飯高予想
概要
飯高予想（Iitaka conjecture）とは、滑らかな複素射影多様体の間の連結なファイバーをもつ全射 $f\colon X\to Y$ と一般のファイバー $F$ について、小平次元の不等式 $\kappa(X)\ge\kappa(F)+\kappa(Y)$ が成り立つ、という予想である。小平次元の劣加法性、予想 $C_{n,m}$ とも呼ばれる。逆向きの評価 $\kappa(X)\le\kappa(F)+\dim Y$ は易しい。底が曲線、底が一般型、底が曲面、$\dim X\le6$ などの場合は定理だが、一般の場合は 2024 年の時点で知られていない。
前提知識: 小平次元, 多重種数, 標準層, Riemann–Rochの定理
飯高予想（Iitaka conjecture）は、代数多様体のファイブレーションの全空間の小平次元が、一般のファイバーの小平次元と底の小平次元の和以上である、という予想で、2024 年の時点で一般には未解決である。$f\colon X\to Y$ を滑らかな複素射影多様体の間の連結なファイバーをもつ全射、$F$ を一般のファイバーとすると、
$$
\kappa(X)\ge\kappa(F)+\kappa(Y)
$$
が予想される。小平次元の劣加法性ともいい、$n=\dim X$、$m=\dim Y$ として予想 $C_{n,m}$ と書く。飯高茂（Shigeru Iitaka）が 1972 年の論説で述べた（Fuj17a §1 と文献表）。
$X$ の標準因子と $Y$ の標準因子の関係を、ファイバーを介して測る問題である（Bir09 §1）。直積 $X=Y\times F$ では等号が成り立つ。予想は、ファイバーがねじれていても、小平次元はこの直積の値より小さくならないと主張している。
一般の場合は 2024 年の時点で知られていない（Men24 §1.2）。底が曲線の場合、底が一般型の場合、底が曲面の場合、$\dim X\le6$ の場合などは定理である。一般のファイバーが良い極小モデルをもてば成り立つので、極小モデル予想と豊富性予想からも従う。
反対向きの上からの評価 $\kappa(X)\le\kappa(F)+\dim Y$ は易しい。この記事では次のことを示す。
| 結果 | 内容 |
|---|---|
| thm-ic-easy | 上からの評価 |
| cor-ic-sandwich | 底が一般型なら、予想は等式と同値である |
| prop-ic-reduction | ファイバーの連結性は仮定しなくてよい |
| thm-ic-curve | 底が種数 $2$ 以上の曲線なら等式が成り立つ（弱正値性を引用） |
| prop-ic-surface | 予想 $C_{2,1}$（分類を引用） |
| ex-ic-bidegree | $\kappa(F)$ と $Y$ が同じでも $\kappa(X)$ は動く |
予想の主張
この記事では多様体は複素数体上で考え、小平次元 $\kappa$ と $m$ 重種数 $P_m$ は 小平次元 の定義のとおりとする。$-\infty$ に何を足しても $-\infty$ とし、1 点の小平次元は $0$ である（$P_m=1$）。
滑らかな射影多様体の間の全射 $f\colon X\to Y$ で、ファイバーが連結なものを 代数的ファイバー空間 という。
標数 $0$ なので、$Y$ の空でない開集合の上で $f$ は滑らかであり（Har77 III, Corollary 10.7, p. 272）、その上のファイバーは滑らかで連結、すなわち滑らかな射影多様体である。各 $m$ について、$h^0(f^{-1}(y),\omega^{\otimes m})$ は $Y$ の空でない開集合の上で一定である。以下、一般のファイバー とは、$f$ が滑らかな点 $y$ の上のファイバー $F=f^{-1}(y)$ で、すべての $m$ で $P_m(F)$ がこの一定値に等しいものをいう（そのような $y$ は、$Y$ の可算個の真の閉集合の外にとれる）。
$f\colon X\to Y$ を代数的ファイバー空間、$F$ を一般のファイバーとする。このとき
$$
\kappa(X)\ge\kappa(F)+\kappa(Y)
$$
である。$\dim X=n$、$\dim Y=m$ のとき、この主張を 予想 $C_{n,m}$ という。
