Arhangel’skiiの不等式

仮定から $\chi(X)=L(X)=\aleph_0$ なので、thm-arhangelskii-inequality により $|X|\le2^{\aleph_0\cdot\aleph_0}=2^{\aleph_0}$ である。コンパクト空間は Lindelöf である。$\square$

$\mathcal{V}\cup\{X\setminus F\}$ は $X$ の開被覆なので、濃度高々 $\kappa$ の部分被覆 $\mathcal{U}$ をもつ。$\mathcal{V}':=\mathcal{U}\setminus\{X\setminus F\}$ とおくと $\mathcal{V}'\subset\mathcal{V}$、$|\mathcal{V}'|\le\kappa$ であり、$F$ の点は $X\setminus F$ に属さないので $\mathcal{U}$ の他の成員、すなわち $\mathcal{V}'$ の成員に属する。$\square$

$[\kappa]^{<\omega}$ で $\kappa$ の有限部分集合全体を表す。これは包含関係により有向集合（有向集合）であり、$|[\kappa]^{<\omega}|=\kappa$ である（Jec03 Chapter 3）。
$y\in\overline{A}$ とする。$y$ の濃度高々 $\kappa$ の開局所基をとり、それを（必要なら繰り返しを許して）$\{B_{y,\alpha}\mid\alpha<\kappa\}$ と番号づける。$s\in[\kappa]^{<\omega}$ に対し $B_{y,s}:=\bigcap_{\alpha\in s}B_{y,\alpha}$（$s=\emptyset$ のときは $X$）とおくと、$B_{y,s}$ は $y$ の開近傍なので、$y\in\overline{A}$ により $A\cap B_{y,s}\ne\emptyset$ である。各 $s$ について点 $a_{y,s}\in A\cap B_{y,s}$ を選び、
$$\Phi(y):=(a_{y,s})_{s\in[\kappa]^{<\omega}}\in A^{[\kappa]^{<\omega}}$$
とおく。
ネット $(a_{y,s})_{s\in[\kappa]^{<\omega}}$ は $y$ に収束（収束）する。実際、$y$ の任意の開近傍 $U$ に対し $B_{y,\alpha}\subset U$ となる $\alpha$ があり、$s\supset\{\alpha\}$ なる任意の $s$ について $a_{y,s}\in B_{y,s}\subset B_{y,\alpha}\subset U$ である。
$\Phi$ が単射であることを示す。$\Phi(y)=\Phi(z)$、$y\ne z$ と仮定する。$X$ は Hausdorff なので、交わらない開集合 $U\ni y$、$W\ni z$ がある。同じネット $(a_{y,s})_s=(a_{z,s})_s$ が $y$ と $z$ の両方に収束するので、$s_1$ 以降の項は $U$ に、$s_2$ 以降の項は $W$ に属する。$s:=s_1\cup s_2$ をとると $a_{y,s}\in U\cap W=\emptyset$ となり矛盾する。よって $\Phi$ は単射であり、
$$|\overline{A}|\le|A^{[\kappa]^{<\omega}}|=|A|^{\kappa}$$
である。$|A|\le2^{\kappa}$ のときは $|A|^{\kappa}\le(2^{\kappa})^{\kappa}=2^{\kappa\cdot\kappa}=2^{\kappa}$ である（Jec03 Chapter 3, Chapter 5）。$\square$

$X$ を Hausdorff 空間とし、$\kappa:=\chi(X)L(X)$ とおく。$X=\emptyset$ なら示すことはないので $X\ne\emptyset$ とする。各 $x\in X$ について濃度高々 $\kappa$ の開局所基 $\mathcal{B}_x$ を1つ固定する。$\chi(X)\le\kappa$ なので、lem-arhangelskii-closureの評価 $|\overline A|\le|A|^{\chi(X)}\le|A|^{\kappa}$ はそのまま使える。用いる基数の算術は、無限基数 $\kappa$ について $\kappa\cdot\kappa=\kappa$、$(2^{\kappa})^{\kappa}=2^{\kappa}$、$\kappa^+\le2^{\kappa}$、および後続基数（後続基数）$\kappa^+$ が正則である（正則基数。$\kappa^+$ より小さい順序数（順序数）の、濃度高々 $\kappa$ の集合の上限は $\kappa^+$ より小さい）ことである（Jec03 Chapter 3, Chapter 5）。
閉集合の列の構成。順序数 $\alpha<\kappa^+$ に関する超限再帰（超限再帰）により、$X$ の閉集合 $F_\alpha$ を次の条件を満たすように構成する。

