Generic条件(Lorentz幾何)

2. $\Leftrightarrow$ (3) は $E_v$ が対称なので極化恒等式 $2E_v(w,w')=E_v(w+w',w+w')-E_v(w,w)-E_v(w',w')$ による。
   $v$ が非光的な場合。$g(v,v)\neq0$ なので、$T_v$ の成分表示に $x=w=v$ を代入すると、$E_v(v,\cdot)=E_v(\cdot,v)=0$ により
   $$ 4\,T_v(v,y,z,v)=g(v,v)^2E_v(y,z) $$
   となる。よって $T_v=0$ ならば $E_v=0$ であり、逆に $E_v=0$ ならば成分表示から $T_v=0$ である。これで (1) $\Leftrightarrow$ (4) が従う。$T_pM=\mathbb{R}v\oplus v^\perp$ であり $E_v(v,\cdot)=E_v(\cdot,v)=0$ なので、(4) $\Leftrightarrow$ (2) である。(4) $\Rightarrow$ (5) は断面曲率の定義から明らかである。(5) $\Rightarrow$ (3)：$w\in v^\perp$ を非光的とすると $\sigma=\mathrm{span}(v,w)$ は $g(v,v)g(w,w)-0\neq0$ より非退化で、$K(\sigma)=E_v(w,w)/(g(v,v)g(w,w))=0$ だから $E_v(w,w)=0$ である。$v^\perp$ の非光的ベクトル全体は $v^\perp$ で稠密であり（$v^\perp$ 上の $g$ は非退化で、光的ベクトルの集合は $\{w\mid g(w,w)=0\}$ という零でない2次形式の零点集合なので内点を持たない）、$w\mapsto E_v(w,w)$ は連続なので、すべての $w\in v^\perp$ で $E_v(w,w)=0$ である。
   $v$ が光的な場合。$g$ は非退化なので $g(v,\ell)=-1$ となる $\ell\in T_pM$ がとれ、$T_pM=v^\perp\oplus\mathbb{R}\ell$ である。$\beta:=E_v(\ell,\cdot)$、$c:=E_v(\ell,\ell)$ とおく。
3. $\Rightarrow$ (2)：成分表示に $x=w=\ell$ を代入すると
   $$ 4\,T_v(\ell,y,z,\ell)=E_v(y,z)+g(v,y)\beta(z)+\beta(y)g(v,z)+c\,g(v,y)g(v,z) $$
   である。$T_v=0$ なら、$y,z\in v^\perp$ に対し右辺の後ろ3項が消えるので $E_v(y,z)=0$ である。
4. $\Rightarrow$ (1)：$\alpha:=-\beta-\frac c2\,g(v,\cdot)$ とおき、$E_v=g(v,\cdot)\otimes\alpha+\alpha\otimes g(v,\cdot)$、すなわち任意の $x,y$ に対し $E_v(x,y)=g(v,x)\alpha(y)+\alpha(x)g(v,y)$ を示す。$x=w+s\ell$、$y=w'+s'\ell$（$w,w'\in v^\perp$、$s,s'\in\mathbb{R}$）と書くと $g(v,x)=-s$、$g(v,y)=-s'$ であり、(2) と $E_v$ の対称性により
   $$ E_v(x,y)=E_v(w,w')+s'\beta(w)+s\beta(w')+ss'c=s'\beta(w)+s\beta(w')+ss'c $$
   である。一方 $\beta(\ell)=c$ と $\alpha(x)=-\beta(w)-sc+\frac c2s=-\beta(w)-\frac c2s$、$\alpha(y)=-\beta(w')-\frac c2s'$ により
   $$ g(v,x)\alpha(y)+\alpha(x)g(v,y)=s\beta(w')+\frac c2ss'+s'\beta(w)+\frac c2ss' $$
   となり両者は一致する。したがって添字で $(E_v)_{be}=v_b\alpha_e+\alpha_bv_e$ であり、
   $$ (T_v)_{abef}=v_{[a}(E_v)_{b][e}v_{f]}=v_{[a}v_{b]}\alpha_{[e}v_{f]}+v_{[a}\alpha_{b]}v_{[e}v_{f]}=0 $$
   （$v_{[a}v_{b]}=0$）である。$\square$

対偶を示す。$e_0,\dots,e_{n-1}$ を $T_pM$ の正規直交基底、$\epsilon_\mu:=g(e_\mu,e_\mu)\in\{\pm1\}$ とすると、リッチテンソルの定義により
$$ \mathrm{Ric}(v,v)=\sum_{\mu}\epsilon_\mu\,g(R(e_\mu,v)v,e_\mu)=\sum_\mu\epsilon_\mu E_v(e_\mu,e_\mu) $$
である。$v$ が generic でないとする。$v$ が非光的なら prop-generic-condition-nonnull (4) により $E_v=0$ なので $\mathrm{Ric}(v,v)=0$ である。$v$ が光的なら、prf-generic-condition-nonnull で示したように $E_v(x,y)=g(v,x)\alpha(y)+\alpha(x)g(v,y)$ となる線形形式 $\alpha$ がある。$x=v$ とおくと $0=E_v(v,y)=\alpha(v)g(v,y)$ が任意の $y$ について成り立ち、$g(v,\cdot)\neq0$ なので $\alpha(v)=0$ である。よって $v=\sum_\mu\epsilon_\mu g(v,e_\mu)e_\mu$ を用いて
$$ \mathrm{Ric}(v,v)=\sum_\mu\epsilon_\mu\cdot2g(v,e_\mu)\alpha(e_\mu)=2\alpha(v)=0 $$
である。$\square$

$v$ を光的、$w,w'\in v^\perp$ とすると
$$ E_v(w,w')=g(R(w,v)v,w')=\kappa\bigl(g(v,v)g(w,w')-g(w,v)g(v,w')\bigr)=0 $$
である（$g(v,v)=0$、$g(w,v)=0$）。よって prop-generic-condition-nonnull (2) により $v$ は generic でなく、prop-generic-condition-ricci の対偶により $\mathrm{Ric}(v,v)=0$ である。2次元の場合に $R_p=\kappa R_0$ が成り立つことは rem-generic-condition-two-dimensional による。定曲率時空では定義によりすべての点で $R=\kappa R_0$ である。$\square$