$\kappa(Y)=-\infty$ または $\kappa(F)=-\infty$ なら右辺は $-\infty$ で、主張は自明である。$m=0$ なら $X=F$、$m=n$ なら $f$ は双有理で $F$ は 1 点なので、これらも自明である（小平次元 の定理「小平次元の双有理不変性」）。$X=Y\times F$ が直積のときは等号が成り立つ（小平次元 の命題「直積の小平次元」の後の注意）。
上からの評価
次の評価は文献で easy addition と呼ばれる（Fuj17a §9）。切断をファイバーに沿った消え方で分解すると得られる。
$X\subset\mathbb{P}^N$ を $n\ge1$ 次元の滑らかな射影多様体、$A$ を超平面の類、$E$ を有効因子、$x\in X$ とする。このとき $\operatorname{mult}_xE\le E\cdot A^{n-1}$ である。
要点：$x$ を通る完全交叉の曲線で、どの成分も $E$ に含まれないものをとる。
証明を開く
$x$ を通る超平面の全体は $\mathbb{P}^{N-1}$ で、$\{x\}$ と異なる既約閉集合を含む超平面の全体はその真の線形部分空間である。よって $x$ を通る超平面 $H_1,\dots,H_{n-1}$ を順に選び、$Z_i:=X\cap H_1\cap\dots\cap H_i$ について、$H_{i+1}$ が $Z_i$ の既約成分と $E\cap Z_i$ の既約成分（$\{x\}$ を除く）をどれも含まないようにできる。すると $Z_i$ は純 $n-i$ 次元で、$E\cap Z_{n-1}$ は有限集合である。$Z_{n-1}$ のサイクルを $\sum_ja_j\Gamma_j$（$a_j>0$）と書くと、どの $\Gamma_j$ も $E$ の台に含まれないので $E\cdot\Gamma_j\ge0$ であり、$\sum_ja_jE\cdot\Gamma_j=E\cdot A^{n-1}$ である。
$x\in Z_{n-1}$ なので $x\in\Gamma_1$ としてよい。$\nu\colon\widetilde\Gamma\to\Gamma_1$ を正規化、$p$ を $x$ の上の点、$e$ を $x$ での $E$ の局所方程式とする。$k:=\operatorname{mult}_xE$ とすると $e\in\mathfrak{m}_x^k$ なので $\operatorname{ord}_p(\nu^*e)\ge k$ である。よって $k\le\deg\nu^*\mathcal{O}_X(E)=E\cdot\Gamma_1\le E\cdot A^{n-1}$ である。$\square$
$f\colon X\to Y$ を滑らかな射影多様体の間の全射とし、$d:=\dim Y$ とする。$y\in Y$ の上で $f$ は滑らかで、$F:=f^{-1}(y)$ は連結であるとする。このとき定数 $C>0$ があって、すべての $m\ge1$ で
$$
P_m(X)\le Cm^d\,P_m(F)
$$
である。したがって $\kappa(X)\le\kappa(F)+\dim Y$ であり、とくに $\kappa(F)=-\infty$ なら $\kappa(X)=-\infty$ である。
要点：ファイバーに沿って $k$ 位で消える切断の空間を $V_k$ とすると、$V_k/V_{k+1}$ は $F$ の上の多重標準形式で測られ、$k$ は $m$ に比例する値で止まる。
証明を開く
$d=0$ なら $X=F$ で自明なので $d\ge1$ とする。$X\subset\mathbb{P}^N$ と埋め込み、$A$ を超平面の類、$n=\dim X$ として $c:=\max\{K_X\cdot A^{n-1},0\}+1$ とおく。$\mathcal{I}$ を $F$ のイデアル層とする。$f$ は $F$ の近くで滑らかなので、$y$ での局所座標 $t_1,\dots,t_d$ の引き戻しは $F$ の近くで $\mathcal{I}$ を生成する正則列であり、$\mathcal{I}^k/\mathcal{I}^{k+1}\cong\mathcal{O}_F^{\oplus r_k}$（$r_k=\binom{k+d-1}{d-1}$）である。とくに法束は自明なので、随伴公式により $\omega_X|_F\cong\omega_F$ である。
