Chern接続
概要
Chern接続（Chern connection）とは、Hermite 計量 $h$ をもつ正則ベクトル束 $E$ の接続で、計量を保ち、$(0,1)$ 部分が $\bar\partial_E$ に一致するものである。これはただ 1 つあり、正則な枠での接続行列は計量の行列 $H$ から $A=H^{-1}\partial H$ と書ける。曲率 $\Theta=\bar\partial(H^{-1}\partial H)$ は型 $(1,1)$ で $h$ について反 Hermite であり、直線束では $\frac{i}{2\pi}\Theta$ が第 1 Chern 類を表す。$\mathbb P^n$ の $\mathcal O(1)$ の曲率は Fubini–Study 形式の定数倍である。Kähler 多様体では接束の Chern 接続は Levi-Civita 接続に一致する。
前提知識: 正則ベクトル束, エルミート計量, 接続, Dolbeaultコホモロジー
Chern接続（Chern connection）とは、Hermite 計量 $h$ をもつ正則ベクトル束 $E$ の上の接続 $D$ で、計量を保ち（$d\,h(s,t)=h(Ds,t)+h(s,Dt)$）、その $(0,1)$ 部分が正則構造の作用素 $\bar\partial_E$ に一致するものである。このような接続はつねにただ 1 つあり、正則な局所枠についての接続行列は、計量の行列 $H$ から
$$
A=H^{-1}\partial H
$$
と書ける。その曲率 $\Theta=\bar\partial(H^{-1}\partial H)$ を Chern 曲率という。
滑らかな複素ベクトル束に Hermite 計量を入れただけでは、計量を保つ接続は無数にある。正則構造を 1 つ固定すると、計量と正則構造の両方に合う接続がただ 1 つに決まる、というのがこの記事の主定理である。Chern 接続の曲率は型 $(1,1)$ の形式で、曲率形式による Chern 類（第1Chern類、Chern類）の代表を与え、その正値性が小平の消滅定理（小平の消滅定理）の仮定になる。
この記事では次を示す。
- Chern 接続の存在と一意性、正則枠についての式 $A=H^{-1}\partial H$。
- Chern 曲率が $\Theta=\bar\partial(H^{-1}\partial H)$ で与えられ、型 $(1,1)$ であり、$h$ について反 Hermite（$i\Theta$ が Hermite）であること。
- 直線束では $\Theta=-\partial\bar\partial\log|e|_h^2$ であること。射影空間の $\mathcal O(1)$ の曲率が Fubini–Study 形式の定数倍であること。
設定と記号
$X$ を複素次元 $n$ の複素多様体、$E$ を $X$ 上の階数 $r$ の滑らかな複素ベクトル束とし、$\mathcal A^{p,q}(X,E)$ を $E$ に値をとる $(p,q)$ 形式の空間とする。$E$ の接続 $D\colon\mathcal A^{0}(X,E)\to\mathcal A^1(X,E)$（接続 の定義「多様体上のベクトル束の接続」）は、$\mathcal A^1=\mathcal A^{1,0}\oplus\mathcal A^{0,1}$ に従って
$$
D=D'+D'',\qquad D'\colon\mathcal A^{0}(X,E)\to\mathcal A^{1,0}(X,E),\quad D''\colon\mathcal A^{0}(X,E)\to\mathcal A^{0,1}(X,E)
$$
と分かれる。$D''$ は $D''(fs)=\bar\partial f\otimes s+fD''s$ をみたす（正則ベクトル束 の定義「$\bar\partial$ 作用素」）。
行列の記号
局所枠 $e=(e_1,\dots,e_r)$ について、接続行列 $A=(A_{ab})$ を $De_b=\sum_aA_{ab}\otimes e_a$ で定め、切断 $s=\sum_b\sigma_be_b$ の係数を列ベクトル $\sigma$ で表す。このとき $Ds$ の係数は $d\sigma+A\sigma$、曲率 $D\circ D$ の行列は $F=dA+A\wedge A$ であり、枠を $e'=eg$（$e'_b=\sum_ag_{ab}e_a$）に替えると $A'=g^{-1}dg+g^{-1}Ag$、$F'=g^{-1}Fg$ である（接続 の命題「接続行列と曲率行列」）。
