Nevanlinnaの第一主要定理

$g:=f-a$ は恒等的に $0$ でない。(J) を $g$ に当て、左辺を $m_g(\infty,r)-m_g(0,r)$ と書き直す。$m_g(0,r)=m_f(a,r)$ であり、$g$ の零点は $f$ の $a$ 点と、$g$ の極は $f$ の極と重複度込みで一致するので、$N_g(0,r)=N_f(a,r)$、$N_g(\infty,r)=N_f(\infty,r)$ である。よって
$$ m_g(\infty,r)+N_f(\infty,r)=m_f(a,r)+N_f(a,r)+\log\lvert c_{f-a}\rvert \qquad(2) $$
である。$a=0$ なら $g=f$ で、左辺は $T_f(r)$ そのものなので最後の主張を得る。
一般の $a$ では、$\lvert f\rvert\le\lvert f-a\rvert+\lvert a\rvert$ と $\lvert f-a\rvert\le\lvert f\rvert+\lvert a\rvert$ に (1) の後者を当てると、円周上の各点で
$$ \bigl\lvert\log^+\lvert f-a\rvert-\log^+\lvert f\rvert\bigr\rvert\le\log^+\lvert a\rvert+\log2 $$
であり、平均をとって $\lvert m_g(\infty,r)-m_f(\infty,r)\rvert\le\log^+\lvert a\rvert+\log2$ である。(2) の左辺の $m_g(\infty,r)$ を $m_f(\infty,r)$ に替えると $T_f(r)$ になるので、主張を得る。$\square$

1 は thm-nfm-main と $m_f(a,r)\ge0$ による。2：極でない点 $z_0$ をとり $a:=f(z_0)$ とすると $\nu_{z_0}(f,a)\ge1$ なので、$r>\max(\lvert z_0\rvert,1)$ で $N_f(a,r)\ge\log r-\log^+\lvert z_0\rvert$ である（$z_0=0$ なら $\nu_0\log r\ge\log r$）。thm-nfm-main から $T_f(r)\ge N_f(a,r)+\log\lvert c_{f-a}\rvert-\log^+\lvert a\rvert-\log2$ で、右辺は $\log r$ から定数を引いたもの以上である。$1\le r\le\max(\lvert z_0\rvert,1)$ では $T_f(r)\ge0$ なので、定数を大きくとれば $r\ge1$ の全体で成り立つ。$\square$

1．極の位数について $\nu_z(f_1f_2,\infty)\le\nu_z(f_1,\infty)+\nu_z(f_2,\infty)$、$\nu_z(f_1+f_2,\infty)\le\max_i\nu_z(f_i,\infty)$ なので $N_{f_1f_2}(\infty,r)$、$N_{f_1+f_2}(\infty,r)$ はどちらも $N_{f_1}(\infty,r)+N_{f_2}(\infty,r)$ 以下である（$r\ge1$ なので、重み $\log(r/\lvert z\rvert)$（$0<\lvert z\rvert< r$）と $\log r$（$z=0$）はどれも $0$ 以上）。近接関数は (1) を円周上で平均すればよい。
2．$\log^+(u^n)=n\log^+u$、$\nu_z(f^n,\infty)=n\,\nu_z(f,\infty)$ による。
3．$T_{1/f}(r)=m_f(0,r)+N_f(0,r)$ なので、thm-nfm-main の $a=0$ の式である。
4．$\gamma=0$ なら $g=\frac\alpha\delta f+\frac\beta\delta$ で、1 を $g$ と $f=\frac\delta\alpha\bigl(g-\frac\beta\delta\bigr)$ の両方に当てると（定数 $b$ の特性関数は $\log^+\lvert b\rvert$）、$r\ge1$ で $\lvert T_g-T_f\rvert$ は有界である。$\gamma\ne0$ なら $g=\frac\alpha\gamma-\frac{\alpha\delta-\beta\gamma}{\gamma(\gamma f+\delta)}$ なので、$g$ は $f$ に 1 次式・逆数・1 次式を順に施したものである。逆数については 3 を使う（$f$ が定数でないので途中の関数は恒等的に $0$ でない）。$\square$

