Jacobi多様体

同義語：ヤコビ多様体Jacobian variety

概要

前提知識: リーマン面, 因子, Picard群, 複素トーラス, Riemann–Rochの定理

何を捉える概念か

コンパクトなリーマン面 $X$ の上で、次数 $0$ の因子 $D$ が与えられたとき、$D$ はある有理型関数の因子（主因子）になっているか。$D$ を主因子で割った類の群 $\operatorname{Pic}^0(X)=\operatorname{Div}^0(X)/\operatorname{Prin}(X)$ は、この問いの答えを集めたものである。Abel は、この判定が正則 1 形式の積分によって与えられることを発見した：$D=\sum_i(P_i-Q_i)$ が主因子であることは、ある閉曲線 $\gamma$ があって、すべての正則 1 形式 $\omega$ について $\sum_i\int_{Q_i}^{P_i}\omega=\int_\gamma\omega$ となること（積分の値の組が「周期」を法として $0$ になること）と同値である。周期の全体は $g$ 次元の複素ベクトル空間の格子をなし、その商の複素トーラスが Jacobi 多様体である。
こうして Jacobi 多様体は、代数的には次数 $0$ の因子類の群 $\operatorname{Pic}^0(X)$ を、解析的には周期の格子による商 $\mathbb{C}^g/\Lambda$ を表し、両者を Abel–Jacobi の定理で同一視する。曲線 $X$ は、種数 $1$ 以上なら Abel–Jacobi 写像によって自分の Jacobi 多様体の中へ単射に写され、曲線の因子の理論は $g$ 次元の可換群多様体（アーベル多様体）の幾何に置き換わる。種数 $1$ では Jacobi 多様体は曲線自身であり、楕円曲線の群構造の起源になっている。

解析的な定義

この節では $X$ を種数 $g\ge1$ のコンパクトなリーマン面とし、$\Omega(X)$ を $X$ 上の正則 1 形式の空間とする。Riemann–Rochの定理の系「Riemann–Rochの定理の帰結」により $\dim_{\mathbb{C}}\Omega(X)=g$ である。
正則 1 形式 $\omega$ は局所的に $f(z)\,dz$（$f$ は正則）と書け、$d\omega=\frac{\partial f}{\partial\bar z}\,d\bar z\wedge dz=0$ なので閉形式である。したがって区分的に滑らかな道 $\gamma$ に沿った積分 $\int_\gamma\omega$ は、端点を固定したホモトピーで変わらない。閉曲線 $\gamma$ について、写像 $\omega\mapsto\int_\gamma\omega$ は双対空間 $\Omega(X)^\vee$ の元を与える。

周期格子と Jacobi 多様体

閉曲線 $\gamma$ に $\bigl(\omega\mapsto\int_\gamma\omega\bigr)\in\Omega(X)^\vee$ を対応させた元の全体を
$$ \Lambda_X:=\Bigl\{\Bigl(\omega\mapsto\int_\gamma\omega\Bigr)\ \Bigm|\ \gamma\ \text{は}\ X\ \text{の閉曲線}\Bigr\}\subset\Omega(X)^\vee $$
とおき、周期格子という。$\Lambda_X$ は $\Omega(X)^\vee$ の格子である（下の rem-jacobian-variety-lattice）。$g$ 次元の複素トーラス
$$ \operatorname{Jac}(X):=\Omega(X)^\vee/\Lambda_X $$
を $X$ の Jacobi 多様体（Jacobian variety）という。$g=0$ のときは $\Omega(X)=0$ で、$\operatorname{Jac}(X)=0$ と定める。

$\Omega(X)$ の基底 $\omega_1,\dots,\omega_g$ をとって $\Omega(X)^\vee\cong\mathbb{C}^g$ と同一視すると、$\Lambda_X$ は閉曲線 $\gamma$ についてのベクトル $\bigl(\int_\gamma\omega_1,\dots,\int_\gamma\omega_g\bigr)$ の全体である。