$E$ に Hermite 計量 $h$（第 1 変数について線形。エルミート計量）があるとき、この記事では計量の行列を
$$
H_{ab}:=h(e_b,e_a)
$$
で定める（エルミート計量 の記事の行列 $h(e_a,e_b)$ の転置である）。$H$ は正定値 Hermite 行列で、$s=\sum\sigma_ae_a$、$t=\sum\tau_be_b$ について $h(s,t)=\tau^*H\sigma$ となる。ここで $M^*:={}^t\overline M$ であり、成分が形式の行列では成分の複素共役もとる。枠を $e'=eg$ に替えると $H'=g^*Hg$ である。
形式に値をもつ切断にも $h(\varphi\otimes s,\psi\otimes t):=\varphi\wedge\bar\psi\,h(s,t)$ で計量を延ばす。接続 $D$ が $h$ を保つとは、滑らかな切断 $s,t$ について
$$
d\,h(s,t)=h(Ds,t)+h(s,Dt)
$$
が成り立つことをいう。
局所枠 $e$ について、$D$ が $h$ を保つことと
$$
dH=A^*H+HA
$$
は同値である。
$Ds$ の係数は $d\sigma+A\sigma$ なので $h(Ds,t)=\tau^*H(d\sigma+A\sigma)$、$h(s,Dt)=(d\tau+A\tau)^*H\sigma$ である。一方 $d(\tau^*H\sigma)=d\tau^*\,H\sigma+\tau^*\,dH\,\sigma+\tau^*H\,d\sigma$ なので
$$
d\,h(s,t)-h(Ds,t)-h(s,Dt)=\tau^*\bigl(dH-HA-A^*H\bigr)\sigma
$$
である。これがすべての $\sigma,\tau$ について $0$ であることと、括弧の中が $0$ であることは同値である。$\square$
主定理
$(E,h)$ を Hermite 計量をもつ正則ベクトル束とする。$E$ の接続 $D$ が次の 2 条件をみたすとき、$D$ を $(E,h)$ の Chern 接続という。
- $D$ は $h$ を保つ。
- $D''=\bar\partial_E$（正則ベクトル束 の命題「正則ベクトル束の $\bar\partial$ 作用素」）。
Chern 接続の曲率 $\Theta=\Theta(E,h):=D\circ D$ を Chern 曲率という。
Hermite 計量 $h$ をもつ正則ベクトル束 $E$ には、Chern 接続がただ 1 つある。正則な局所枠 $e$ についての接続行列は
$$
A=H^{-1}\partial H
$$
である。とくに $A$ は型 $(1,0)$ で、$D'$ は $e$ について $\sigma\mapsto H^{-1}\partial(H\sigma)$ と書ける。
一意性と局所的な式．$D$ を Chern 接続、$e$ を開集合 $U$ 上の正則な枠とする。条件 2 から $D''e_b=\bar\partial_Ee_b=0$ なので、$De_b=D'e_b$ であり、接続行列 $A$ は型 $(1,0)$ の形式を成分にもつ。すると $A^*$ は型 $(0,1)$ である。条件 1 と lem-chern-compatible により $dH=A^*H+HA$ であり、両辺の型 $(1,0)$ の部分を比べると
$$
\partial H=HA,\qquad\text{すなわち}\qquad A=H^{-1}\partial H
$$
を得る。したがって $U$ 上で $D$ は $h$ と正則構造だけで決まる。$X$ はこのような $U$ で覆えるので、Chern 接続はあってもただ 1 つである。
局所的な存在．$U$ 上の正則な枠 $e$ について、接続行列を $A:=H^{-1}\partial H$ として $U$ 上の接続 $D_U$ を定める。$A$ は型 $(1,0)$ なので、$D_U(\sum\sigma_be_b)$ の $(0,1)$ 部分の係数は $\bar\partial\sigma$ であり、$D_U''=\bar\partial_E$ である。計量については、$H^*=H$ と $(\partial H)^*=\bar\partial(H^*)=\bar\partial H$ から
$$
