2次曲線と2次形式

$A':={}^tR_\theta A_qR_\theta=\begin{pmatrix}a'&b'/2\\b'/2&c'\end{pmatrix}$ である。$\boldsymbol e_1={}^t(1,0)$、$\boldsymbol e_2={}^t(0,1)$ とおくと $R_\theta\boldsymbol e_1={}^t(\cos\theta,\sin\theta)$、$R_\theta\boldsymbol e_2={}^t(-\sin\theta,\cos\theta)$ なので、
$$ a'={}^t\boldsymbol e_1A'\boldsymbol e_1=q(\cos\theta,\sin\theta)=a\cos^2\theta+b\cos\theta\sin\theta+c\sin^2\theta $$
であり、$\cos^2\theta=\frac{1+\cos2\theta}2$、$\sin^2\theta=\frac{1-\cos2\theta}2$、$\cos\theta\sin\theta=\frac{\sin2\theta}2$ から $a'$ の式を得る。同様に
$$ \frac{b'}2={}^t(R_\theta\boldsymbol e_1)A_q(R_\theta\boldsymbol e_2)=-a\cos\theta\sin\theta+\frac b2(\cos^2\theta-\sin^2\theta)+c\sin\theta\cos\theta $$
から $b'$ の式を得る。$a'+c'$ は $A'$ の対角成分の和（トレース）であり、$\operatorname{tr}({}^tR A R)=\operatorname{tr}(AR\,{}^tR)=\operatorname{tr}A$ から $a+c$ に等しい。$\det R_\theta=1$ なので $\det A'=\det A_q$ であり、$b'^2-4a'c'=-4\det A'=-4\det A_q=b^2-4ac$ である。最後の主張は $b'$ の式から直ちに従う。$\square$

1. 固有多項式は $\det(tI-A)=t^2-(p+s)t+(ps-r^2)$ であり、その判別式は
   $$ (p+s)^2-4(ps-r^2)=(p-s)^2+4r^2\ge0 $$
   なので、2 つの根はともに実数である。
2. $\lambda_1$ は実数で $\det(\lambda_1I-A)=0$ なので、$(A-\lambda_1I)\boldsymbol u=\boldsymbol0$ となる $\boldsymbol u\ne\boldsymbol0$ が実数の範囲にある。長さで割って $\boldsymbol u_1={}^t(\cos\varphi,\sin\varphi)$ とし、これを $90^\circ$ 回した $\boldsymbol u_2={}^t(-\sin\varphi,\cos\varphi)$ をとる。$A$ が対称なので、内積について
   $$ \boldsymbol u_1\cdot A\boldsymbol u_2=A\boldsymbol u_1\cdot\boldsymbol u_2=\lambda_1\,\boldsymbol u_1\cdot\boldsymbol u_2=0 $$
   である（${}^t\boldsymbol x A\boldsymbol y={}^t(A\boldsymbol x)\boldsymbol y$ を使った）。$\boldsymbol u_1,\boldsymbol u_2$ は長さ $1$ で直交するので、平面のベクトル $\boldsymbol w$ は $\boldsymbol w=(\boldsymbol u_1\cdot\boldsymbol w)\boldsymbol u_1+(\boldsymbol u_2\cdot\boldsymbol w)\boldsymbol u_2$ と書ける。$\boldsymbol w=A\boldsymbol u_2$ とすると $A\boldsymbol u_2=\mu\,\boldsymbol u_2$（$\mu:=\boldsymbol u_2\cdot A\boldsymbol u_2$）となり、$\boldsymbol u_2$ も固有ベクトルである。$P:=(\boldsymbol u_1\ \boldsymbol u_2)=R_\varphi$ とおくと $AP=P\begin{pmatrix}\lambda_1&0\\ 0&\mu\end{pmatrix}$、${}^tP=P^{-1}$ なので ${}^tPAP$ は対角行列である。トレースを比べると $\lambda_1+\mu=p+s=\lambda_1+\lambda_2$ なので $\mu=\lambda_2$ である。
3. $A\boldsymbol x=\lambda\boldsymbol x$、$A\boldsymbol y=\lambda'\boldsymbol y$、$\lambda\ne\lambda'$ なら、$\lambda\,\boldsymbol x\cdot\boldsymbol y=A\boldsymbol x\cdot\boldsymbol y=\boldsymbol x\cdot A\boldsymbol y=\lambda'\,\boldsymbol x\cdot\boldsymbol y$ から $\boldsymbol x\cdot\boldsymbol y=0$ である。$\square$

cor-cqf-principal-axes の回転 $\boldsymbol v=R_\varphi\boldsymbol w$ を行うと、1 次の項は 1 次の項に移るので、$C$ は $\lambda_1X^2+\lambda_2Y^2+d'X+e'Y+f=0$ の形になる（$d',e'$ は実数）。$\lambda_1\lambda_2=-D/4$ である。
$D\ne0$ の場合を考える。$\lambda_1,\lambda_2\ne0$ なので、$X,Y$ それぞれについて平方完成し、平行移動 $X_1=X+\frac{d'}{2\lambda_1}$、$Y_1=Y+\frac{e'}{2\lambda_2}$ を行うと $\lambda_1X_1^2+\lambda_2Y_1^2=k$（$k$ は実数）となる。

