対数凹性

3 の比の単調性．$a$ の項がすべて正なら、$a_i^2\ge a_{i-1}a_{i+1}$ を $a_{i-1}a_i$ で割って $a_i/a_{i-1}\ge a_{i+1}/a_i$ を得る。
1．$a_{x-1}a_{y+1}=0$ なら左辺は $\ge0$ なので成り立つ。そうでなければ $a_{x-1}\neq0$、$a_{y+1}\neq0$ で、内部に零をもたないので $a_{x-1},a_x,\dots,a_{y+1}$ はすべて正である。この範囲に 3 の比の単調性を当てると $a_x/a_{x-1}\ge a_{y+1}/a_y$ であり、分母を払えば $a_xa_y\ge a_{x-1}a_{y+1}$ である。
2．$a$ がすべて $0$ なら単峰である。そうでなければ、$0$ でない項は連続した番号 $s\le i\le t$ に並び、それ以外は $0$ である。$s\le i\le t$ では項は正で、比 $a_{i+1}/a_i$（$s\le i< t$）は単調に減少する。$m$ を、比が $1$ 以上である最後の $i$ の次の番号（比がすべて $1$ 未満なら $m=s$）とすると、$a_s\le\dots\le a_m\ge\dots\ge a_t$ であり、その外側は $0$ なので $a$ は単峰である。3 の単峰性は 2 の特別な場合である。$\square$

段 1（Toeplitz 行列による言い換え）．整数で番号づけた行列 $T(a):=(a_{j-i})_{i,j\in\mathbb Z}$ を考える（範囲外の番号では $a_n=0$）。$T(a)$ のすべての $2\times2$ 小行列式が非負であることを、$T(a)$ が TP2 であるという。$a$ が内部に零をもたない非負の対数凹列なら $T(a)$ は TP2 であることを示す。行 $i< k$、列 $j< l$ の小行列式は、$u:=j-k$、$s:=k-i>0$、$t:=l-j>0$ とおくと
$$ a_{j-i}a_{l-k}-a_{l-i}a_{j-k}=a_{u+s}a_{u+t}-a_{u+s+t}\,a_u $$
である。対称性から $s\le t$ としてよい。prop-lc-unimodal の 1 を $x=u+s-m$、$y=u+t+m$（$0\le m\le s-1$、$x\le y$）に順に当てると
$$ a_{u+s}a_{u+t}\ge a_{u+s-1}a_{u+t+1}\ge\dots\ge a_ua_{u+s+t} $$
となり、小行列式は非負である。逆に $T(c)$ が TP2 なら、$s=t=1$ の小行列式から $c$ は対数凹である。
段 2（積の小行列式）．$T(c)=T(a)T(b)$ である（$(T(a)T(b))_{ij}=\sum_pa_{p-i}b_{j-p}=c_{j-i}$。列は有限なので和は有限和）。一般に、行列 $A,B$ の積 $C=AB$ の行 $i< k$、列 $j< l$ の小行列式は
$$ C_{ij}C_{kl}-C_{il}C_{kj}=\sum_{p< q}\bigl(A_{ip}A_{kq}-A_{iq}A_{kp}\bigr)\bigl(B_{pj}B_{ql}-B_{pl}B_{qj}\bigr) $$
をみたす（Cauchy–Binet の公式の $2\times2$ の場合。左辺を $\sum_{p,q}A_{ip}A_{kq}(B_{pj}B_{ql}-B_{pl}B_{qj})$ と展開し、$p=q$ の項が消えることと、$p$ と $q$ を入れ替えた項を組にすることで右辺になる）。$T(a)$、$T(b)$ が TP2 なら右辺の各項は非負なので、$T(c)$ は TP2 であり、段 1 により $c$ は対数凹である。
段 3（内部の零）．$a$ の $0$ でない項の番号が区間 $[s,t]$、$b$ のそれが $[s',t']$ なら、$c_k$ は非負の項の和で、$s+s'\le k\le t+t'$ のとき $i=\min(t,k-s')$ の項 $a_ib_{k-i}$ が正なので $c_k>0$、それ以外では $c_k=0$ である。よって $c$ は内部に零をもたない。$\square$

