^2=Z_T(2\theta^n)\exp\bigl(\sum_i\theta_{t_{i-1}}^2\delta_i\bigr)\le e^{K^2T}Z_T(2\theta^n)$ であり、$2\theta^n$ も適合した階段状の過程なので thm-gir-simple の 1 から $E[(Z^n)^2]\le e^{K^2T}$ である。$L^2$ で有界な族は一様可積分なので（一様可積分性 の例「Lp で有界な族」）、確率 $1$ の収束は確率収束を導くので（強大数の法則 の命題「概収束は確率収束を導く」）、Vitaliの収束定理 の系「測度収束する列」により $E\lvert Z^n-Z_T\rvert\to0$ で、$E[Z_T]=\lim E[Z^n]=1$ である。Fatouの補題 から $E[Z_T^2]\le\liminf E[(Z^n)^2]\le e^{K^2T}$ である。$Z_T>0$ なので $Q$ は $P$ と互いに絶対連続である。
極限での等式。 $t\le u$、有界な $\mathcal F_t$-可測の $G$、$\lambda\in\mathbb R$ をとり、$Y^n:=e^{i\lambda(W^n_u-W^n_t)}$、$Y:=e^{i\lambda(W_u-W_t)}$ とおく。thm-gir-simple の 2 から $E[Z^nGY^n]=E[Z^nG]e^{-\lambda^2(u-t)/2}$ である。$\lvert G\rvert\le c$ として $\lvert Z^nGY^n-Z_TGY\rvert\le c\lvert Z^n-Z_T\rvert+cZ_T\lvert Y^n-Y\rvert$ で、第 1 項の期待値は $0$ に近づき、第 2 項は $2cZ_T$（可積分）で抑えられ各点で $0$ に近づくので、優収束定理 により期待値は $0$ に近づく。同様に $E[Z^nG]\to E[Z_TG]$ なので、$E[Z_TGY]=E[Z_TG]e^{-\lambda^2(u-t)/2}$ である。$W$ は適合し道は連続なので、あとは prf-gir-simple の 3 と同じ議論で結論を得る。$\square$
ドリフトが確定的な場合には、条件をちょうど言い当てる定理がある。$T=1$ とし、$F\colon[0,1]\to\mathbb R$ を $F(0)=0$ の連続関数とする。$F(t)=\int_0^tf(s)\,ds$ となる $f\in L^2[0,1]$ があれば、連続関数の空間の上で $B+F$ の分布と $B$ の分布は互いに絶対連続であり、そのような $f$ がなければ互いに特異である（Cameron–Martin の定理。MP10 Theorem 1.38（p. 25、証明 pp. 25–27）。この記事では証明しない）。$f$ が連続なら、前半は次の系に含まれる。
系と応用
以下、$C[0,T]$ を $[0,T]$ 上の実数値連続関数の空間とし、各時刻の値 $w\mapsto w(t)$ をすべて可測にする最小の $\sigma$-代数を考える。道が連続な過程 $X$ は、この空間に値をとる確率変数とみなせる。
$f\colon[0,T]\to\mathbb R$ を連続関数とし、$F(t):=\int_0^tf(s)\,ds$ とおく。$C[0,T]$ 上の有界な可測関数 $\Phi$ について
$$
E\bigl[\Phi(B+F)\bigr]=E\Bigl[\Phi(B)\exp\Bigl(\int_0^Tf(t)\,dB_t-\frac12\int_0^Tf(t)^2\,dt\Bigr)\Bigr]
$$
が成り立つ。すなわち、$B+F$ の分布は $B$ の分布に対して密度 $\exp\bigl(\int_0^Tf\,dB-\frac12\int_0^Tf^2dt\bigr)$ をもつ。
$\theta:=f$ に thm-gir-main を当てる。$Q$ のもとで $W=B-F$ は標準 Brown 運動なので、$Q$ のもとでの $W$ と $P$ のもとでの $B$ は、どちらも Brown運動 の定義の 1–3 により同じ有限次元分布をもつ。有限個の時刻の値で決まる事象の全体は共通部分で閉じ、上の $\sigma$-代数を生成するので、Dynkinのπ-λ定理 の定理「π系の上で一致する測度の一意性」により 2 つの分布は $C[0,T]$ の上で一致する。よって $E[\Phi(B+F)]=E_Q[\Phi(W+F)]=E_Q[\Phi(B)]=E[Z_T\Phi(B)]$ である。$\square$