$V_k:=H^0(X,\mathcal{I}^k\otimes\omega_X^{\otimes m})$ とおく。$V_0=H^0(X,\omega_X^{\otimes m})$ で、$\mathcal{I}^{k}$ から $\mathcal{I}^k/\mathcal{I}^{k+1}$ への全射により、単射 $V_k/V_{k+1}\hookrightarrow H^0(F,\omega_F^{\otimes m})^{\oplus r_k}$ が得られる。$0\ne s\in V_k$ なら、$x\in F$ で $E:=\operatorname{div}s$ の局所方程式は $\mathcal{I}^k\subset\mathfrak{m}_x^k$ に入るので、lem-ic-mult により $k\le\operatorname{mult}_xE\le mK_X\cdot A^{n-1}< cm$ である。よって $V_{cm}=0$ であり、
$P_m(X)=\sum_{k=0}^{cm-1}\dim V_k/V_{k+1}\le\sum_{k=0}^{cm-1}r_kP_m(F)=\binom{cm+d-1}{d}P_m(F)\le\bigl((c+d)m\bigr)^dP_m(F)$
である。$\kappa(F)=-\infty$ ならすべての $P_m(F)=0$ なので $P_m(X)=0$ である。$\kappa(F)=e\ge0$ なら $P_m(F)\le C'm^e$ なので、$P_m(X)/m^{d+e}$ は有界であり、$\kappa(X)\le d+e$ である。$\square$
代数的ファイバー空間の一般のファイバーは thm-ic-easy の仮定をみたす。予想と合わせると、$\kappa(F)+\kappa(Y)\le\kappa(X)\le\kappa(F)+\dim Y$ という挟み撃ちの形になる。
同値な言い換え
$f\colon X\to Y$ を代数的ファイバー空間、$F$ を一般のファイバーとし、$Y$ は一般型であるとする。このとき、conj-ic-main の不等式は、等式 $\kappa(X)=\kappa(F)+\dim Y$ と同値である。
$\kappa(Y)=\dim Y$ なので、conj-ic-main の不等式は $\kappa(X)\ge\kappa(F)+\dim Y$ である。逆向きの不等式は thm-ic-easy である。$\square$
この等式は Viehweg の定理として成り立つ（Bir09 §1, p. 2、Fuj17a Theorem 1.7。この記事では証明しない）。
すべての代数的ファイバー空間について conj-ic-main が成り立つとする。
- $f\colon X\to Y$ を滑らかな射影多様体の間の全射、$F'$ を $f$ の一般のファイバーの連結成分とすると、$\kappa(X)\ge\kappa(F')+\kappa(Y)$ である。
- $X,Y$ を双有理同値な滑らかな射影多様体に取り替えて、$f$ が射のままであるようにしても、conj-ic-main の両辺は変わらない。
2：小平次元は双有理不変である（小平次元）。一般のファイバーは双有理同値なものに替わるだけである。
1：Stein分解 により $f$ は連結なファイバーをもつ $g\colon X\to Y'$ と有限全射 $h\colon Y'\to Y$ に分解する。特異点解消により、$Y'$ の解消 $Y''$ と $X$ の双有理モデル $X''$ で、$g$ が射 $X''\to Y''$ を誘導するものがとれる。これは代数的ファイバー空間で、一般のファイバーは $F'$ と双有理同値である。$Y''\to Y$ は同じ次元の全射なので、小平次元 の命題「同じ次元への全射と小平次元」により $\kappa(Y'')\ge\kappa(Y)$ である。仮定により $\kappa(X)=\kappa(X'')\ge\kappa(F')+\kappa(Y'')\ge\kappa(F')+\kappa(Y)$ である。$\square$
底が曲線の場合
底が種数 $2$ 以上の曲線なら、相対標準層の順像の正値性から等式が出る。ここで使う正値性は Viehweg の弱正値性である。
$W$ を滑らかな射影多様体、$\mathcal{E}$ を $W$ の上の局所自由層とする。$\mathcal{E}$ が 弱正値 であるとは、すべての豊富な可逆層 $H$ とすべての正の整数 $\alpha$ について、ある正の整数 $\beta$ があって、$\operatorname{Sym}^{\alpha\beta}\mathcal{E}\otimes H^{\otimes\beta}$ が $W$ の生成点で大域切断で生成されることをいう。