周期格子が格子であること

閉曲線 $\gamma$ の積分は $\gamma$ の定める 1 次ホモロジー類だけで決まり、閉曲線はすべての 1 次ホモロジー類を表す（Hat02 Theorem 2A.1）ので、$\Lambda_X$ は準同型 $H_1(X,\mathbb{Z})\to\Omega(X)^\vee$ の像である。種数 $g$ の閉曲面について $H_1(X,\mathbb{Z})\cong\mathbb{Z}^{2g}$ であり（Hat02 Example 2.36）、この準同型が単射で、像が $\Omega(X)^\vee$ を $\mathbb{R}$ 上張ること、すなわち $\Lambda_X$ が格子であることは Mil06 V §6 に述べられている事実である。この記事ではこの事実を証明せずに用いる。$g=1$ の場合は prop-jacobian-variety-genus-one-analytic で直接確かめる。

Abel–Jacobi 写像

基点 $P_0\in X$ を固定する。$P\in X$ に対し、$P_0$ から $P$ への道 $\gamma$ をとって
$$ u(P):=\Bigl(\omega\mapsto\int_\gamma\omega\Bigr)\bmod\Lambda_X\in\operatorname{Jac}(X) $$
と定める。これを Abel–Jacobi 写像 $u\colon X\to\operatorname{Jac}(X)$ という。因子 $D=\sum n_PP$ に対しては $u(D):=\sum n_Pu(P)$ と線形に拡張する。

Abel–Jacobi 写像は well-defined

$u(P)$ は $P_0$ から $P$ への道の取り方によらない。
$u\colon X\to\operatorname{Jac}(X)$ は正則写像である。
次数 $0$ の因子 $D$ について、$u(D)$ は基点 $P_0$ の取り方によらない。したがって群準同型 $u\colon\operatorname{Div}^0(X)\to\operatorname{Jac}(X)$ が定まる。

1：$\gamma,\gamma'$ を $P_0$ から $P$ への 2 つの道とすると、$\gamma$ に続けて $\gamma'$ を逆にたどった道 $\gamma\cdot\gamma'^{-1}$ は閉曲線であり、
$$ \int_\gamma\omega-\int_{\gamma'}\omega=\int_{\gamma\cdot\gamma'^{-1}}\omega $$
である。右辺を $\omega$ の関数とみたものは定義により $\Lambda_X$ の元なので、2 つの値は $\operatorname{Jac}(X)$ で等しい。
2：$P$ のまわりの座標円板 $U$ をとり、$P_0$ から $P$ への道を 1 つ固定する。$Q\in U$ について、その道に $U$ の中の $P$ から $Q$ への線分をつないで $u(Q)$ を計算すると、1 により
$$ u(Q)=u(P)+\Bigl(\omega\mapsto\int_P^Q\omega\Bigr)\quad(\text{積分は}\ U\ \text{の中}) $$
である。$\omega_j=f_j(z)\,dz$ と書くと $\int_P^Qf_j(z)\,dz$ は $Q$ の座標について正則なので、$u$ は $\operatorname{Jac}(X)$ の座標（複素トーラスの定義の座標）で見て正則である。
3：基点を $P_0'$ に替えた Abel–Jacobi 写像を $u'$ とすると、$P_0'$ から $P_0$ を経て $P$ に至る道を使えば $u'(P)=u(P)-u(P_0')$ である。$D=\sum n_PP$、$\sum n_P=0$ なら
$$ u'(D)=\sum n_Pu(P)-\Bigl(\sum n_P\Bigr)u(P_0')=u(D) $$
である。$u$ が $\operatorname{Div}^0(X)$ 上で加法的なのは定義から明らかである。$\square$

Abel–Jacobiの定理

$X$ を種数 $g\ge1$ のコンパクトなリーマン面とする。準同型 $u\colon\operatorname{Div}^0(X)\to\operatorname{Jac}(X)$ は全射であり、その核は主因子の群 $\operatorname{Prin}(X)$ に等しい。したがって $u$ は群の同型
$$ \operatorname{Pic}^0(X)=\operatorname{Div}^0(X)/\operatorname{Prin}(X)\xrightarrow{\ \sim\ }\operatorname{Jac}(X) $$
を誘導する。

