有限自由分解

$n$ についての帰納法で示す。$n=0$ では $P_0\cong M\cong Q_0$ である。
$n\ge1$ とし、$K:=\ker(P_0\to M)$、$K':=\ker(Q_0\to M)$ とおく。$P_0,Q_0$ は射影的なので、Schanuel の補題から同型 $\theta\colon K\oplus Q_0\xrightarrow{\ \sim\ }K'\oplus P_0$ がある。完全列 $0\to P_n\to\cdots\to P_1\to K\to0$ と恒等写像 $Q_0\to Q_0$ の直和をとり、最後の写像に $\theta$ を合成すると、完全列
$$ 0\to P_n\to\cdots\to P_2\to P_1\oplus Q_0\to K'\oplus P_0\to0 $$
を得る。同様に $0\to Q_n\to\cdots\to Q_2\to Q_1\oplus P_0\to K'\oplus P_0\to0$ も完全である。これらは同じ加群 $K'\oplus P_0$ の長さ $n-1$ の列で、$P'_j:=P_{j+1}$（$j\ge1$）、$P'_0:=P_1\oplus Q_0$、$Q'_j:=Q_{j+1}$（$j\ge1$）、$Q'_0:=Q_1\oplus P_0$ とおくと、$j< n-1$ について $P'_j,Q'_j$ は射影的である（$n\ge2$ なら $P_1,Q_1$ が射影的なので $P'_0,Q'_0$ も射影的。$n=1$ では長さ $0$ なので条件はない）。帰納法の仮定から
$$ P'_{n-1}\oplus Q'_{n-2}\oplus P'_{n-3}\oplus\cdots\cong Q'_{n-1}\oplus P'_{n-2}\oplus Q'_{n-3}\oplus\cdots $$
である。左辺は $P_n\oplus Q_{n-1}\oplus P_{n-2}\oplus\cdots$ で、添字 $0$ の項 $P'_0=P_1\oplus Q_0$ または $Q'_0=Q_1\oplus P_0$ が、交互の並びの最後の 2 項にちょうどあたる。右辺も同様である。$\square$

1：2 つの分解 $F_\bullet$、$G_\bullet$ の長さを $0$ の項を足して $n$ にそろえる。自由加群は射影的なので、前の補題から $F_n\oplus G_{n-1}\oplus F_{n-2}\oplus\cdots\cong G_n\oplus F_{n-1}\oplus G_{n-2}\oplus\cdots$ であり、両辺は有限階数の自由加群なので階数が等しい。移項すると $\sum_i(-1)^{n-i}(\operatorname{rank}F_i-\operatorname{rank}G_i)=0$、すなわち 2 つの交代和は等しい。
2：局所化は完全列を保ち（局所化 の命題「局所化の完全性」）、$(A^r)_{\mathfrak p}\cong A_{\mathfrak p}^r$ なので、分解を局所化すると $M_{\mathfrak p}$ の有限自由分解で各項の階数が同じものが得られる。$A_{\mathfrak p}$ は零環でない（$1/1\neq0$）。
3：与えられた完全列は、$\varepsilon\colon F_0\to0$ とみれば零加群 $0$ の有限自由分解である。零加群には $0$ の項だけの分解もあり、その交代和は $0$ なので、1 から $\sum_i(-1)^i\operatorname{rank}F_i=\chi(0)=0$ である。$\square$

有限自由分解 $0\to F_n\to\cdots\to F_0\to M\to0$ の長さ $n$ についての帰納法で示す。$n=0$ なら $M\cong F_0$ である。
$n=1$ の場合。$0\to F_1\to F_0\to M\to0$ とする。$M$ は有限生成なので、$M/\mathfrak mM$ は有限次元の $A/\mathfrak m$ ベクトル空間である。その基底を $M$ の元 $u_1,\dots,u_r$ に持ち上げ、$L:=A^r\to M$、$e_i\mapsto u_i$ とおく。これは Nakayamaの補題 により全射である。核を $K$ とする。$\sum_ia_iu_i=0$ なら、$M/\mathfrak mM$ で $\sum_i\bar a_i\bar u_i=0$ なので全ての $a_i\in\mathfrak m$、すなわち $K\subset\mathfrak mL$ である。
$0\to K\to L\to M\to0$ と $0\to F_1\to F_0\to M\to0$ に Schanuel の補題を当てはめると $K\oplus F_0\cong F_1\oplus L$ であり、$K$ は有限階数の自由加群の直和因子なので有限生成射影加群である。局所環上の有限生成射影加群は有限階数の自由加群なので（射影加群 の定理「可換局所環上の有限生成射影加群」）、$K$ は基底 $k_1,\dots,k_s$ をもつ。各 $k_j\in\mathfrak mL$ の $L=A^r$ での座標は $\mathfrak m$ の元であり、全部で $rs$ 個の元からなる有限集合 $E\subset\mathfrak m$ ができる。仮定から $0$ でない $y$ で $yE=0$ となるものがあり、$yk_j=0$（全ての $j$）となる。$s\ge1$ なら $yk_1=0$ は基底の一次独立性に反するので、$s=0$、すなわち $K=0$ で、$M\cong L$ は自由である。
$n\ge2$ の場合。$N:=\operatorname{coker}(F_n\to F_{n-1})$ とおくと $0\to F_n\to F_{n-1}\to N\to0$ は長さ $1$ の有限自由分解なので、$N$ は有限階数の自由加群である。完全性から $N$ は $F_{n-1}\to F_{n-2}$ の像と同型で、$0\to N\to F_{n-2}\to\cdots\to F_0\to M\to0$ は長さ $n-1$ の有限自由分解になる。帰納法の仮定から $M$ は自由である。$\square$