$b\colon\mathbb R\to\mathbb R$ を有界な連続関数とし、$Z_T:=\exp\bigl(\int_0^Tb(B_t)\,dB_t-\frac12\int_0^Tb(B_t)^2dt\bigr)$、$Q(A):=E[Z_T;A]$ とおく。$Q$ のもとで $W_t:=B_t-\int_0^tb(B_s)\,ds$ は $(\mathcal F_t)$ に関する標準 Brown 運動であり、$X:=B$ は
$$
X_t=\int_0^tb(X_s)\,ds+W_t\qquad(0\le t\le T)
$$
を満たす。すなわち $(\Omega,\mathcal F,Q)$、$(\mathcal F_t)$、$W$、$X$ は確率微分方程式 $dX_t=b(X_t)\,dt+dW_t$、$X_0=0$ の弱い解である。
$\theta_t:=b(B_t)$ は適合し、道は連続で、$\lvert\theta\rvert\le\sup\lvert b\rvert$ なので、thm-gir-main から前半が従う。等式は $W$ の定義そのものである。確率微分方程式 の定義「弱い解」の残りの条件を確かめる。拡散係数は $1$ なので、$W$ による伊藤積分 $\int_0^t1\,dW_s$ は左端の和が $W_t$ そのものになり、方程式の第 2 項は $W_t$ である。$X$ は適合し道は連続である。Cauchy–Schwarz の不等式と $E[Z_T^2]\le e^{K^2T}$（$K:=\sup\lvert b\rvert$）から $E_Q[(X_t-X_s)^2]\le e^{K^2T/2}E[(B_t-B_s)^4]^{1/2}=e^{K^2T/2}\sqrt3\,\lvert t-s\rvert$ で、$E_Q[X_t^2]$ も同様に有限なので、$t\mapsto X_t$ は $L^2(Q)$ 連続である。$\square$
この系では $b$ に Lipschitz 条件を課していない。確率微分方程式 の定理「確率微分方程式の解の存在と一意性」は、与えられた Brown 運動から解を作るために Lipschitz 条件を使うが、この系は Brown 運動のほうを新しく作ることで解を得ている。この方程式に道ごとの一意性が成り立てば、得られた弱い解は 山田–渡辺の定理 により強い解でもある。解の分布は $E_Q[\Phi(X)]=E[\Phi(B)Z_T]$ と、Brown 運動の期待値で書ける。
$\mu\in\mathbb R$ とする。$\theta\equiv-\mu$（$k=1$ の階段状の過程）に thm-gir-simple を当てると、$Z=e^{-\mu B_T-\mu^2T/2}$ の重みのもとで $B_t+\mu t$ が Brown 運動なので、実数上の有界な可測関数 $h$ について
$$
E[h(B_T)]=E\bigl[h(B_T+\mu T)\,e^{-\mu B_T-\mu^2T/2}\bigr]
$$
である。これは密度の等式 $e^{-\mu x-\mu^2T/2}\varphi_T(x)=\varphi_T(x+\mu T)$（$\varphi_T$ は $N(0,T)$ の密度）からも直接確かめられる。
$a>0$ が大きいとき、$p:=P(B_T\ge a)$ を $B_T$ の標本 $N$ 個の割合で推定すると、ほとんどの標本が $a$ に届かず、相対誤差（標準偏差を $p$ で割った値）は $\sqrt{(1-p)/(Np)}$ と大きい。そこで $\mu:=a/T$ として、右辺の $Y:=1_{\{B_T+\mu T\ge a\}}e^{-\mu B_T-\mu^2T/2}$ の標本平均で推定すると、$E[Y]=p$ で、上の等式を $2\mu$ に当てた計算から $E[Y^2]=e^{\mu^2T}P(B_T\ge a+\mu T)=e^{a^2/T}P(B_T\ge2a)$ である。$T=1$、$a=4$ では
| 推定量 | 期待値 | 分散 | $N$ 個の標本平均の相対誤差 |
|---|---|---|---|