Abel–Jacobiの定理の出典

Mil06 V §7 の Notes は、$[P]-[P_0]\mapsto\int_{P_0}^P\omega$ を線形に拡張した $\operatorname{Div}^0(X)\to\operatorname{Jac}(X)$ が同型 $\operatorname{Div}^0(X)/\operatorname{Prin}(X)\to\operatorname{Jac}(X)$ を誘導するという Abel–Jacobi の定理を述べている。核が $\operatorname{Prin}(X)$ を含むこと（主因子は $u$ で $0$ に写る）が Abel の定理の易しい向き、核が $\operatorname{Prin}(X)$ に含まれることが難しい向き、全射性が Jacobi の逆問題にあたる。この記事では定理全体を引用とし、代数的な対応物のうち Riemann–Rochの定理から直接示せる部分（prop-jacobian-variety-inversion、prop-jacobian-variety-injective）を下で証明する。

代数的な定義

Abel–Jacobi の定理により、$\operatorname{Jac}(X)$ の点は次数 $0$ の因子類と 1 対 1 に対応する。この見方は積分を使わずに述べられるので、任意の体の上の曲線に一般化できる。
以下、$k$ を代数閉体、$X$ を $k$ 上の種数 $g$ の滑らかで連結な射影曲線（代数曲線）とし、記号は Riemann–Rochの定理に合わせる。$\operatorname{Div}^0(X)$ を次数 $0$ の因子の群、$\operatorname{Prin}(X)$ を主因子の群とし、
$$ \operatorname{Pic}^0(X):=\operatorname{Div}^0(X)/\operatorname{Prin}(X) $$
とおく。これはPicard群 $\operatorname{Pic}(X)$ の中の次数 $0$ の可逆層の類の群である。

Jacobi 多様体（代数的な定義）

$X$ の Picard スキーム $\operatorname{Pic}_{X/k}$ の次数 $0$ の部分 $J:=\operatorname{Pic}^0_{X/k}$ を $X$ の Jacobi 多様体という。$J$ は $g$ 次元の滑らかな固有な群スキームで、開かつ閉な部分群スキームであり、その $k$ 点は次数 $0$ の可逆層の同型類、すなわち $\operatorname{Pic}^0(X)$ の元と対応する（Stacks Picard Schemes of Curves, Proposition 6.6・Lemma 6.7）。$J$ は $g$ 次元のアーベル多様体である。点 $P_0\in X$ を固定したとき、
$$ u\colon X\to J,\qquad P\mapsto[P-P_0] $$
を（代数的な）Abel–Jacobi 写像という。

Picardスキームの例「曲線とJacobi多様体」とアーベル多様体の例「曲線のJacobi多様体」も同じ対象を扱っている。$k=\mathbb{C}$ のとき、代数的な Jacobi 多様体の複素点は解析的な $\operatorname{Jac}(X)$ と一致し、$\operatorname{Jac}(X)$ は射影空間に埋め込める（Mil06 V §6 の「Construction of the elliptic curve over Q」の節）。

	解析的な定義	代数的な定義
対象	$\Omega(X)^\vee/\Lambda_X$（$g$ 次元の複素トーラス）	$\operatorname{Pic}^0_{X/k}$（$g$ 次元のアーベル多様体）
点	周期を法とした積分の値	次数 $0$ の因子類
Abel–Jacobi 写像	$P\mapsto\int_{P_0}^P\omega\bmod\Lambda_X$	$P\mapsto[P-P_0]$
両者をつなぐもの	Abel–Jacobi の定理（thm-jacobian-variety-abel-jacobi）

基本的な性質

次の 3 つの命題は、Riemann–Rochの定理だけから代数的に示せる。

Jacobi の逆問題（代数的な形）

$X$ を種数 $g$ の曲線、$P_0$ を点とする。$\operatorname{Pic}^0(X)$ の任意の元は、$g$ 個の点 $P_1,\dots,P_g$（重複を許す）によって $[P_1+\cdots+P_g-gP_0]$ と書ける。すなわち
$$ X^g\to\operatorname{Pic}^0(X),\qquad(P_1,\dots,P_g)\mapsto[P_1+\cdots+P_g-gP_0]=\sum_{i=1}^gu(P_i) $$
は全射である。