A^*H+HA=(\partial H)^*(H^{-1})^*H+\partial H=\bar\partial H\,H^{-1}H+\partial H=dH
$$
となるので、lem-chern-compatible により $D_U$ は $h$ を保つ。
貼り合わせ．$U\cap V$ 上では $D_U$ と $D_V$ がともに 2 条件をみたすので、最初の段の一意性（$U\cap V$ 上の正則な枠に当てる）により一致する。よって $D_U$ たちは $X$ 全体の接続 $D$ に貼り合い、$D$ が Chern 接続である。
最後の主張は、$\sigma\mapsto d\sigma+A\sigma$ の $(1,0)$ 部分が $\partial\sigma+H^{-1}\partial H\,\sigma=H^{-1}\partial(H\sigma)$ であることによる。$\square$
この定理は Wel08 Ch. III Theorem 2.1（p. 78）、Kob87 Proposition 1.4.9（p. 11）、Dem12 Ch. V (12.1)–(12.3)（pp. 268–269）にある。Wel08 は貼り合わせを枠の変換則 $A'=g^{-1}dg+g^{-1}Ag$ で直接確かめている。実際、正則な変換 $e'=eg$ では $H'=g^*Hg$ で $\partial g^*=0$ なので、$H'^{-1}\partial H'=g^{-1}H^{-1}(g^*)^{-1}(g^*\partial H\,g+g^*H\,\partial g)=g^{-1}(H^{-1}\partial H)g+g^{-1}\partial g$ となり、$\partial g=dg$ から変換則と一致する。
条件 1 だけなら、計量を保つ接続は 1 の分割でいつでも作れ、無数にある（Wel08 Ch. III Proposition 1.11 とその後の注意、pp. 76–77）。条件 2 だけでも、$\bar\partial_E$ に型 $(1,0)$ の任意の $\operatorname{End}(E)$ 値の形式を足せるので一意でない。2 つの条件を合わせてはじめて接続が決まる。
Chern 曲率
$D$ を $(E,h)$ の Chern 接続、$\Theta$ をその曲率とする。
- 正則な局所枠について、曲率行列は $\Theta=\bar\partial(H^{-1}\partial H)$ である。
- $\Theta$ は型 $(1,1)$ の $\operatorname{End}(E)$ 値の形式である。とくに $D'\circ D'=0$、$D''\circ D''=0$、$\Theta=D'D''+D''D'$ である。
- $\Theta$ は $h$ について反 Hermite である：$h(\Theta s,t)+h(s,\Theta t)=0$。行列では $\Theta^*H+H\Theta=0$ で、ユニタリ枠では $\Theta^*=-\Theta$ である。
1．$A=H^{-1}\partial H$ とする。$\partial(H^{-1})=-H^{-1}\,\partial H\,H^{-1}$ と $\partial\partial=0$ から
$$
\partial A=\partial(H^{-1})\wedge\partial H=-H^{-1}\partial H\wedge H^{-1}\partial H=-A\wedge A
$$
である。よって曲率行列は $F=dA+A\wedge A=\bar\partial A+\partial A+A\wedge A=\bar\partial A$ である。
2．$A$ は型 $(1,0)$ なので $\bar\partial A$ は型 $(1,1)$ である。曲率は枠によらない $\operatorname{End}(E)$ 値の 2 形式（枠の変換で $g^{-1}Fg$ と共役で変わる）なので、どこでも型 $(1,1)$ である。$D\circ D=D'D'+(D'D''+D''D')+D''D''$ の各項はそれぞれ型 $(2,0)$、$(1,1)$、$(0,2)$ の作用素なので、$\Theta$ が型 $(1,1)$ であることから $D'D'=0$、$D''D''=0$ を得る（後者は $\bar\partial_E^2=0$ からも分かる）。
