判別式

$e'_0:=1$ とし、$e'_1,\dots,e'_{n-1}$ を $x_2,\dots,x_n$ の基本対称多項式、$e'_n:=0$ とする。$x_1$ を含む項と含まない項に分けると、$k=1,\dots,n$ について
$$ e_k=x_1e'_{k-1}+e'_k $$
である。したがって $e^b=\prod_ke_k^{b_k}$ は $x_1$ について次数 $|b|$ 以下で、$x_1^{|b|}$ の係数は $\prod_k(e'_{k-1})^{b_k}=(e'_1)^{b_2}(e'_2)^{b_3}\cdots(e'_{n-1})^{b_n}$ である。$D$ を $c_b\ne0$ である $|b|$ の最大値とすると、$g$ の $x_1^D$ の係数は
$$ \sum_{|b|=D}c_b\,(e'_1)^{b_2}\cdots(e'_{n-1})^{b_n} $$
である。$|b|=D$ のもとで $b_1=D-(b_2+\dots+b_n)$ なので、$b\mapsto(b_2,\dots,b_n)$ は単射であり、上の和の各項は相異なる単項式 $y_1^{b_2}\cdots y_{n-1}^{b_n}$ に $e'_1,\dots,e'_{n-1}$ を代入したものである。$x_2,\dots,x_n$ の基本対称多項式は代数的に独立である（対称多項式 の記事の定理「対称多項式の基本定理」の一意性を $n-1$ 変数に適用する）から、この和は $0$ でない。よって $\deg_{x_1}g=D$ である。

$n=1$ では $D_1:=1$ とすればよい。$n\ge2$ とし、
$$ V_n:=\prod_{1\le i< j\le n}(x_i-x_j)^2\in\mathbb{Z}[x_1,\dots,x_n] $$
とおく。変数の置換 $\sigma$ は因子の集合 $\{(x_i-x_j)^2: i< j\}$ をそれ自身に写す（$(x_j-x_i)^2=(x_i-x_j)^2$ に注意）ので、$V_n$ は対称多項式である。$x_1$ を含む因子は $(x_1-x_j)^2$（$j=2,\dots,n$）の $n-1$ 個なので、$\deg_{x_1}V_n=2n-2$ である。対称多項式の基本定理により $V_n=P_n(e_1,\dots,e_n)$、$P_n=\sum_bc_by^b\in\mathbb{Z}[y_1,\dots,y_n]$ と書け、lem-disc-degree によりすべての項で $|b|\le2n-2$ である。そこで
$$ D_n(A_0,\dots,A_n):=\sum_bc_b\,A_n^{2n-2-|b|}\prod_{k=1}^n\bigl((-1)^kA_{n-k}\bigr)^{b_k} $$
と定めると、$A_n$ の指数は負にならないので $D_n\in\mathbb{Z}[A_0,\dots,A_n]$ であり、各項の次数は $(2n-2-|b|)+|b|=2n-2$ である。
$L$ で $f=a_n\prod_i(x-\alpha_i)$ と分解すると、対称多項式 の記事の命題「根と係数の関係」により $\prod_i(x-\alpha_i)=\sum_k(-1)^ke_k(\alpha)x^{n-k}$ なので、係数を比べて $a_{n-k}=a_n(-1)^ke_k(\alpha)$、すなわち $e_k(\alpha)=(-1)^ka_{n-k}/a_n$ である。$V_n=P_n(e_1,\dots,e_n)$ は整数係数の多項式の恒等式なので、$L$ の元を代入しても成り立つ。よって
$$ \Delta(f)=a_n^{2n-2}V_n(\alpha)=a_n^{2n-2}\sum_bc_b\prod_k\Bigl(\frac{(-1)^ka_{n-k}}{a_n}\Bigr)^{b_k}=D_n(a_0,\dots,a_n) $$
である。右辺は $K$ の元で、$L$ にも番号にもよらない。