• $D<0$ のとき $\lambda_1,\lambda_2$ は同符号である。両辺に $-1$ を掛けて $\lambda_1,\lambda_2>0$ としてよい。$k>0$ なら $\frac{X_1^2}{k/\lambda_1}+\frac{Y_1^2}{k/\lambda_2}=1$ で楕円、$k=0$ なら 1 点 $X_1=Y_1=0$、$k<0$ なら空集合である。
• $D>0$ のとき $\lambda_1,\lambda_2$ は異符号である。$k\ne0$ なら、両辺を $k$ で割って（必要なら $X_1,Y_1$ を入れ替える $90^\circ$ の回転をして）$\frac{X_1^2}{\alpha^2}-\frac{Y_1^2}{\beta^2}=1$ の形になり双曲線である。$k=0$ なら $\lambda_1X_1^2=-\lambda_2Y_1^2$ から $Y_1=\pm\sqrt{-\lambda_1/\lambda_2}\,X_1$ で、交わる 2 直線である。
  $D=0$ の場合を考える。$\lambda_1\lambda_2=0$ である。両方 $0$ なら ${}^tR_\varphi A_qR_\varphi$ が零行列で $A_q=O$ となり $(a,b,c)\ne(0,0,0)$ に反するので、ちょうど一方が $0$ であり、$\lambda_1\ne0=\lambda_2$ としてよい。$X_1=X+\frac{d'}{2\lambda_1}$ とおくと $\lambda_1X_1^2+e'Y+f_1=0$（$f_1$ は実数）となる。
• $e'\ne0$ なら $Y_1:=Y+\frac{f_1}{e'}$ として $X_1^2=-\frac{e'}{\lambda_1}Y_1$ となり、$X_1,Y_1$ を入れ替えれば $Y^2=4pX$ の形で、放物線である。
• $e'=0$ なら $X_1^2=-f_1/\lambda_1$ であり、右辺が正なら平行な 2 直線、$0$ なら 1 直線、負なら空集合である。$\square$

回転 $R$ と平行移動 ${}^t(t_1,t_2)$ を合わせた座標変換 ${}^t(x,y)=R\,{}^t(X,Y)+{}^t(t_1,t_2)$ は、${}^t(x,y,1)=T\,{}^t(X,Y,1)$、$T=\begin{pmatrix}R&\boldsymbol t\\{}^t\boldsymbol 0&1\end{pmatrix}$（$\boldsymbol t={}^t(t_1,t_2)$、$\boldsymbol 0={}^t(0,0)$）と書ける。新しい座標での行列は ${}^tTMT$ であり、$\det T=\det R=1$ なので行列式は変わらない。thm-cqf-classification の証明の最後の形で計算すると、$\lambda_1X^2+\lambda_2Y^2-k=0$ では $\det M=-\lambda_1\lambda_2k$、$\lambda_1X^2+e'Y=0$ では $\det M=-\lambda_1e'^2/4$、$\lambda_1X^2-k=0$ では $\det M=0$ である。よって $\det M\ne0$ となるのは、$D\ne0$ かつ $k\ne0$ の場合と、$D=0$ かつ $e'\ne0$ の場合に限られる。thm-cqf-classification の証明の場合分けと照らし合わせて主張を得る。$\square$

(1 ⇔ 2) cor-cqf-principal-axes により $q=\lambda_1X^2+\lambda_2Y^2$ であり、回転は $(x,y)\ne(0,0)$ と $(X,Y)\ne(0,0)$ を対応させる。$\lambda_1,\lambda_2>0$ なら $q>0$ である。逆に $q$ が正定値なら $(X,Y)=(1,0),(0,1)$ で $\lambda_1,\lambda_2>0$ である。
(1 ⇔ 3) 恒等式 $4a\,q(x,y)=(2ax+by)^2-Dy^2$ を使う。$a>0$、$D<0$ なら右辺は $0$ 以上で、$0$ になるのは $y=0$ かつ $2ax+by=0$、すなわち $(x,y)=(0,0)$ のときだけなので、$q$ は正定値である。逆に $q$ が正定値なら $a=q(1,0)>0$ であり、$(x,y)=(-b,2a)$ を代入すると $4a\,q=-4a^2D>0$ から $D<0$ である。
(不定 ⇔ $D>0$) $q=\lambda_1X^2+\lambda_2Y^2$ が不定であるのは $\lambda_1\lambda_2<0$、すなわち $D=-4\lambda_1\lambda_2>0$ のときに限る。$\square$

$k:=\frac{a^2+b^2}{ab+1}$ が平方数でないと仮定する。0 以上の整数の組 $(x,y)$ で
$$ x^2-kxy+y^2=k $$
を満たすもの（$(a,b)$ があるので空でない）のうち、$x+y$ が最小のものをとる。方程式は $x,y$ について対称なので、$x\ge y$ としてよい。$y=0$ なら $k=x^2$ となり仮定に反するので $y\ge1$ である。$x$ は $t$ の 2 次方程式 $t^2-ky\,t+(y^2-k)=0$ の根であり、もう一つの根は、解と係数の関係から
$$ x'=ky-x=\frac{y^2-k}{x} $$
である。左の式から $x'$ は整数である。$x'<0$ なら $x'^2-kyx'+y^2-k\ge x'^2+k+y^2-k>0$（$-kyx'\ge k$ による）となって根であることに反し、$x'=0$ なら $k=y^2$ で仮定に反する。よって $x'>0$ で、$(x',y)$ も条件を満たす。ところが $x'=\frac{y^2-k}x<\frac{y^2}x\le y\le x$ なので $x'+y< x+y$ となり、最小性に反する。したがって $k$ は平方数である。$\square$