3．任意の局所枠で lem-chern-compatible の $dH=A^*H+HA$ を微分する。成分が 1 形式の行列 $\alpha,\beta$ について $(\alpha\wedge\beta)^*=-\beta^*\wedge\alpha^*$ であること（成分ごとの $\bar\alpha\wedge\bar\beta=-\bar\beta\wedge\bar\alpha$ による）に注意すると
$$
0=d(A^*H)+d(HA)=dA^*\,H-A^*\wedge dH+dH\wedge A+H\,dA
$$
であり、$dH$ に $A^*H+HA$ を代入すると $A^*\wedge HA$ と $A^*H\wedge A$ が打ち消し合って
$$
0=(dA^*-A^*\wedge A^*)H+H(dA+A\wedge A)=\Theta^*H+H\Theta
$$
を得る（$\Theta^*=dA^*+(A\wedge A)^*=dA^*-A^*\wedge A^*$）。$s=e\sigma$、$t=e\tau$ について $h(\Theta s,t)+h(s,\Theta t)=\tau^*(H\Theta+\Theta^*H)\sigma=0$ である。ユニタリ枠では $H=I$ なので $\Theta^*=-\Theta$ である。$\square$
Wel08 Ch. III Proposition 2.2（pp. 79–80）、Kob87 (1.4.7)・Proposition 1.4.17（pp. 10–12）、Dem12 Ch. V Theorem (12.4)（p. 269）を参照。3 の証明は正則性を使っておらず、計量を保つ接続ならどれでも成り立つ。
3 を座標で書き直す。$\Theta=\sum_{j,k}R_{j\bar k}\,dz_j\wedge d\bar z_k$（$R_{j\bar k}$ は各点で $E_x$ の自己準同型）と書くと、$\overline{dz_j\wedge d\bar z_k}=-dz_k\wedge d\bar z_j$ なので、3 は $R_{k\bar j}=R_{j\bar k}^\dagger$（$h$ についての随伴）と同じである。したがって
$$
\theta(\xi\otimes v):=\sum_{j,k}h(R_{j\bar k}v,v)\,\xi_j\bar\xi_k\qquad(\xi\in T^{1,0}_xX,\ v\in E_x)
$$
は実数値である。$\xi\neq0$、$v\neq0$ ならつねに $\theta(\xi\otimes v)>0$ となるとき、$(E,h)$ は Griffiths の意味で正であるという（Dem12 Ch. VII Definition (6.4)、p. 338）。直線束では $\theta(\xi\otimes v)=|v|_h^2\sum R_{j\bar k}\xi_j\bar\xi_k$ なので、これは実 $(1,1)$ 形式 $i\Theta$ が正（Kähler形式 の定義「正の $(1,1)$ 形式と Kähler 形式」）であることと同じである。
直線束の場合
$(L,h)$ を Hermite 計量をもつ正則直線束とし、$e$ を $U$ 上の $0$ にならない正則切断、$|e|_h^2:=h(e,e)$ とする。
- Chern 接続は $De=\partial\log|e|_h^2\otimes e$、曲率は
$$ \Theta(L,h)=\bar\partial\partial\log|e|_h^2=-\partial\bar\partial\log|e|_h^2 $$
である。$|e|_h^2=e^{-\varphi}$ と書けば $i\Theta=i\partial\bar\partial\varphi$ である。 - $i\Theta$ は閉じた実 $(1,1)$ 形式で、$e$ の選び方によらない。
- 双対束とテンソル積について $\Theta(L^*,h^*)=-\Theta(L,h)$、$\Theta(L\otimes M,h\otimes h')=\Theta(L,h)+\Theta(M,h')$ である。
1 は thm-chern-main と thm-chern-curvature の 1 で $H=|e|_h^2$ とした式である（$H^{-1}\partial H=\partial\log H$）。$\partial\bar\partial=-\bar\partial\partial$ から 2 つ目の等号を得る。
2・3 の確認を開く
