代数関数

$f$ の極でない点での値をとる写像により、$k(x)[y]$ の元 $G$ に $G(f)$ を対応させると、環の準同型 $k(x)[y]\to\mathcal{M}$ が得られる。ここで $\mathcal{M}$ は $U$ 上の有理型関数の体（$U$ は連結なので 一致の定理 により体になる）、または冪級数の場合は 形式的Laurent級数 の体 $k(\!(x)\!)$ である。核は $k(x)[y]$（単項イデアル整域）のイデアルで、仮定から $0$ でないので、モニックな $F$ で生成される。像は体の部分環なので整域であり、核は素イデアル、すなわち $F$ は既約である。$\square$

$L$ を $\mathcal{M}(U)$ または $k(\!(x)\!)$ とし、$K:=k(x)\subset L$ とおく。$f,g\in L$ がそれぞれ次数 $m,n$ で $K$ 上代数的であるとし、最小多項式を $y^m+\sum_{i< m}p_iy^i$、$y^n+\sum_{j< n}q_jy^j$（$p_i,q_j\in K$）とする。

$f^ig^j$（$0\le i< m$、$0\le j< n$）で張られる $K$ 上の部分空間を $V\subset L$ とする。$f\cdot f^{m-1}g^j=f^mg^j=-\sum_{i< m}p_if^ig^j\in V$ なので $fV\subset V$ であり、同様に $gV\subset V$ である。よって $h=f+g$ または $h=fg$ について $hV\subset V$ で、$1\in V$ から $1,h,h^2,\dots$ はすべて $V$ に属する。$\dim_KV\le mn$ なので、$1,h,\dots,h^{mn}$ は $K$ 上 1 次従属であり、$0$ でない $c_0,\dots,c_{mn}\in K$ の組で $\sum_lc_lh^l=0$ となる。分母を払えば $h$ は代数的である。$-g$ は $-y$ を代入した多項式の根なので代数的である。

$f\ne0$ のとき、最小多項式の定数項 $p_0$ は $0$ でない（$p_0=0$ なら最小多項式は $y$ で割り切れ、既約性から $y$ そのものになり $f=0$ となる）。$f^m+\dots+p_0=0$ を $f^m$ で割ると、$1/f$ は $p_0y^m+p_1y^{m-1}+\dots+1$ の根である。以上で 1 が示された。

2 は、$k[\![x]\!]\subset k(\!(x)\!)$ に同じ議論を当てればよい。$f(0)\ne0$ なら $1/f\in k[\![x]\!]$ である（形式的冪級数の積と逆数）。$\square$

1。 最小多項式 $P\in k[x,y]$ をとる。$P(x,f(x))=0$ を $x$ で微分すると、連鎖律 により$$P_x\bigl(x,f\bigr)+P_y\bigl(x,f\bigr)\,f'=0$$である（$P_x,P_y$ は偏微分）。$P_y$ は $y$ について次数 $d-1$ で、$y^{d-1}$ の係数 $da_d\ne0$ をもつので $0$ でない。次数 $d$ 未満の $0$ でない多項式は $f$ を根にもたない（prop-alg-minimal）から $P_y(x,f)\ne0$ で、$f'=-P_x(x,f)/P_y(x,f)\in k(x)(f)$ である。

2。 $E:=k(x)(f)$ は $k(x)$ 上 $d$ 次元である。$E$ の元 $G(x,f)$（$G\in k(x)[y]$）の導関数は $G_x(x,f)+G_y(x,f)f'$ で、1 によりまた $E$ に属する。よって $f,f',\dots,f^{(d)}$ はすべて $E$ に属し、$d+1$ 個なので $k(x)$ 上 1 次従属である。分母を払えば 2 の式を得る。

3。 2 の式を $\sum_{i,j}c_{ij}x^if^{(j)}=0$（有限和）と書き、$x^n$ の係数を比べる。$x^if^{(j)}$ の $x^n$ の係数は $(n-i+1)(n-i+2)\cdots(n-i+j)\,f_{n-i+j}$ である（$n\ge i$）。ずれ $j-i$ の値ごとにまとめると、$f_{n+e}$ の係数は多項式 $\sum_{j-i=e}c_{ij}(n-i+1)\cdots(n-i+j)$ になる。同じ $e$ の中では $j$ が異なれば次数が異なるので、$c_{ij}\ne0$ となる $(i,j)$ が 1 つでもある $e$ ではこの多項式は $0$ でない。$e$ の最大値を $e_1$、最小値を $e_0$ とし、$s:=e_1-e_0$、添字を $n\mapsto n-e_1$ とずらせば 3 の形になる（$n_0$ は $i$ の最大値と $e_1$ から決まる）。$\square$

$\lvert y\rvert>1+M$ とすると、$\bigl\lvert\sum_{i< d}\frac{a_i(x_0)}{a_d(x_0)}y^i\bigr\rvert\le M\sum_{i< d}\lvert y\rvert^i=M\frac{\lvert y\rvert^d-1}{\lvert y\rvert-1}<\lvert y\rvert^d$ である（$M/(\lvert y\rvert-1)<1$）。よって $y^d=-\sum_{i< d}\frac{a_i(x_0)}{a_d(x_0)}y^i$ は成り立たず、$y$ は根でない。$\square$