| $1_{\{B_T\ge a\}}$ | $3.167\times10^{-5}$ | $3.167\times10^{-5}$ | $177.7/\sqrt N$ |
| $Y$（$\mu=4$） | $3.167\times10^{-5}$ | $4.525\times10^{-9}$ | $2.124/\sqrt N$ |
で、分散は約 $7000$ 分の $1$ になる。ドリフトを付けて事象を起こりやすくし、その分を密度で割り戻すのが重点サンプリングである。
条件を外したときの反例
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| ドリフトの適合性 | $T=1$、$k=1$、$\xi_1:=B_1$（$\mathcal F_0$-可測でない） | $E[Z]=1$：$Z=e^{B_1^2/2}$ で $E[Z]=\infty$ |
| 有限な時間区間 | 時刻 $[0,\infty)$、$\theta\equiv\mu\ne0$ | $B+\mu t$ と $B$ の分布の絶対連続性：互いに特異 |
| $B$ との差が $\int_0^t\theta_s\,ds$ の形であること | $cB$（$c>0$、$c\ne1$）、$T=1$ | $cB$ と $B$ の分布の絶対連続性：互いに特異 |
| ドリフトの導関数の 2 乗可積分性 | $F(t)=\sqrt t$、$T=1$ | $B+F$ と $B$ の分布の絶対連続性：互いに特異（MP10 Theorem 1.38） |
1 行目：$Z=\exp(B_1\cdot B_1-\frac12B_1^2)=e^{B_1^2/2}$ で、$E[e^{B_1^2/2}]=\int e^{x^2/2}(2\pi)^{-1/2}e^{-x^2/2}dx=\infty$ である。未来の値でドリフトを決めると、平方完成の打ち消し合いが起こらない。
2 行目：$B_n-B_{n-1}$（$n\ge1$）は独立に $N(0,1)$ に従うので、強大数の法則 により確率 $1$ で $B_n/n\to0$ である。$[0,\infty)$ 上の連続関数の空間で事象 $\{w:w(n)/n\to0\}$ を考えると、$B$ の分布では確率 $1$、$B+\mu t$ の分布では $(B_n+\mu n)/n\to\mu\ne0$ なので確率 $0$ である。各 $[0,T]$ では互いに絶対連続だが、時間を無限にのばすと重みの積み重ねが発散する。
3 行目：$Q_n(w):=\sum_{j=1}^{2^n}\bigl(w(j2^{-n})-w((j-1)2^{-n})\bigr)^2$ とおく。Brown運動 の定理「2 次変分」から $E[(Q_n(B)-1)^2]=2\cdot2^{-n}$ なので、Chebyshevの不等式 と Borel–Cantelliの補題 により確率 $1$ で $Q_n(B)\to1$ である。$Q_n(cB)=c^2Q_n(B)\to c^2\ne1$ なので、事象 $\{Q_n(w)\to1\}$ は一方の分布で確率 $1$、他方で確率 $0$ である。測度の取り替えで変えられるのはドリフトだけで、拡散の大きさ（2 次変分）は変えられない。
4 行目：$F(t)=\int_0^t\frac1{2\sqrt s}ds$ だが $\int_0^1\frac1{4s}ds=\infty$ なので、$F(t)=\int_0^tf$ となる $f\in L^2[0,1]$ はない（そのような $f$ はほとんど至る所で $F'$ に等しい）。
補足
- ドリフトの条件：この記事の定理は、階段状のドリフト（thm-gir-simple。$\xi_i$ の有界性は要らない）と、有界で連続なドリフト（thm-gir-main）を扱った。後者の証明で有界性を使ったのは、$\theta$ が伊藤積分の被積分過程になることと、密度の近似 $Z^n$ の一様可積分性を示す所である。上の表の 1 行目のように、条件を外すと重み $Z$ は確率測度を定めるとは限らない。
- 確率微分方程式との関係：cor-gir-weak のように、Girsanov の定理はドリフトだけが違う 2 つの方程式の解の分布を、密度で結びつける。拡散係数が違う場合は、上の表の 3 行目のように分布は特異になる。
関連項目
参考文献
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