2：$\Theta$ は枠によらない（直線束では $g^{-1}Fg=F$）。実関数 $u$ について $\overline{i\partial\bar\partial u}=-i\bar\partial\partial u=i\partial\bar\partial u$ なので $i\Theta$ は実である。局所的に $\bar\partial\partial u=d(\partial u)$（$\partial\partial u=0$ による）なので閉じている。3：$e^*$ を $e$ の双対枠とすると、双対計量について $|e^*|^2=1/|e|^2$ である。また $|e\otimes f|^2=|e|^2|f|^2$ である。1 の式の $\log$ に代入すればよい。$\square$
第1Chern類 の定義「曲率形式による定義」の $\Theta_h=\frac{i}{2\pi}\bar\partial\partial\log h_i$ は、この記事の記号では $\frac{i}{2\pi}\Theta(L,h)$ である。同記事の定理「3つの定義の一致」により、その de Rham 類は第 1 Chern 類 $c_1(L)$ の実係数の像であり、計量の選び方によらない。Dem12 Ch. V (12.6)–(12.8)（p. 269）も参照。
例
$\mathbb C$ 上の自明直線束に計量 $h(1,1)=e^{-|z|^2}$ を入れる。$\varphi=|z|^2$ なので、Chern 接続は $D1=\partial(-|z|^2)\otimes1=-\bar z\,dz\otimes1$、曲率は $\Theta=\partial\bar\partial|z|^2=dz\wedge d\bar z$ で、$i\Theta=i\,dz\wedge d\bar z=2\,dx\wedge dy$ は正である。束は正則に自明だが、計量が標準的でないため曲率は $0$ でない。一方、自明な接続 $d$ も $D''=\bar\partial$ をみたし、曲率は $0$ である。$d$ は計量を保たない。
$\mathcal O(-1)\subset\mathbb P^n\times\mathbb C^{n+1}$ に $\mathbb C^{n+1}$ の標準的な Hermite 内積を制限した計量を入れ、$\mathcal O(1)=\mathcal O(-1)^*$ には双対計量を入れる。アフィン座標 $z=(z_1,\dots,z_n)$（$[x]=[1:z_1:\dots:z_n]$）の上で、$\rho:=1+|z|^2$ とおくと
$$
\Theta(\mathcal O(1))=-\Theta(\mathcal O(-1))=\partial\bar\partial\log\rho=\sum_{j,k}\frac{\rho\,\delta_{jk}-\bar z_jz_k}{\rho^2}\,dz_j\wedge d\bar z_k
$$
である。とくに原点では $\Theta(\mathcal O(1))=\sum_jdz_j\wedge d\bar z_j$ で、$i\Theta(\mathcal O(1))$ はどの点でも正、$i\Theta(\mathcal O(-1))$ はどの点でも負である。
$\mathcal O(-1)$ の正則な枠として $\varepsilon(z):=(1,z_1,\dots,z_n)$ をとる（正則ベクトル束 の例「射影空間の直線束 $\mathcal O(k)$」の $\varepsilon_0$）。制限した計量では $|\varepsilon|^2=1+|z|^2=\rho$ なので、cor-chern-line の 1 により $\Theta(\mathcal O(-1))=-\partial\bar\partial\log\rho$、3 により $\Theta(\mathcal O(1))=\partial\bar\partial\log\rho$ である。係数は
$$
\frac{\partial^2\log\rho}{\partial z_j\partial\bar z_k}=\frac{\partial}{\partial z_j}\Bigl(\frac{z_k}{\rho}\Bigr)=\frac{\delta_{jk}}{\rho}-\frac{z_k\bar z_j}{\rho^2}
$$
である。正値性：$v\in\mathbb C^n$ について、Cauchy–Schwarz の不等式 $|\sum_j\bar z_jv_j|^2\le|z|^2|v|^2$ から