$A$ の極小素イデアル $\mathfrak p$ をとる。存在は次のとおり。$A$ は零環でないので極大イデアル $\mathfrak q$ がある。$\mathfrak q$ に含まれる素イデアル全体を逆包含で順序づけると、鎖の交わりは素イデアルである（$ab$ が交わりに入り $a\notin\mathfrak p_0$ となる鎖の元 $\mathfrak p_0$ があれば、$\mathfrak p_0$ に含まれる鎖の元は $a$ を含まないので $b$ を含み、$\mathfrak p_0$ を含む元も $b\in\mathfrak p_0$ を含む）ので、Zorn の補題から極小元がある。
prop-ffr-euler-basic の 2 より $\chi_A(M)=\chi_{A_{\mathfrak p}}(M_{\mathfrak p})$ である。$A_{\mathfrak p}$ の素イデアルは $\mathfrak p$ に含まれる素イデアルに対応するので（局所化 の定理「素イデアルの対応」）、$\mathfrak pA_{\mathfrak p}$ だけである。従って $A_{\mathfrak p}$ は局所環で、極大イデアル $\mathfrak pA_{\mathfrak p}$ は素イデアル全体の交わり、すなわち 冪零根基 に等しく、その元はすべて冪零である。
$A_{\mathfrak p}$ が前の定理の仮定を満たすことを、有限集合 $\{x_1,\dots,x_r\}\subset\mathfrak pA_{\mathfrak p}$ の個数 $r$ についての帰納法で示す。$r=0$ なら $y=1$（$A_{\mathfrak p}\neq0$）。$x_1,\dots,x_{r-1}$ を殺す $z\neq0$ があるとする。$x_r^N=0$ となる $N$ があるので、$zx_r^t\neq0$ かつ $zx_r^{t+1}=0$ となる $t\ge0$ がある（$zx_r^0=z\neq0$）。$y:=zx_r^t$ は $0$ でなく、$yx_r=0$、$i< r$ について $yx_i=x_r^t(zx_i)=0$ を満たす。
前の定理から $M_{\mathfrak p}$ は有限階数の自由 $A_{\mathfrak p}$ 加群で、$\chi(M)=\chi(M_{\mathfrak p})=\operatorname{rank}M_{\mathfrak p}\ge0$ である。$\square$

まず、$\mathfrak p\in\operatorname{Ass}(A)$ について $M_{\mathfrak p}$ は階数 $\chi(M)$ の自由 $A_{\mathfrak p}$ 加群であることを示す。$\mathfrak p=\operatorname{Ann}(x)$（$x\in A$）とする。$x/1\in A_{\mathfrak p}$ は $0$ でない。$sx=0$ となる $s\notin\mathfrak p$ があれば $s\in\operatorname{Ann}(x)=\mathfrak p$ となって矛盾するからである。$\mathfrak p$ は有限生成なので、$\mathfrak pA_{\mathfrak p}$ の任意の有限部分集合は $x/1$ に殺される。従って局所環 $A_{\mathfrak p}$ は thm-ffr-local-free の仮定を満たし、$M_{\mathfrak p}$ は自由で、その階数は prop-ffr-euler-basic の 2 から $\chi(M)$ に等しい。
1 ⇒ 2：対偶を示す。thm-ffr-euler-nonnegative から $\chi(M)\ge0$ なので、$\chi(M)>0$ と仮定して $I:=\operatorname{Ann}(M)=0$ を示す。各 $\mathfrak p\in\operatorname{Ass}(A)$ で $M_{\mathfrak p}$ は階数正の自由加群なので忠実であり、$I_{\mathfrak p}=\operatorname{Ann}(M_{\mathfrak p})=0$ である。$I$ は有限生成なので、その生成元をすべて殺す $s\notin\mathfrak p$ があり（生成元ごとの分母の積をとる）、$J:=\operatorname{Ann}(I)$ は $\mathfrak p$ に含まれない。これが有限個の $\mathfrak p\in\operatorname{Ass}(A)$ 全てについて成り立つので、素イデアル回避から $J$ は零因子でない元 $z$ を含む。$zI=0$ と $z$ の正則性から $I=0$ である。
2 ⇒ 3：$\chi(M)=0$ なら、各 $\mathfrak p\in\operatorname{Ass}(A)$ で $M_{\mathfrak p}$ は階数 $0$、すなわち $M_{\mathfrak p}=0$ なので、$\operatorname{Ann}(M)\not\subset\mathfrak p$ である。素イデアル回避から $\operatorname{Ann}(M)$ は $\bigcup_{\operatorname{Ass}(A)}\mathfrak p$ に入らない元、すなわち $A$ 正則な元を含む。
3 ⇒ 1：$A$ 正則な元は $0$ でない。$\square$