$y_0$ 以外の根が閉円板 $\lvert y-y_0\rvert\le\rho$ に入らないように $\rho>0$ をとり、円周 $\Gamma:\lvert y-y_0\rvert=\rho$ を正の向きに回る。$P(x_0,y)$ は $\Gamma$ の上で $0$ にならず、$\Gamma$ はコンパクトで $P$ は連続なので、$\delta>0$ を小さくとれば $\lvert x-x_0\rvert<\delta$、$y\in\Gamma$ で $P(x,y)\ne0$ である。偏角の原理 の定理「偏角の原理」により$$N(x):=\frac1{2\pi i}\oint_\Gamma\frac{P_y(x,y)}{P(x,y)}\,dy$$は $P(x,\cdot)$ の $\Gamma$ の内側の根の個数（重複度込み）である。$N$ は $x$ の連続関数で整数値なので、円板上で一定値 $N(x_0)=1$ をとる。その根を $\varphi(x)$ とすると、$yP_y/P$ の $\varphi(x)$ での留数は $\varphi(x)$ なので$$\varphi(x)=\frac1{2\pi i}\oint_\Gamma\frac{yP_y(x,y)}{P(x,y)}\,dy$$である。被積分関数は $x$ について正則で $(x,y)$ について連続なので、$\varphi$ は正則である（Cauchyの積分公式 の定理「Morera の定理」）。重複度が $N(x)=1$ なので単純根である。$\square$

$P(x,f)=0$ とし、$P$ を $\mathbb{C}[x,y]$ の既約因子に分解する。$\mathbb{C}[\![x]\!]$ は整域なので、ある既約因子 $P_1$ について $P_1(x,f)=0$ であり、$P_1$ は $y$ を含む（$y$ を含まない $0$ でない多項式は $\mathbb{C}[\![x]\!]$ で $0$ でない）。$P_1$ は $\mathbb{C}(x)[y]$ でも既約（Gauss の補題。多項式環 の定理「Gauss の補題（内容の乗法性）」から従う）なので、$P_1$ に thm-alg-puiseux を $a=0$ で当てる。$N$ を $n_1,\dots,n_m$ の最小公倍数とし、$G_{i,j}(t):=g_i\bigl(\zeta_i^{\,j}t^{N/n_i}\bigr)$ とおく。これは $0<\lvert t\rvert<\rho$（$\rho>0$ は小さくとる）で収束する Laurent 級数であり、$P_1(t^N,G_{i,j}(t))=0$ が関数として、したがって Laurent 級数として（展開の一意性）成り立つ。$d$ 個の $G_{i,j}$ は値が相異なるので Laurent 級数としても相異なる。

体 $\mathbb{C}(\!(t)\!)$ の上で、$y$ の $d$ 次多項式 $P_1(t^N,y)$ の根は高々 $d$ 個なので、$G_{i,j}$ が根の全体である。$f(t^N)\in\mathbb{C}[\![t]\!]$ も根なので、ある $G_{i,j}$ に等しい。よって $\sum_nf_nt^{Nn}$ は $0<\lvert t\rvert<\rho$ で収束し、$\sum_nf_nx^n$ は $\lvert x\rvert<\rho^N$ で収束する。$\square$

1。 $f=e^x$ が代数的だとし、$\mathbb{C}(x)$ 上の最小多項式を $y^d+\sum_{i< d}b_iy^i$ とする。$f'=f$ から $(f^i)'=if^i$ なので、$f^d+\sum_ib_if^i=0$ を微分すると $df^d+\sum_{i< d}(b_i'+ib_i)f^i=0$ である。これから元の式の $d$ 倍を引くと$$\sum_{i< d}\bigl(b_i'-(d-i)b_i\bigr)f^i=0$$で、次数 $d$ 未満なので係数はすべて $0$ である（prop-alg-minimal）。$b_i\ne0$ とすると $b_i'/b_i=d-i$ は $0$ でない定数だが、有理関数 $R=c\prod_\alpha(x-\alpha)^{m_\alpha}$ について $R'/R=\sum_\alpha m_\alpha/(x-\alpha)$ は $x\to\infty$ で $0$ に近づくので矛盾する。よって $b_i=0$（$i< d$）で、$f^d=0$ となり $f=e^x\ne0$ に反する。

2。 $f=\operatorname{Log}x$ が代数的だとし、最小多項式を $y^d+\sum_{i< d}b_iy^i$ とする。$f'=1/x$ を使って $f^d+\sum_ib_if^i=0$ を微分すると$$\Bigl(\frac dx+b_{d-1}'\Bigr)f^{d-1}+\sum_{i< d-1}\Bigl(b_i'+\frac{(i+1)b_{i+1}}x\Bigr)f^i=0$$で、次数 $d$ 未満なので係数は $0$ であり、とくに $b_{d-1}'=-d/x$ である。しかし有理関数を 部分分数分解 して微分すると、$1/(x-\alpha)$ の 1 乗の項は現れない（$(x-\alpha)^{-m}$ の導関数は $(x-\alpha)^{-m-1}$ の定数倍、多項式の導関数は多項式）。よって $-d/x$ は有理関数の導関数でなく、矛盾する。$\square$