$$
\sum_{j,k}(\rho\,\delta_{jk}-\bar z_jz_k)v_j\bar v_k=\rho|v|^2-\Bigl|\sum_j\bar z_jv_j\Bigr|^2\ge(1+|z|^2)|v|^2-|z|^2|v|^2=|v|^2
$$
なので係数行列は正定値であり、$i\Theta(\mathcal O(1))$ は正である。座標 $z$ の外の点も、座標を $x_i\neq0$ の $U_i$ のものに替えれば同じ計算になる。$\square$
$\mathbb C^{n+1}$ の標準計量の自明束は平坦（曲率 $0$）だが、その正則な部分束 $\mathcal O(-1)$ に制限した計量の曲率は負になった。一般に、正則な部分束 $S\subset E$ に制限した計量の曲率は、$E$ の曲率を $S$ に制限したものから「第 2 基本形式」$\beta$ の寄与 $\beta^*\wedge\beta$ を引いたものになり、曲率は部分束に移ると減る（Dem12 Ch. V Theorem (14.3)・(14.5)、pp. 273–274。Kob87 (1.6.12)、p. 22）。上の計算はその最も簡単な場合である。
$\omega_{\mathrm{FS}}:=\frac i2\partial\bar\partial\log(1+|z|^2)$（Kähler多様体 の節「射影空間とFubini–Study形式」の規格化）とおくと、prop-chern-ok は
$$
i\Theta(\mathcal O(1))=2\,\omega_{\mathrm{FS}},\qquad\frac{i}{2\pi}\Theta(\mathcal O(1))=\frac1\pi\,\omega_{\mathrm{FS}}
$$
と書ける。$n=1$ では $\int_{\mathbb P^1}\omega_{\mathrm{FS}}=\pi$（同節の計算）なので $\int_{\mathbb P^1}\frac{i}{2\pi}\Theta(\mathcal O(1))=1$ であり、$\mathcal O(1)$ の次数 $1$ と一致する（第1Chern類 の定理「曲線上の第1Chern類と次数」の後の検算）。Fubini–Study 計量そのものの性質は Fubini–Study計量 で扱う。$\mathcal O(k)$（$k\in\mathbb Z$）に誘導される計量では、cor-chern-line の 3 により $\Theta(\mathcal O(k))=k\,\partial\bar\partial\log\rho$ である。
接束の Chern 接続と Kähler 条件
$X$ の Hermite 計量 $h$（エルミート計量 の定義「多様体の Hermite 計量と基本形式」）は、正則接束 $T^{1,0}X$ の Hermite 計量でもある。その Chern 接続を $X$ の Chern 接続という。同型 $TX\to T^{1,0}X$、$u\mapsto\frac12(u-iJu)$（概複素構造）で移すと、これは実接束 $TX$ の接続になり、Riemann 計量 $g=\operatorname{Re}h$ を保ち、$J$ と可換である。
Hermite 多様体 $(X,h)$ について、次は同値である（Kob87 Proposition 1.7.19、pp. 25–26。条件は同所の (1) と (5)）。
- $h$ は Kähler 計量である（基本形式 $\omega$ が閉じる。Kähler形式）。
- $X$ の Chern 接続の捩れ $T(\xi,\eta)=D_\xi\eta-D_\eta\xi-[\xi,\eta]$ が $0$ である。
2 が成り立てば、Chern 接続は $TX$ 上の $g$ を保つ捩れのない接続なので、Levi-Civita 接続の一意性（リーマン接続）により Levi-Civita 接続に一致する。逆に Levi-Civita 接続が Chern 接続なら捩れは $0$ である。したがって、Kähler 多様体では Chern 接続と Levi-Civita 接続は同じものであり、Levi-Civita 接続が $J$ と可換になる（Kähler形式 の定理「Kähler 条件の同値な言い換え」の 4 と同じ内容）。この同値の証明はこの記事では行わない。
反例と注意