これは Fuj17a Definition 7.2 を局所自由層に限って述べたものである。
$f\colon X\to Y$ を滑らかな射影多様体の間の全射とする。すべての $m\ge1$ について、$f_*\omega_{X/Y}^{\otimes m}$ は弱正値である（局所自由でないときは、Fuj17a の定義で捩れのない層として）。
これは Viehweg の定理で、Fuj17a Theorem 1.1 の $\Delta=0$、$k=1$ の場合である。この記事では証明しない。
$C$ を滑らかな射影曲線、$\mathcal{E}$ を弱正値な階数 $r\ge1$ の局所自由層とすると、$\deg\mathcal{E}\ge0$ である。
$H$ を次数 $h>0$ の可逆層、$\alpha>rh$ とし、$\beta$ を定義のとおりとり、$N:=\alpha\beta$、$\mathcal{V}:=\operatorname{Sym}^N\mathcal{E}\otimes H^{\otimes\beta}$、$R:=\operatorname{rank}\mathcal{V}=\binom{N+r-1}{r-1}$ とおく。生成点で独立な $R$ 個の切断の外積は $\det\mathcal{V}$ の $0$ でない切断なので、$\deg\mathcal{V}\ge0$ である。$\mathcal{E}$ を可逆層でフィルターづけして数えると $\deg\operatorname{Sym}^N\mathcal{E}=RN\deg\mathcal{E}/r$ なので、$\deg\mathcal{V}=RN\deg\mathcal{E}/r+R\beta h$ である。よって $\deg\mathcal{E}\ge-r\beta h/N=-rh/\alpha>-1$ であり、$\deg\mathcal{E}$ は整数なので $0$ 以上である。$\square$
$f\colon X\to C$ を代数的ファイバー空間、$C$ を種数 $g\ge2$ の曲線、$F$ を一般のファイバーとする。すべての $m\ge1$ で
$$
P_m(X)\ge(2m-1)(g-1)\,P_m(F)
$$
であり、$\kappa(X)=\kappa(F)+1$ である。
要点：$\mathcal{E}_m:=f_*\omega_{X/C}^{\otimes m}$ の次数が $0$ 以上なので、$\omega_C^{\otimes m}$ でひねると切断が階数と次数から数えられる。
証明を開く
$\mathcal{E}_m$ は曲線の上の捩れのない層なので局所自由で、階数 $r=P_m(F)$ である（$\omega_{X/C}|_F\cong\omega_F$）。$r=0$ なら不等式は自明なので $r\ge1$ とする。thm-ic-weak-positive と lem-ic-degree により $\deg\mathcal{E}_m\ge0$ である。$\omega_X^{\otimes m}\cong\omega_{X/C}^{\otimes m}\otimes f^*\omega_C^{\otimes m}$ なので、射影公式により $P_m(X)=h^0(C,\mathcal{E}_m\otimes\omega_C^{\otimes m})$ である。階数 $r$ の局所自由層 $\mathcal{V}$ は可逆層でフィルターづけできるので、曲線の Riemann–Roch の定理から $\chi(\mathcal{V})=\deg\mathcal{V}+r(1-g)$ である。$\mathcal{V}=\mathcal{E}_m\otimes\omega_C^{\otimes m}$ とすると $\deg\mathcal{V}=\deg\mathcal{E}_m+rm(2g-2)$ なので、$P_m(X)\ge\chi(\mathcal{V})\ge r(2m-1)(g-1)$ である。