$D$ を次数 $0$ の因子とする。$D+gP_0$ は次数 $g$ なので、Riemann の不等式（Riemann–Rochの定理の系「Riemann の不等式」）により $\ell(D+gP_0)\ge g+1-g=1$ である。$0\ne f\in L(D+gP_0)$ をとると $E:=\operatorname{div}(f)+D+gP_0$ は次数 $g$ の有効因子であり、$E=P_1+\cdots+P_g$ と書ける。$D\sim E-gP_0$ なので $[D]=[P_1+\cdots+P_g-gP_0]$ である。$\square$

$k=\mathbb{C}$ でこれを Abel–Jacobi の定理と合わせると、$\operatorname{Jac}(X)$ の任意の点が $\sum_{i=1}^gu(P_i)$ の形に書けること、すなわち Jacobi が提起した「逆問題」（$g$ 個の積分の和の値から上端の点を求める問題）が常に解けることになる。

Abel–Jacobi 写像の単射性

$g\ge1$ なら、Abel–Jacobi 写像 $u\colon X\to\operatorname{Pic}^0(X)$、$P\mapsto[P-P_0]$ は単射である。

$u(P)=u(Q)$ なら $(P-P_0)-(Q-P_0)=P-Q$ は主因子であり、$P\sim Q$ である。Riemann–Rochの定理の定理「射影直線の特徴づけ」により、種数 $1$ 以上の曲線では相異なる 2 点は線形同値でないので、$P=Q$ である。$\square$

直観的には、$P\ne Q$ で $P-Q=\operatorname{div}(h)$ となる $h$ があれば、$h$ は $Q$ にだけ 1 位の極をもつ関数で、$X$ から $\mathbb{P}^1$ への次数 1 の写像、すなわち同型を与えてしまう。種数が $1$ 以上ならこれは起こらない。

種数 0 と種数 1 の Jacobi 多様体

$g=0$ なら $\operatorname{Pic}^0(X)=0$ である。すなわち次数 $0$ の因子はすべて主因子である。
$g=1$ なら、点 $O$ を固定すると $u\colon X\to\operatorname{Pic}^0(X)$、$P\mapsto[P-O]$ は全単射である。

1：$g=0$ なら $X\cong\mathbb{P}^1$ である（Riemann–Rochの定理の定理「射影直線の特徴づけ」）。$\mathbb{P}^1$ のアフィン座標を $z$ とし、次数 $0$ の因子を $D=\sum_in_ia_i+m\infty$（$a_i\in k$ は相異なり、$\sum_in_i+m=0$）と書く。$f:=\prod_i(z-a_i)^{n_i}$ は $a_i$ で位数 $n_i$、$\infty$ で位数 $-\sum_in_i=m$ をもち、他に零点も極ももたないので $\operatorname{div}(f)=D$ である。よって $D$ は主因子である。
2：単射性は prop-jacobian-variety-injective による。全射性は prop-jacobian-variety-inversion で $g=1$ とした場合であり、任意の次数 $0$ の因子 $D$ について $D\sim P-O$ となる点 $P$ がある。$\square$

1 の直接の計算は、Riemann 球面上の有理関数の因子の計算（因子の命題「Riemann球面の因子類群」）と同じである。2 により、種数 1 の曲線 $X$ は点 $O$ を選ぶと $\operatorname{Pic}^0(X)$ と集合として同一視され、この同一視で移した群構造が楕円曲線の群構造である（楕円曲線の定理「群構造と因子類群」、Mil06 I, Proposition 4.10）。つまり種数 1 の曲線はそれ自身の Jacobi 多様体である。
解析的な定義でも同じことが、周期の計算によって直接確かめられる。

複素トーラスの Jacobi 多様体

$\Lambda\subset\mathbb{C}$ を格子、$X=\mathbb{C}/\Lambda$、$\pi\colon\mathbb{C}\to X$ を射影とする。$X$ 上の正則 1 形式の空間は $dz$（$\pi$ で $\mathbb{C}$ 上の $dz$ に引き戻される 1 形式）で張られ、$\Omega(X)^\vee$ を $\mathbb{C}$ と $\alpha\mapsto\alpha(dz)$ で同一視すると $\Lambda_X=\Lambda$ である。さらに Abel–Jacobi 写像は
$$ u\colon X\to\operatorname{Jac}(X)=\mathbb{C}/\Lambda,\qquad u(\pi(z))=z-z_0\bmod\Lambda\quad(P_0=\pi(z_0)) $$
であり、双正則写像である。