1．$q$ の相異なる根を $r_1< \dots< r_s$、重複度を $m_1,\dots,m_s$ とすると $\sum_im_i=m$ である。$q=(x-r_i)^{m_i}h$ と書けば $q'=(x-r_i)^{m_i-1}\bigl(m_ih+(x-r_i)h'\bigr)$ なので、$r_i$ は $q'$ の重複度 $m_i-1$ 以上の根である。また Rolleの定理 により、各区間 $(r_i,r_{i+1})$ に $q'$ の根 $\xi_i$ があり、これは $r_1,\dots,r_s$ と異なる。こうして $q'$ の実根を重複度込みで $\sum_i(m_i-1)+(s-1)=m-1$ 個見つけた。$q'$ は次数 $m-1$ で、代数学の基本定理 により根は重複度込みでちょうど $m-1$ 個なので、根はすべて実数である。
2．$q(x)=c\,x^t\prod_{i=1}^{m-t}(x-\rho_i)$（$c\neq0$、$\rho_i$ は $0$ でない実数）と書くと
$$ x^mq(1/x)=c\prod_{i=1}^{m-t}(1-\rho_ix)=c\prod_i(-\rho_i)\cdot\prod_i\bigl(x-\rho_i^{-1}\bigr) $$
であり、根 $\rho_i^{-1}$ はすべて実数である。$\square$

段 1（係数の計算）．$f(x)=\sum_{i=0}^mc_i\binom mix^i$ の $j$ 階導関数（$j\le m$）は
$$ f^{(j)}(x)=\frac{m!}{(m-j)!}\sum_{i=0}^{m-j}c_{i+j}\binom{m-j}ix^i $$
である。実際、$x^{i+j}$ の項は $j$ 回微分すると $\frac{(i+j)!}{i!}x^i$ になり、$\binom m{i+j}\frac{(i+j)!}{i!}=\frac{m!}{(m-j)!}\binom{m-j}i$ である。
段 2（2 次式への帰着）．$p=\sum_jb_j\binom djx^j$ に段 1 を $j=k-1$ で当てると、$m:=d-k+1\ge2$ として
$$ q(x):=p^{(k-1)}(x)=\frac{d!}{m!}\sum_{i=0}^mb_{i+k-1}\binom mix^i $$
である。次に $\tilde q(x):=x^mq(1/x)=\frac{d!}{m!}\sum_{l=0}^mb_{m-l+k-1}\binom mlx^l$ とおき、段 1 を $j=m-2$ で当てると
$$ Q(x):=\tilde q^{(m-2)}(x)=\frac{d!}{2}\bigl(b_{k+1}+2b_kx+b_{k-1}x^2\bigr) $$
となる（$l=m-2,m-1,m$ の係数 $b_{k+1},b_k,b_{k-1}$ が残る）。
段 3（判別式）．$Q=0$ なら $b_{k-1}=b_k=b_{k+1}=0$ で主張は成り立つ。$Q\neq0$ とする。このとき途中の多項式 $p,p',\dots,q,\tilde q,\dots,Q$ はどれも $0$ でない。$0$ でない多項式の導関数が $0$ でなければ、その多項式は次数 $1$ 以上なので、lem-lc-rolle の 1 により導関数は実根だけをもつ。反転には同補題の 2 を当てる。したがって $Q$ は実根だけをもつ。$b_{k-1}=0$ なら主張は $b_k^2\ge0$ で明らかである。$b_{k-1}\neq0$ なら $Q$ は実根だけをもつ 2 次式なので、判別式について $4b_k^2-4b_{k-1}b_{k+1}\ge0$ である。
最後の主張は、定義の直後の計算と同じく $\binom dk^2/\bigl(\binom d{k-1}\binom d{k+1}\bigr)=(1+\frac1k)(1+\frac1{d-k})$ による。$\square$

超対数凹であることは thm-lc-newton そのものである。$x>0$ で $p(x)>0$ なので、根はすべて $0$ 以下であり、$p(x)=a_d\prod_i(x+s_i)$（$s_i\ge0$、$a_d>0$）と書ける。各因子 $x+s_i$ の係数の列 $(s_i,1)$ は内部に零をもたない非負の対数凹列なので、thm-lc-convolution により積の係数も内部に零をもたない。単峰性は prop-lc-unimodal による。$\square$