$e:=\kappa(F)$ とする。$e=-\infty$ なら thm-ic-easy により両辺 $-\infty$ である。$e\ge1$ なら、$\kappa$ の最小性から $P_m(F)/m^{e-1}$ は有界でなく、$(2m-1)/m\ge1$ なので $P_m(X)/m^e\ge(g-1)P_m(F)/m^{e-1}$ も有界でない。よって $\kappa(X)\ge e+1$ である。$e=0$ なら、$P_a(F)\ge1$ となる $a$ があり、切断の冪から $P_{la}(F)\ge1$（$l\ge1$）なので、$P_{la}(X)\ge(2la-1)(g-1)$ は有界でなく、$\kappa(X)\ge1$ である。逆向きの不等式は thm-ic-easy である。$\square$
$X=C\times F$ で $m\ge2$ なら、$P_m(X)=P_m(C)P_m(F)=(2m-1)(g-1)P_m(F)$ なので（小平次元 の例「曲線の小平次元」）、不等式の等号が成り立つ。
底が種数 $1$ の曲線の場合も予想は成り立つ（Bir09 §1, p. 2 の川又の定理の紹介、HPS18 Theorem 1.1。この記事では証明しない）。この場合 $\deg\mathcal{E}_m=0$ でありうるので、上の議論では足りない。ただし曲面なら分類から出る。
$f\colon X\to Y$ を滑らかな射影曲面から滑らかな射影曲線への代数的ファイバー空間とする。conj-ic-main が成り立つ。
要点：残るのは底の種数が $1$ の場合で、$(-1)$ 曲線を縮約すると分類が使える。
証明を開く
$g$ を $Y$ の種数、$b$ を一般のファイバー $F$ の種数とする。$g=0$ または $b=0$ なら右辺は $-\infty$ である。$g\ge2$ なら thm-ic-curve である。$g=1$、$b\ge1$ とする。右辺は $\kappa(F)$ である。
$(-1)$ 曲線 $E\cong\mathbb{P}^1$ は種数 $1$ の曲線 $Y$ へ定値で写るので、$f$ は $E$ の縮約を通して分解する。この操作で小平次元も一般のファイバーも変わらないので、$X$ は $(-1)$ 曲線をもたないとしてよい。
$\kappa(X)=-\infty$ とする。Enriques–小平の分類 により $X$ は $\mathbb{P}^2$ か、曲線 $B$ の上の $\mathbb{P}^1$ 束 $\pi\colon X\to B$ である。$\mathbb{P}^2$ は $h^0(\Omega^1)=0$ なので、$h^0(\Omega^1_Y)=1$ の曲線への全射をもたない。$\mathbb{P}^1$ 束なら、$\pi$ のファイバーは $f$ で定値なので $f=h\circ\pi$ と分解し、$f$ のファイバーが連結なので $h$ は同型である。すると $F\cong\mathbb{P}^1$ となり $b\ge1$ に反する。よって $\kappa(X)\ge0$ であり、$b=1$ なら右辺は $0$ で主張が従う。
$b\ge2$ なら右辺は $1$ である。$\kappa(X)=0$ とすると、同じ分類により $12K_X\sim0$ なので $K_X\cdot F=0$ である。$F^2=0$ と随伴公式から $2b-2=F^2+K_X\cdot F=0$ となり、$b\ge2$ に反する。よって $\kappa(X)\ge1$ である。$\square$
$a\ge1$ とし、$X_a\subset\mathbb{P}^1\times\mathbb{P}^2$ を $\mathcal{O}(a,3)$ の滑らかな因子（Bertini の定理により存在する）、$f\colon X_a\to\mathbb{P}^1$ を射影とする。ファイバーは平面 3 次曲線なので連結で、一般のファイバー $F$ は楕円曲線である。随伴公式により $\omega_{X_a}\cong\mathcal{O}(a-2,0)|_{X_a}=f^*\mathcal{O}(a-2)$ で、$f_*\mathcal{O}_{X_a}=\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}$ なので $P_m(X_a)=h^0(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}(m(a-2)))$ である。
| $a$ | $P_m(X_a)$ | $\kappa(X_a)$ | $\kappa(F)+\kappa(\mathbb{P}^1)$ | $\kappa(F)+\dim\mathbb{P}^1$ |
|---|---|---|---|---|
| $1$ | $0$ | $-\infty$ | $-\infty$ | $1$ |