正則 1 形式 $\omega$ を $\pi$ で引き戻すと $\mathbb{C}$ 上で $f(z)\,dz$ と書け、平行移動 $z\mapsto z+\lambda$（$\lambda\in\Lambda$）で不変なので $f$ は $\Lambda$ で周期的な整関数である。$f$ は $X$ 上の正則関数を定めるので、複素トーラスの命題「複素トーラス上の正則関数は定数」により定数である。よって $\Omega(X)=\mathbb{C}\,dz$ である。
$X$ の閉曲線 $\gamma$（始点 $\pi(z_1)$）を、$z_1$ から始まる $\mathbb{C}$ の道 $\tilde\gamma$ に持ち上げると、終点は $z_1+\lambda$（$\lambda\in\Lambda$）であり、$\int_\gamma dz=\int_{\tilde\gamma}dz=\lambda$ である。逆に $\lambda\in\Lambda$ について、線分 $[0,\lambda]$ の $\pi$ による像は閉曲線で、その積分は $\lambda$ である。よって $\Lambda_X=\Lambda$ である。
$P=\pi(z)$ について、$z_0$ から $z$ への線分の像を $P_0$ から $P$ への道にとると、$u(P)=\int_{z_0}^zdz=z-z_0\bmod\Lambda$ である。これは $X=\mathbb{C}/\Lambda$ の恒等写像と $-z_0$ による平行移動の合成なので双正則である。$\square$

例：種数 2 の曲線

種数 2 の超楕円曲線の Jacobi 多様体

$X$ を $y^2=x^6-1$ の定める種数 2 の曲線（$k=\mathbb{C}$）とする。正則 1 形式の空間は $\omega_1=dx/y$、$\omega_2=x\,dx/y$ で張られる（Riemann–Rochの定理の例「超楕円曲線の正則な微分形式」）。Jacobi 多様体は
$$ \operatorname{Jac}(X)=\mathbb{C}^2/\Lambda_X,\qquad\Lambda_X=\Bigl\{\Bigl(\int_\gamma\frac{dx}{y},\ \int_\gamma\frac{x\,dx}{y}\Bigr)\ \Bigm|\ \gamma\ \text{は閉曲線}\Bigr\} $$
という 2 次元の複素トーラスで、2 次元のアーベル多様体である。Abel–Jacobi 写像の像 $u(X)$ は $\operatorname{Jac}(X)$ の中の曲線（複素 1 次元）であり、$\operatorname{Jac}(X)$ 全体にはならない（ex-jacobian-variety-not-surjective）。一方 prop-jacobian-variety-inversion により、$(P_1,P_2)\mapsto u(P_1)+u(P_2)$ は $X\times X$ から $\operatorname{Jac}(X)$ への全射である。この写像は $P_1,P_2$ の入れ替えで不変で、$X$ の次数 2 の有効因子 $P_1+P_2$（2 点の非順序対）のなす Hilbert スキーム $\operatorname{Hilb}^2_{X/k}$ から $\operatorname{Pic}^2_{X/k}$ への射が双有理であること（Stacks Picard Schemes of Curves, Lemma 6.7 (6)）と、$-2P_0$ による平行移動 $\operatorname{Pic}^2_{X/k}\cong\operatorname{Pic}^0_{X/k}$ により、非順序対の空間から $\operatorname{Jac}(X)$ への双有理写像を与える。

反例：条件を外すと

外す条件	反例	成り立たなくなること
$g\ge1$	$X=\mathbb{P}^1$	Abel–Jacobi 写像が単射
$g\le1$	種数 $g\ge2$ の曲線	Abel–Jacobi 写像 $X\to\operatorname{Jac}(X)$ が全射
代数的（周期格子から来る）	射影的でない 2 次元の複素トーラス	複素トーラスが Jacobi 多様体である