$f=a_n\prod_j(x-\alpha_j)$ に積の微分法則を繰り返し使うと $f'=a_n\sum_i\prod_{j\ne i}(x-\alpha_j)$ である。$x=\alpha_i$ を代入すると、$i$ 番目以外の項は因子 $x-\alpha_i$ を含むので $0$ になり、
$$ f'(\alpha_i)=a_n\prod_{j\ne i}(\alpha_i-\alpha_j) $$
である。$i$ についての積をとると、$\prod_if'(\alpha_i)=a_n^n\prod_{i\ne j}(\alpha_i-\alpha_j)$ である。右辺の積では、$i< j$ の各組について $(\alpha_i-\alpha_j)(\alpha_j-\alpha_i)=-(\alpha_i-\alpha_j)^2$ が現れ、組は $n(n-1)/2$ 個あるので
$$ \prod_if'(\alpha_i)=a_n^n(-1)^{n(n-1)/2}\prod_{i< j}(\alpha_i-\alpha_j)^2=(-1)^{n(n-1)/2}a_n^{\,n}a_n^{-(2n-2)}\Delta(f) $$
となる。両辺に $(-1)^{n(n-1)/2}a_n^{\,n-2}$ を掛ければよい。

$a_n\ne0$ で、$L$ は体なので積が $0$ になるのはある因子が $0$ のときに限る。よって 1 は「ある $i< j$ で $\alpha_i-\alpha_j=0$」、すなわち 2 と同値である。$L$ における $f$ の根は $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ だけなので、3 は「ある $i$ で $f'(\alpha_i)=0$」と同値であり、prop-disc-derivative と $a_n\ne0$ によりこれは 1 と同値である。

prf-disc-coefficients の $P_n$ を使う。$V_n$ は $n(n-1)$ 次の斉次多項式なので、対称多項式 の記事の定理「対称多項式の基本定理」の後半により、$P_n$ は $y_k$ の重みを $k$ としたとき重み $n(n-1)$ の項だけからなる（$P_n$ は一意なので、そこで存在が保証される重み付き斉次な表示と一致する）。
1：$n=2$ で重み $2$ の単項式は $y_1^2$、$y_2$ なので $P_2=\lambda y_1^2+\mu y_2$（$\lambda,\mu\in\mathbb{Z}$）と書ける。$(x_1,x_2)=(1,0)$ では $V_2=1$、$e_1=1$、$e_2=0$ なので $\lambda=1$ である。$(x_1,x_2)=(1,1)$ では $V_2=0$、$e_1=2$、$e_2=1$ なので $4+\mu=0$、$\mu=-4$ である。よって $V_2=e_1^2-4e_2$ であり、$e_1(\alpha)=-b/a$、$e_2(\alpha)=c/a$ を代入して $\Delta=a^2\bigl(b^2/a^2-4c/a\bigr)=b^2-4ac$ を得る。
2：$n=3$ で $e_1=0$ となる点では、$P_3$ のうち $y_1$ を含まない重み $6$ の項だけが残る。重み $2$ の $y_2$ と重み $3$ の $y_3$ でできる重み $6$ の単項式は $y_2^3$、$y_3^2$ だけなので、$e_1=0$ のとき $V_3=\lambda e_2^3+\mu e_3^2$ となる整数 $\lambda,\mu$ がある。$(x_1,x_2,x_3)=(1,-1,0)$ では $e_1=0$、$e_2=-1$、$e_3=0$、$V_3=(2\cdot1\cdot(-1))^2=4$ なので $\lambda=-4$ である。$(1,1,-2)$ では $e_1=0$、$e_2=-3$、$e_3=-2$、$V_3=0$ なので $-4\cdot(-27)+4\mu=0$、$\mu=-27$ である。$f=x^3+px+q$ の根では $e_1=0$、$e_2=p$、$e_3=-q$ なので $\Delta(f)=-4p^3-27q^2$ である。
3：両辺はどちらも $\mathbb{Z}[a,b,c,d]$ の元である（左辺は thm-disc-coefficients の $D_3$）。$a\ne0$ である有理数 $a,b,c,d$ について両辺が等しいことを示せば、$a\cdot(\text{左辺}-\text{右辺})$ は $\mathbb{Q}^4$ の全体で $0$ になる多項式なので $0$ であり（無限体上で値がすべて $0$ の多項式は $0$）、$\mathbb{Z}[a,b,c,d]$ は整域なので左辺と右辺は多項式として等しく、したがって任意の体で等しい。$a\ne0$ のとき、$f=ax^3+bx^2+cx+d$ について $\Delta(f)=a^4\Delta(f/a)$ であり、$x=y-b/(3a)$ と平行移動すると $f/a=y^3+py+q$、
$$ p=\frac{3ac-b^2}{3a^2},\qquad q=\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3} $$
となる。平行移動で判別式は変わらないので、2 により $\Delta(f)=a^4(-4p^3-27q^2)$ であり、これを展開すると右辺に一致する。