| $2$ | $1$ | $0$ | $-\infty$ | $1$ |
| $a\ge3$ | $m(a-2)+1$ | $1$ | $-\infty$ | $1$ |
$\kappa(F)$ と $Y$ が同じでも、$\kappa(X)$ は $-\infty$ から $\kappa(F)+\dim Y$ までのどの値もとる。$\kappa(Y)=-\infty$ のとき、conj-ic-main は $\kappa(X)$ について何も述べない。$a=2$ のとき $X_2$ は K3曲面 である。
順像で見た難しさ
thm-ic-curve の骨組みは、一般の底でも同じ形をとる。$\omega_X^{\otimes m}\cong\omega_{X/Y}^{\otimes m}\otimes f^*\omega_Y^{\otimes m}$ と射影公式から
$$
P_m(X)=h^0\bigl(Y,\ f_*\omega_{X/Y}^{\otimes m}\otimes\omega_Y^{\otimes m}\bigr)
$$
である。$f_*\omega_{X/Y}^{\otimes m}$ の階数は $P_m(F)$ なので、右辺の層は $\kappa(F)$ の情報を階数に、$\kappa(Y)$ の情報を $\omega_Y^{\otimes m}$ にもっている。$\omega_Y$ に十分な正値性があれば、弱正値な層をひねって切断が階数に比例する数だけ得られる。thm-ic-curve はこの筋の最も簡単な場合である。
$\kappa(Y)=0$ のように $\omega_Y$ に正値性がないと、この論法は動かない。弱正値な層は切断をもつとは限らないからである。たとえば楕円曲線の上の次数 $0$ で位数無限の可逆層 $\mathcal{L}$ は、$\operatorname{Sym}^{\alpha\beta}\mathcal{L}\otimes H^{\otimes\beta}$ の次数が $\beta\deg H$ なので弱正値だが、どのテンソル冪も $0$ でない切断をもたない。$Y$ がアーベル多様体の場合の CP17 の証明は、順像の行列式が巨大な場合と位相的に自明な場合に分けて、この困難を処理している（同 §1）。
現状
次の場合に予想は定理である。どれもこの記事では証明しない。
| 条件 | 証明した人 | 文献の所在 |
|---|---|---|
| $Y$ が一般型 | Viehweg（1983） | Bir09 §1 |
| $\dim Y=1$ | 川又雄二郎（1982） | Bir09 §1 |
| $F$ が良い極小モデルをもつ | 川又（1985） | Bir09 §1 |
| $F$ が一般型 | Kollár（1987） | Bir09 §1 |
| $\dim X\le6$ | Birkar（2009） | Bir09 Theorem 1.3 |
| $Y$ がアーベル多様体 | Cao–Păun（2017） | CP17 Theorem 1.1 |
| $Y$ の Albanese 写像が像の上に生成的に有限 | Hacon–Popa–Schnell（2018） | HPS18 Theorem 1.1 |
| $\dim Y\le2$ | Cao（2018） | Cao18 Theorem 1.1 |
川又の 1985 年の結果により、$n-m$ 次元の小平次元が非負の多様体で極小モデル予想と豊富性予想が成り立てば、予想 $C_{n,m}$ は従う（Bir09 §1）。$\dim X\le6$ の結果は、$n=6$、$m=2$ の場合を除いてこの還元と、低い次元で知られている極小モデル理論の結果から従う。$n=6$、$m=2$ の場合には Bir09 Theorem 1.4 も使う。
$Y$ がアーベル多様体の場合は、上野健爾（Kenji Ueno）の予想の一部を与える。$\kappa(X)=0$ なら、Albanese多様体 への写像は代数的ファイバー空間である（Bir09 §1 の川又の定理の紹介）。CP17 の定理から $\kappa(F)\le0$ で、thm-ic-easy から $\kappa(F)\ne-\infty$ なので、一般のファイバーについて $\kappa(F)=0$ である。
Viehweg による強い形もある。$\kappa(Y)\ge0$ のとき、$f$ のファイバーの双有理的な変動の大きさ $\operatorname{var}(f)$ を用いて
$$