反例：種数 0 では単射でない

$X=\mathbb{P}^1$ では $\operatorname{Pic}^0(X)=0$（prop-jacobian-variety-low-genus の 1）なので、Abel–Jacobi 写像 $X\to0$ は定数写像であり、単射でない。この例は「曲線である」を満たすが「種数 $1$ 以上」を満たさず、prop-jacobian-variety-injective の結論が破れる。解析的にも $\Omega(\mathbb{P}^1)=0$（$dz$ は $\infty$ で 2 位の極をもつ）なので $\operatorname{Jac}(\mathbb{P}^1)=0$ である。

反例：種数 2 以上では全射でない

$g\ge2$ なら、Abel–Jacobi 写像 $u\colon X\to\operatorname{Jac}(X)$ は全射でない。解析的には、$u$ は実 2 次元のコンパクト多様体から実 $2g$ 次元の多様体への滑らかな写像であり、$2<2g$ なので像は測度 $0$ の集合で、$\operatorname{Jac}(X)$ 全体にはならない。代数的には、$u(X)$ は既約な曲線 $X$ の像なので次元 $1$ 以下の閉部分多様体であり、$g$ 次元の $J$ に一致しない。この例は「種数 $1$ 以上」を満たし $u$ は単射（prop-jacobian-variety-injective）だが、$g=1$ の場合（prop-jacobian-variety-low-genus の 2）と異なり「$u$ が全射」を満たさない。全射にするには $g$ 個の点の和をとる必要がある（prop-jacobian-variety-inversion）。

反例：Jacobi 多様体にならない複素トーラス

アーベル多様体の例「反例：射影的でない複素トーラス」の 2 次元の複素トーラス $T$ は射影空間に埋め込めない。一方、コンパクトなリーマン面の Jacobi 多様体は射影空間に埋め込める（Mil06 V §6、def-jacobian-variety-algebraic のとおりアーベル多様体の複素点である）。したがって $T$ はどの曲線の Jacobi 多様体とも双正則でない。この例は「$g$ 次元の複素トーラスである」を満たすが「Jacobi 多様体である」を満たさない。複素トーラス $\mathbb{C}^g/\Lambda$ の格子は任意にとれるが、Jacobi 多様体の格子は正則 1 形式の周期という特別な形をしている。

他の概念との関係

Picardスキーム・相対Picard関手：$\operatorname{Pic}^0_{X/k}$ は曲線の Picard スキームの単位成分であり、代数的な定義はその特別な場合である。点 $P_0$ を選ぶと、$\mathcal{O}(-dP_0)$ とのテンソル積で次数 $d$ の部分 $\operatorname{Pic}^d_{X/k}$ も $J$ と同型になる（Picardスキームの例「曲線とJacobi多様体」）。
双対アーベル多様体：Jacobi 多様体はテータ因子による標準的な主偏極をもち、自身の双対と同型である（双対アーベル多様体の例「Jacobi多様体の自己双対性」）。
Theta関数・Hodge構造・周期(代数多様体)：解析的な定義の周期格子を具体的に扱うための道具である。周期は正則 1 形式を閉曲線に沿って積分した値であり、周期の間の関係や周期格子の上の関数の構成はこれらの記事の主題になる。
Tate加群：$k=\mathbb{C}$ では $\operatorname{Jac}(X)$ は $g$ 次元の複素トーラスなので、その $n$ 等分点の群は $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^{2g}$ である（複素トーラスの例「等分点」）。素数 $\ell$ について $\ell^n$ 等分点の群の射影極限が $\operatorname{Jac}(X)$ の $\ell$ 進 Tate 加群であり、$\mathbb{Z}_\ell^{2g}$ と同型である。

代数閉でない体の上で

$k$ が代数閉でないとき、Picard スキームの $k$ 点と、$X$ 上の可逆層の同型類とを比べるには注意が要る。Stacks Picard Schemes of Curves の Proposition 6.6 は $k$ を分離閉体とし、$k$ 有理点 $\sigma$ を用いて Picard 関手を扱っている。Mil06 V §7 の Notes も、一般の体の上の Jacobi 多様体（Weil による構成）について、$k$ 点が次数 $0$ の因子類の群と一致することを適当な条件のもとで述べている。