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 計量を保つ | $\mathbb C$ 上の自明直線束、$h(1,1)=e^{-\lvert z\rvert^2}$、接続 $d$ | $D''=\bar\partial_E$ をみたす接続はただ 1 つ |
| $D''$ がある正則構造の $\bar\partial_E$ | $\mathbb C^2$ 上の自明直線束、標準計量、$D=d+i\,x_1\,dx_2$ | 計量を保つ接続の曲率は型 $(1,1)$ |
| Kähler 条件 | Hopf 曲面の Hermite 計量 $h_H$ | 接束の Chern 接続は Levi-Civita 接続 |
| 曲率が $0$ | $\mathbb P^n$ 上の $\mathcal O(-1)$ と誘導計量 | 局所的なユニタリ枠を正則にとれる |
1 行目：$d$ は $D''=\bar\partial$ をみたし曲率 $0$ だが、$d\,h(1,1)=-e^{-|z|^2}(\bar z\,dz+z\,d\bar z)\neq0=h(d1,1)+h(1,d1)$ なので計量を保たない。$h$ の Chern 接続は ex-chern-weight の $d-\bar z\,dz$ で、曲率は $dz\wedge d\bar z\neq0$ である。2 つの接続がともに条件 2 をみたすので、条件 1 を外すと一意性が破れる。
2 行目：$A=i\,x_1\,dx_2$ は純虚数の 1 形式なので $A^*=-A$ で、lem-chern-compatible により $D$ は標準計量（$H=1$）を保つ。曲率は $dA=i\,dx_1\wedge dx_2$ で、$dx_1\wedge dx_2=\frac14(dz_1+d\bar z_1)\wedge(dz_2+d\bar z_2)$ は型 $(2,0)$ の成分 $\frac14dz_1\wedge dz_2$ と型 $(0,2)$ の成分 $\frac14d\bar z_1\wedge d\bar z_2$ をもつ。とくに $D''\circ D''=\frac i4d\bar z_1\wedge d\bar z_2\neq0$ で、$D''$ は可積分でなく、どの正則構造の $\bar\partial_E$ でもない（正則ベクトル束 の定理「可積分な $\bar\partial$ 作用素と正則直線束」の前の段落）。破る含意は「計量を保つ接続の曲率は型 $(1,1)$」で、thm-chern-curvature の 2 には条件 2 が欠かせない。
3 行目：Hopf 曲面の標準的な Hermite 計量 $h_H$ の基本形式は閉じない（エルミート計量 の例「Hopf 曲面の Hermite 計量」）。rem-chern-kahler によりその Chern 接続は捩れをもち、Levi-Civita 接続と一致しない。
4 行目：正則でユニタリな枠 $e$ があれば $H=I$ なので $A=H^{-1}\partial H=0$、$\Theta=0$ である。prop-chern-ok により $\mathcal O(-1)$ の曲率はどの点でも $0$ でないので、どの開集合の上にも正則でユニタリな枠はない。ユニタリ枠そのものは滑らかな枠としてならいつでもとれる（エルミート計量 の命題「ユニタリ枠と構造群」）。曲率は、正則な枠をユニタリにできないことの障害である（Dem12 Ch. V (12.9)、p. 270）。
注意を 2 つ挙げる。
- 正規な枠．どの点 $x_0$ でも、正則な枠 $e$ を $H(x_0)=I$、$dH(x_0)=0$ となるようにとれる。このとき $x_0$ で $A=0$、$\Theta=\bar\partial\partial H$ である（Wel08 Ch. III Lemma 2.3、p. 80。Kob87 Proposition 1.4.20、p. 12）。曲率の計算では、この枠をとると $H^{-1}$ の微分を扱わずに済む。
- Chern–Weil 理論への入口．階数 $r$ の束では、$\det\bigl(I+\frac{i}{2\pi}\Theta\bigr)$ の各次の成分が閉形式で、その de Rham 類が Chern 類 $c_k(E)$ の実係数の像である。直線束の場合が cor-chern-line の後の段落であり、一般の場合は Chern類 の注意「曲率によるChern類の表示」にある。
関連項目
参考文献
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