$4af(x)=(2ax+b)^2-(b^2-4ac)$ である。$x_0\in K$ が根なら $b^2-4ac=(2ax_0+b)^2$ は 2 乗である。逆に $b^2-4ac=d^2$（$d\in K$）なら、$2a\ne0$ なので $x_0:=(-b+d)/(2a)\in K$ がとれ、$4af(x_0)=d^2-d^2=0$ となり $x_0$ は根である。根 $x_0$ があれば $f=(x-x_0)g$ と 1 次式 $g$ に割り切れる。

根を $\mathbb{C}$ でとり、$\alpha_1,\dots,\alpha_n$ は相異なるとする。$\Delta(f)=a_n^{2n-2}\prod_{\{\gamma,\delta\}}(\gamma-\delta)^2$ と書ける。ここで積は相異なる 2 根の組 $\{\gamma,\delta\}$（順序を考えない）全体にわたり、$(\gamma-\delta)^2=(\delta-\gamma)^2$ なので各因子は組だけで決まる。$a_n$ は $0$ でない実数なので $a_n^{2n-2}>0$ である。
$f$ の係数は実数なので、$f(\bar\gamma)=\overline{f(\gamma)}$ により複素共役は根の集合をそれ自身に写し、したがって 2 根の組の集合もそれ自身に写す。組 $\{\gamma,\delta\}$ を次の 3 種類に分ける。

1. $\gamma,\delta$ がともに実数：$(\gamma-\delta)^2>0$。
2. $\delta=\bar\gamma$（共役な虚数の組）：$\gamma=u+iv$（$v\ne0$）とすると $(\gamma-\bar\gamma)^2=(2iv)^2=-4v^2<0$。
3. それ以外：このとき共役な組 $\{\bar\gamma,\bar\delta\}$ は $\{\gamma,\delta\}$ と異なる。実際、$\{\bar\gamma,\bar\delta\}=\{\gamma,\delta\}$ なら $\bar\gamma=\gamma$ かつ $\bar\delta=\delta$（種類 1）か、$\bar\gamma=\delta$（種類 2）である。$\{\bar\gamma,\bar\delta\}$ も種類 3 なので、種類 3 の組は 2 つずつ組になり、その 2 つの因子の積は $(\gamma-\delta)^2\,\overline{(\gamma-\delta)^2}=|\gamma-\delta|^4>0$ である。
   種類 2 の組はちょうど $s$ 個あるので、$\Delta(f)$ の符号は $(-1)^s$ である。

$\Delta(f)\ne0$ なら重根はなく（prop-disc-multiple-root）、実数解の個数を $r$ とすると $r+2s=n$ である。$n=2$ なら $s\in\{0,1\}$、$n=3$ なら $s\in\{0,1\}$ であり、thm-disc-real-sign により $\Delta>0$ は $s=0$、$\Delta<0$ は $s=1$ にあたる。
$\Delta(f)=0$ なら重根 $\beta$ がある。$\beta$ が実数でなければ $\bar\beta$ も同じ重複度の根であり（$f=\bar f$ を分解の一意性で比べる）、根は重複を込めて $4$ 個以上になって次数に反する。よって重根 $\beta$ は実数である。$n=2$ なら根は $\beta,\beta$ で終わる。$n=3$ なら残りの根 $\gamma$ は、虚数なら $\bar\gamma\ne\gamma$ も根になり根が $4$ 個以上になるので、実数である。

$n\ge2$ とする。$f'$ の次数は $m=n-1$ なので、終結式の 2 つ目の表示から $\operatorname{Res}(f,f')=a_n^{n-1}\prod_if'(\alpha_i)$ である。prop-disc-derivative に代入すると $\Delta(f)=(-1)^{n(n-1)/2}a_n^{n-2}a_n^{-(n-1)}\operatorname{Res}(f,f')$ となる。$n=1$ なら $f'=a_1$ は $0$ 次で $\operatorname{Res}(f,f')=a_1$、右辺は $a_1^{-1}a_1=1=\Delta(f)$ である。