• (a) $\beta\le\alpha$ ならば $F_\beta\subset F_\alpha$。
• (b) $|F_\alpha|\le2^{\kappa}$。
• (c) $\mathcal{W}_\alpha:=\bigcup_{x\in F_\alpha}\mathcal{B}_x$ とおくとき、$\mathcal{V}\subset\mathcal{W}_\alpha$、$|\mathcal{V}|\le\kappa$、$\bigcup\mathcal{V}\ne X$ を満たす任意の族 $\mathcal{V}$ に対し、$F_{\alpha+1}\setminus\bigcup\mathcal{V}\ne\emptyset$。
  $x_0\in X$ をとり $F_0:=\overline{\{x_0\}}$ とおく。lem-arhangelskii-closure により $|F_0|\le2^{\kappa}$ である。
  $F_\alpha$ が構成されたとする。$|\mathcal{W}_\alpha|\le|F_\alpha|\cdot\kappa\le2^{\kappa}$ なので、$\mathcal{W}_\alpha$ の濃度高々 $\kappa$ の部分族は高々 $(2^{\kappa})^{\kappa}=2^{\kappa}$ 個である。そのうち $\bigcup\mathcal{V}\ne X$ を満たすもの全体を $\mathfrak{S}_\alpha$ とし、各 $\mathcal{V}\in\mathfrak{S}_\alpha$ に対し点 $p_{\mathcal{V}}\in X\setminus\bigcup\mathcal{V}$ を選ぶ。
  $$F_{\alpha+1}:=\overline{F_\alpha\cup\{p_{\mathcal{V}}\mid\mathcal{V}\in\mathfrak{S}_\alpha\}}$$
  とおく。閉包をとる前の集合の濃度は高々 $2^{\kappa}+2^{\kappa}=2^{\kappa}$ なので、lem-arhangelskii-closure により $|F_{\alpha+1}|\le2^{\kappa}$ であり、(a)・(c) は構成から明らかである。
  $\alpha$ が極限順序数（極限順序数）のとき、$F_\alpha:=\overline{\bigcup_{\beta<\alpha}F_\beta}$ とおく。$|\alpha|\le\kappa$ なので閉包をとる前の集合の濃度は高々 $\kappa\cdot2^{\kappa}=2^{\kappa}$ であり、再び lem-arhangelskii-closure により $|F_\alpha|\le2^{\kappa}$ である。(a) は明らかである。

$F:=\bigcup_{\alpha<\kappa^+}F_\alpha$ とおく。$|F|\le\kappa^+\cdot2^{\kappa}=2^{\kappa}$ である。
主張 1：$F$ は閉集合である。$y\in\overline{F}$ とする。各 $B\in\mathcal{B}_y$ について $B\cap F\ne\emptyset$ なので点 $f_B\in B\cap F$ を選び、$f_B\in F_{\alpha_B}$ となる $\alpha_B<\kappa^+$ をとる。$\{\alpha_B\mid B\in\mathcal{B}_y\}$ は濃度高々 $\kappa$ なので、$\kappa^+$ の正則性により $\beta:=\sup_B\alpha_B<\kappa^+$ であり、(a) からすべての $f_B$ は $F_\beta$ に属する。$y$ の任意の開近傍はある $B\in\mathcal{B}_y$ を含み、$f_B\in B$ なので、$y\in\overline{\{f_B\mid B\in\mathcal{B}_y\}}\subset\overline{F_\beta}=F_\beta\subset F$ である。
主張 2：$F=X$ である。$y\in X\setminus F$ が存在すると仮定する。$X$ は Hausdorff なので $T_1$ であり（T1空間）、$X\setminus\{y\}$ は開集合である。各 $x\in F$ について $x\in X\setminus\{y\}$ なので、$B_x\in\mathcal{B}_x$ で $B_x\subset X\setminus\{y\}$ となるものを選ぶ。族 $\{B_x\mid x\in F\}$ は閉集合 $F$ を覆うので、lem-arhangelskii-closed-cover により、濃度高々 $\kappa$ の部分集合 $F'\subset F$ で $F\subset\bigcup_{x\in F'}B_x$ となるものがある。各 $x\in F'$ に対し $x\in F_{\alpha_x}$ となる $\alpha_x<\kappa^+$ をとると、$\kappa^+$ の正則性により $\alpha:=\sup_{x\in F'}\alpha_x<\kappa^+$ であり、(a) から $F'\subset F_\alpha$ である。$\mathcal{V}:=\{B_x\mid x\in F'\}$ とおくと、$\mathcal{V}\subset\mathcal{W}_\alpha$、$|\mathcal{V}|\le\kappa$ であり、$y\notin\bigcup\mathcal{V}$ なので $\bigcup\mathcal{V}\ne X$ である。よって (c) により $F_{\alpha+1}\setminus\bigcup\mathcal{V}\ne\emptyset$ である。しかし $F_{\alpha+1}\subset F\subset\bigcup\mathcal{V}$ なので矛盾する。
以上により $X=F$ であり、$|X|=|F|\le2^{\kappa}=2^{\chi(X)L(X)}$ である。$\square$

$\chi(X)\le w(X)$ である（開基のうち $x$ を含む成員全体は $x$ の開局所基である）。また $L(X)\le w(X)$ である。実際、$\mathcal{B}$ を濃度 $w(X)$ の開基、$\mathcal{U}$ を開被覆とし、$\mathcal{B}':=\{B\in\mathcal{B}\mid B\subset U\text{ となる }U\in\mathcal{U}\text{ が存在する}\}$ とおいて各 $B\in\mathcal{B}'$ に $B\subset U_B$ なる $U_B\in\mathcal{U}$ を選ぶと、$\{U_B\mid B\in\mathcal{B}'\}$ は濃度高々 $w(X)$ の部分被覆である（$x\in X$ に対し $x\in U\in\mathcal{U}$ をとると $x\in B\subset U$ なる $B\in\mathcal{B}$ があり、$x\in U_B$）。よって $\chi(X)L(X)\le w(X)$ であり、thm-arhangelskii-inequality から従う。$\square$