1 次式の平均．Jensenの公式 の補題「1 次式の対数の円周平均」（半径 $1$ の場合）により、すべての $w\in\mathbb C$ について
$$ \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\log\lvert w-e^{i\varphi}\rvert\,d\varphi=\log\max(1,\lvert w\rvert)=\log^+\lvert w\rvert \qquad(3) $$
である。
各 $\varphi$ での Jensen の公式．$f$ は定数でないので $f-e^{i\varphi}$ は恒等的に $0$ でない。$e^{i\varphi}\ne f(0)$ なら（そうでない $\varphi$ は $[0,2\pi)$ に高々 1 つ）、$c_{f-e^{i\varphi}}=f(0)-e^{i\varphi}$ なので、(J) から
$$ \frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\log\lvert f(re^{i\theta})-e^{i\varphi}\rvert\,d\theta=\log\lvert f(0)-e^{i\varphi}\rvert+N_f(e^{i\varphi},r)-N_f(\infty,r) $$
である（$N_{f-e^{i\varphi}}(\infty,r)=N_f(\infty,r)$）。
$\varphi$ について平均する．左辺の被積分関数 $h(\theta,\varphi):=\log\lvert f(re^{i\theta})-e^{i\varphi}\rvert$ は $[0,2\pi]^2$ で可積分である。実際、$w=f(re^{i\theta})$（$\theta$ は $f$ の極でない有限個を除く）について $\log^+\lvert w-e^{i\varphi}\rvert\le\log^+\lvert w\rvert+\log2$ であり、$w=\rho e^{i\psi}$ とすると $e^{i\varphi}$ から直線 $\mathbb Re^{i\psi}$ までの距離は $\lvert\sin(\varphi-\psi)\rvert$ なので $\log^+\frac1{\lvert w-e^{i\varphi}\rvert}\le\log^+\frac1{\lvert\sin(\varphi-\psi)\rvert}$ で、この右辺の $\varphi$ についての積分は $\psi$ によらない有限値である。よって Fubiniの定理 により積分の順序を替えてよい。(3) により左辺の $\varphi$ についての平均は $\frac1{2\pi}\int\log^+\lvert f(re^{i\theta})\rvert\,d\theta=m_f(\infty,r)$、右辺の第 1 項の平均は $\log^+\lvert f(0)\rvert$ である。したがって
$$ m_f(\infty,r)=\log^+\lvert f(0)\rvert+\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}N_f(e^{i\varphi},r)\,d\varphi-N_f(\infty,r) $$
で、$N_f(\infty,r)$ を移項すれば主張を得る。$\square$

まず $f(0)\ne\infty$ とする。$a\in\mathbb C$ を固定すると、$t=\log r$ について
$$ N_f(a,e^t)=\sum_{z\ne0}\nu_z(f,a)\max\bigl(t-\log\lvert z\rvert,0\bigr)+\nu_0(f,a)\,t $$
である。各項は $t$ の単調非減少な凸関数で、$t$ が有界な範囲では正の項は有限個なので、和も単調非減少な凸関数である。単調非減少な凸関数を $\varphi$ について平均したもの（thm-nfm-cartan の積分で、各 $t$ で有限）も単調非減少な凸関数であり、定数 $\log^+\lvert f(0)\rvert$ を足しても変わらない。
$f(0)=\infty$ なら、$1/f$ は $0$ で $0$ をとり、prop-nfm-algebra の 3 により $T_f(r)=T_{1/f}(r)+\log\lvert c_f\rvert$ である。前段を $1/f$ に当てればよい。$\square$

