互いに素

$a=b=0$ のときは、$\gcd(0,0)=0$、$0\cdot x+0\cdot y=0$、$(0)+(0)=(0)$ であり、素数 $2$ は $0$ を割り切るので、1〜4 はすべて成り立たない。以下、$a,b$ の少なくとも一方は $0$ でないとする。
1 ⇒ 2 は Bézoutの等式（$\gcd(a,b)=ax+by$ となる $x,y$ の存在）である。2 ⇒ 1：$a,b$ の公約数 $c$ は $ax+by=1$ を割り切るので $c=\pm1$ であり、$\gcd(a,b)=1$ である。
2 ⇔ 3：$(a)+(b)=\{ax+by\mid x,y\in\mathbb{Z}\}$ であり（イデアル の記事の定義「イデアルの和・積・共通部分」）、イデアルが $\mathbb{Z}$ に等しいことは $1$ を含むことと同値である。
1 ⇒ 4：素数 $p$ が $a,b$ をともに割り切れば $p\geq2$ は公約数なので $\gcd(a,b)\geq2$ である。4 ⇒ 1：$d=\gcd(a,b)\geq2$ とすると、$d$ は素因数 $p$ をもち（素数 の記事の命題「素因数の存在」）、$p\mid d$、$d\mid a$、$d\mid b$ から $p$ は $a,b$ をともに割り切る。

1. thm-coprime-integers により $ax+by=1$ となる $x,y$ がある。両辺に $c$ を掛けると $c=a(cx)+(bc)y$ であり、右辺の 2 項はともに $a$ で割り切れるので $a\mid c$ である。
2. $ax+by=1$、$ax'+cz=1$ とすると、辺々掛けて
   $$ 1=(ax+by)(ax'+cz)=a(xax'+xcz+byx')+(bc)(yz) $$
   を得る。よって $a$ と $bc$ の公約数は $1$ を割り切り、$\gcd(a,bc)=1$ である。
3. $c=ak$ と書く。$b\mid ak$ であり $\gcd(b,a)=1$ なので、1 により $b\mid k$ である。$k=bl$ と書けば $c=abl$ である。

1 ⇒ 2：多項式環 の記事の命題「最大公約多項式の特徴づけ」により、$\gcd(f,g)$ は $uf+vg$ の形に書ける。2 ⇒ 1：$f,g$ をともに割り切る多項式は $uf+vg=1$ を割り切るので $0$ でない定数であり、$\gcd(f,g)=1$ である。
2 ⇒ 3：$\alpha\in\Omega$ が共通の根なら、$x$ に $\alpha$ を代入する写像は環準同型なので（多項式環 の記事の定理「多項式環の普遍性」）、$1=u(\alpha)f(\alpha)+v(\alpha)g(\alpha)=0$ となって矛盾する。
3 ⇒ 1：$d=\gcd(f,g)$ が定数でないとする。$d\in K[x]\subset\Omega[x]$ は次数 $1$ 以上なので、$\Omega$ が代数閉体であることから $d(\alpha)=0$ となる $\alpha\in\Omega$ がある。$d\mid f$、$d\mid g$ なので $f(\alpha)=g(\alpha)=0$ となり、3 に反する。よって $d=1$ である。
最後の主張は、3 の条件が $K$ と $L$ のどちらで考えても同じ $\Omega$ の中の条件であることから、1 ⇔ 3 を $K$ と $L$ に適用すれば得られる。