\kappa(X)\ge\kappa(F)+\max\{\kappa(Y),\operatorname{var}(f)\}
$$
が予想される（Bir09 Conjecture 1.2、予想 $C^+_{n,m}$）。これは $Y$ が一般型の場合と $F$ が一般型の場合に知られている（同 §1）。
対数版もある。代数多様体の支配的な射 $g\colon V\to W$ と、十分一般のファイバーの既約成分 $F$ について、対数小平次元 $\bar\kappa$ で $\bar\kappa(V)\ge\bar\kappa(F)+\bar\kappa(W)$ を問うものである。$V$ が完備なら上の予想そのものである。この対数版は、一般化された豊富性予想の特別な場合に帰着され、$\dim V\le3$ では成り立つ（Fuj17b Conjecture 1.1・Corollary 1.5。証明の一部の不等式の修正は Fuj20 §1）。
$X$ が Kähler であることを仮定しないコンパクト複素多様体のファイバー空間では、不等式が成り立たないことがある（HZ24 §1.1 の上野の注意の紹介。この記事では証明しない）。
反例：条件を外すと
| 外す条件・誤解 | 例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 誤解「等式 $\kappa(X)=\kappa(F)+\kappa(Y)$ が成り立つ」 | ex-ic-bidegree の $X_2$ | $\kappa(X)=0$ だが右辺は $-\infty$ |
| thm-ic-easy の $\dim Y$ を $\kappa(Y)$ に替える | 同じ $X_2$ | $\kappa(X)\le\kappa(F)+\kappa(Y)$ |
| thm-ic-easy で等号を期待する | 楕円曲線 $E$ の積の射影 $E\times E\to E$ | $\kappa(X)=0$ だが $\kappa(F)+\dim Y=1$ |
| 「一般のファイバー」を特異ファイバーの成分に替える | $X_2$ の特異ファイバーの既約成分の正規化 $G\cong\mathbb{P}^1$ | $\kappa(X)\le\kappa(G)+\dim Y$ |
| $Y$ の滑らかさ（標準層を双対化層に替える） | 滑らかな平面 4 次曲線の錐 $Y\subset\mathbb{P}^3$ と頂点の解消 $X\to Y$ | $\kappa(X)\ge\kappa(F)+$「$\kappa(Y)$」 |
$\dim Y$ を $\kappa(Y)$ に替える．ex-ic-bidegree により $\kappa(X_2)=0$、$\kappa(F)=0$、$\kappa(\mathbb{P}^1)=-\infty$ である。
特異ファイバー．$X_2$ のファイバーの方程式の係数は $\mathbb{P}^1$ の 2 次形式で、平面 3 次曲線の判別式は係数の $12$ 次式なので、判別式は $\mathbb{P}^1$ の $24$ 次形式である。一般のファイバーは滑らかなのでこの形式は $0$ でなく、零点をもつ。その零点の上のファイバーは特異な平面 3 次曲線で、既約成分の正規化はどれも $\mathbb{P}^1$ である。$\kappa(\mathbb{P}^1)=-\infty$ なので、thm-ic-easy の結論の形は $F$ を $G$ に替えると崩れる。
$Y$ の滑らかさ．小平次元 の反例の表の錐の例により、$Y$ の双対化層 $\omega^\circ_Y$ は自明で、$h^0((\omega^\circ_Y)^{\otimes m})=1$ である。$\omega^\circ_Y$ で測った値を「$\kappa(Y)$」と書くと $0$ である。$f\colon X\to Y$ を $Y$ の頂点の解消とすると、$X$ は滑らかな平面 4 次曲線の上の $\mathbb{P}^1$ 束で $\kappa(X)=-\infty$ であり、$F$ は 1 点である。
関連項目
- 前提: 小平次元, 多重種数, 標準層, Riemann–Rochの定理
- 比較: 双有理幾何学, Enriques–小平の分類
- 例: 楕円曲面, K3曲面, 線織曲面
- 発展: Albanese多様体, 錐定理, 藤田予想
参考文献
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