1．$p:=\deg P$、$q:=\deg Q$ とする。$f$ の極は $Q$ の零点で、重複度の合計は $q$ である。$r$ がすべての極の絶対値より大きければ、$N_f(\infty,r)=q\log r-\sum_{b}\nu_b(f,\infty)\log\lvert b\rvert$（$b\ne0$ の極にわたる和）で、$q\log r+O(1)$ である。$\lvert z\rvert\to\infty$ で $f(z)=cz^{p-q}(1+o(1))$（$c\ne0$）なので、$p>q$ なら円周上で一様に $\log^+\lvert f\rvert=(p-q)\log r+O(1)$、$p\le q$ なら $\lvert f\rvert$ は有界で $m_f(\infty,r)=O(1)$ である。合わせて $T_f(r)=(q+\max(p-q,0))\log r+O(1)=d\log r+O(1)$ である。
2．極は有限個．$r\ge r_0\ (\ge1)$ で $T_f(r)\le C\log r$ とする。$\rho\ge1$ をとり、$\lvert z\rvert<\rho$ の極の位数の合計を $k$ とする。$r>\rho$ では各極の重みは $\log(r/\lvert z\rvert)\ge\log(r/\rho)$（$z=0$ なら $\log r\ge\log(r/\rho)$）なので、$k\log(r/\rho)\le N_f(\infty,r)\le T_f(r)\le C\log r$ である。$r\to\infty$ として $k\le C$ である。$\rho$ は任意なので、極の位数の合計は $C$ 以下で、極は有限個である。
整関数に直す．極を重複度込みで根にもつ多項式 $Q_0$ をとり、$g:=Q_0f$ とおくと、$g$ は整関数で恒等的に $0$ でない。prop-nfm-algebra の 1 と 1 の場合（多項式）から $T_g(r)\le T_{Q_0}(r)+T_f(r)\le C'\log r$（$r\ge r_0$）である。
最大値を特性関数で抑える．$r\ge\max(r_0,1)$ とし、$g$ の零点が円周上にない $R\in[2r,2r+1]$ をとる（零点は可算個）。$\lvert z\rvert=r$、$g(z)\ne0$ について、Poisson–Jensen の公式（Jensenの公式 の注意「Poisson–Jensen の公式」）を半径 $R$ で使う。零点 $a$（$\lvert a\rvert< R$）の項は $\lvert R^2-\bar az\rvert^2-R^2\lvert z-a\rvert^2=(R^2-\lvert a\rvert^2)(R^2-\lvert z\rvert^2)>0$ から $-\log\bigl\lvert\frac{R^2-\bar az}{R(z-a)}\bigr\rvert<0$ であり、Poisson 核 $\operatorname{Re}\frac{Re^{i\theta}+z}{Re^{i\theta}-z}=\frac{R^2-r^2}{\lvert Re^{i\theta}-z\rvert^2}$ は $0$ 以上 $\frac{R+r}{R-r}\le4$ 以下である。よって
$$ \log\lvert g(z)\rvert\le\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{R^2-r^2}{\lvert Re^{i\theta}-z\rvert^2}\log^+\lvert g(Re^{i\theta})\rvert\,d\theta\le4\,m_g(\infty,R)\le4\,T_g(2r+1) $$
である（最後に cor-nfm-convex の単調性を使った）。したがって $\lvert z\rvert=r$ で $\lvert g(z)\rvert\le(2r+1)^{4C'}\le(3r)^{4C'}$ である。
多項式であること．$g(z)=\sum_na_nz^n$ とすると、Taylor 係数の Cauchy の評価（Cauchyの積分公式）により $\lvert a_n\rvert\le(3r)^{4C'}r^{-n}$ で、$n>4C'$ なら $r\to\infty$ として $a_n=0$ である。よって $g$ は多項式で、$f=g/Q_0$ は有理関数である。
3．$\phi(t):=T_f(e^t)$ は凸なので（cor-nfm-convex）、右微分係数 $\phi'_+(t)$ は単調非減少である。$\phi'_+$ が有界なら $\phi(t)\le\phi(0)+Kt$（$t\ge0$）となり、$T_f(r)=O(\log r)$ と 2 から $f$ は有理関数である。よって $f$ が有理関数でなければ $\phi'_+(t)\to\infty$ であり、$\phi(t)/t\to\infty$ である。$\square$