1. $I+J\neq A$ なら、$I+J$ は真のイデアルなので、それを含む極大イデアル $M$ が存在する（極大イデアル の記事の定理「真イデアルを含む極大イデアルの存在」）。$M$ は $I$ と $J$ をともに含む。逆に極大イデアル $M$ が $I$ と $J$ を含めば $I+J\subset M\neq A$ である。
2. $1=a+b=a'+c$（$a,a'\in I$、$b\in J$、$c\in K$）と書く。辺々掛けて
   $$ 1=(a+b)(a'+c)=aa'+ac+ba'+bc $$
   を得る。$aa'$、$ac$、$ba'$ は $I$ に属し、$bc$ は $JK$ に属するので、$1\in I+JK$ である。
3. $n$ に関する帰納法で $I+J^n=A$ を示す。$n=1$ は仮定である。$I+J^{n-1}=A$ なら、2 を $J$ と $K=J^{n-1}$ に適用して $I+J^n=A$ を得る。次に $J^n+I=A$ に同じ議論を $I$ の側について行えば、$J^n+I^m=A$ を得る。
4. イデアル の記事の命題「互いに素なイデアルの積と共通部分」である。

1. 各成分 $A\to A/I_i$ は自然な射影で環準同型なので、$\rho$ も環準同型である。$\rho(a)=0$ はすべての $i$ で $a\in I_i$ であることと同じである。
2. 全射 ⇒ 対ごとに互いに素：$i\neq j$ とし、第 $i$ 成分が $1+I_i$、他の成分が $0$ である元の逆像 $a$ をとる。$a-1\in I_i$、$a\in I_j$ なので $1=(1-a)+a\in I_i+I_j$ である。
   対ごとに互いに素 ⇒ 全射：$n=1$ なら $\rho$ は自然な射影なので全射である。$n\geq2$ とし、$i$ を固定する。$j\neq i$ について $I_i+I_j=A$ なので、prop-coprime-ideals-basic の 2 を繰り返し用いて $I_i+\prod_{j\neq i}I_j=A$ を得る。よって
   $$ 1=u_i+e_i,\qquad u_i\in I_i,\quad e_i\in\prod_{j\neq i}I_j $$
   と書ける。$e_i\equiv1\pmod{I_i}$ であり、$j\neq i$ について $e_i\in\prod_{k\neq i}I_k\subset I_j$ なので $e_i\equiv0\pmod{I_j}$ である。任意の $(a_1+I_1,\dots,a_n+I_n)$ に対し $a:=a_1e_1+\cdots+a_ne_n$ とおくと、各 $i$ で $a\equiv a_i\pmod{I_i}$ であり、$\rho(a)=(a_1+I_1,\dots,a_n+I_n)$ である。
3. $n$ に関する帰納法で $I_1\cap\cdots\cap I_n=I_1\cdots I_n$ を示す。$n=1$ は明らかである。$n\geq2$ とし、$J:=I_1\cdots I_{n-1}$ とおくと、帰納法の仮定により $J=I_1\cap\cdots\cap I_{n-1}$ である。prop-coprime-ideals-basic の 2 を繰り返して $I_n+J=A$ であり、同じ命題の 4 により $JI_n=J\cap I_n$ である。これは $I_1\cdots I_n=I_1\cap\cdots\cap I_n$ にほかならない。最後に 1 と 2 から、$\rho$ は全射で核が $I_1\cdots I_n$ なので、環 の記事の定理「環の準同型定理」により同型が得られる。

thm-coprime-integers により $(m_i)+(m_j)=\mathbb{Z}$（$i\neq j$）なので、thm-coprime-crt を $A=\mathbb{Z}$、$I_i=(m_i)$ に適用する。$(m_1)\cdots(m_n)=(M)$ である（イデアル の記事の例「整数環でのイデアルの演算」の $(m)(n)=(mn)$ を繰り返す）ので 1 を得る。2 の存在は $\rho$ の全射性、$M$ を法とする一意性は $\ker\rho=(M)$ による。

cor-coprime-crt-integers の環同型 $\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ は単元群の同型を引き起こす。環の直積の単元群は単元群の直積である（環 の記事の例「環の直積」）から、
$$ (\mathbb{Z}/mn\mathbb{Z})^\times\cong(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^\times\times(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times $$
であり、位数を比べて $\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)$ を得る。