相対Proj

$V$ 上の準連接層 $\mathcal{F}$ は $M=\mathcal{F}(V)$ について $\mathcal{F}\cong\widetilde M$ であり、開埋め込み $j\colon W\to V$ について $\mathcal{F}|_W=j^*\mathcal{F}\cong(M\otimes_BC)^\sim$ である（Har77 II.5.2 (e)）。大域切断をとると $m\otimes c\mapsto c\cdot m|_W$ が同型 $M\otimes_BC\cong\mathcal{F}(W)$ を与える。これを各 $\mathcal{S}_d$ に当てれば各次数で同型であり、制限写像は環準同型なので積も保つ。$\square$

$f\in\mathcal{S}(V)$ を正の次数の斉次元、$f_W,f_U$ をその制限とする。両辺はどちらも $D_+(f_U)$ を $D_+(f)$ に写し、その上で左辺は $\mathcal{S}(V)_{(f)}\to\mathcal{S}(W)_{(f_W)}\to\mathcal{S}(U)_{(f_U)}$ の合成、右辺は制限 $\mathcal{S}(V)\to\mathcal{S}(U)$ から作った $\mathcal{S}(V)_{(f)}\to\mathcal{S}(U)_{(f_U)}$ が定める射である。制限写像の合成は制限写像なので二つの環準同型は等しく、アフィンスキームへの射は環準同型で決まるので両辺は $D_+(f_U)$ の上で一致する。$D_+(f_U)$ は $P_U$ を覆うので両辺は等しい。$\square$

$V=\operatorname{Spec}B\supset W=\operatorname{Spec}C$、$f\in\mathcal{S}(V)$ を正の次数の斉次元とし、$\rho(f)$ も $f$ と書く。lem-relative-proj-coefficient により $\mathcal{S}(W)_f\cong\mathcal{S}(V)_f\otimes_BC$ は次数を保つ同型なので、$\mathcal{S}(W)_{(f)}\cong\mathcal{S}(V)_{(f)}\otimes_BC$、$(\mathcal{S}(W)_f)_n\cong(\mathcal{S}(V)_f)_n\otimes_BC$ であり、$(\mathcal{S}(V)_f)_n\otimes_{\mathcal{S}(V)_{(f)}}\mathcal{S}(W)_{(f)}\to(\mathcal{S}(W)_f)_n$、$(a/f^m)\otimes t\mapsto t\,\rho(a)/f^m$ は同型である。左辺は $D_+(f)\subset P_W$ の上の $\varphi_{V,W}^*\mathcal{O}_{P_V}(n)$ の切断、右辺は $\mathcal{O}_{P_W}(n)$ の切断である（Serreのひねり層 の命題「付随する層の茎と座標近傍」の 2 と Har77 II.5.2 (e)）。これは $D_+(fg)$ への局所化と両立するので同型 $\gamma_{V,W}$ を与え、$U\subset W\subset V$ では制限の合成が制限であることから $\gamma_{V,U}=\gamma_{W,U}\circ\varphi_{W,U}^*\gamma_{V,W}$ が成り立つ。

thm-relative-proj-existence の証明の $P_{V,V'}$ の上の同型 $\psi_{V'V}^*\mathcal{O}_{P_{V'}}(n)\cong\mathcal{O}_{P_V}(n)$ を、アフィン開集合 $W\subset V\cap V'$ ごとに $\gamma_{V',W}$ と $\gamma_{V,W}$ を合わせて定める。上の推移関係により $W$ の取り方によらず、三つの共通部分で両立するので、層の貼り合わせ（Har77 II Ex. 1.22）により 1 の $\mathcal{O}_P(n)$ を得る。準連接性は局所的な性質である。2 は $\pi^{-1}(V)$ ごとに Serreのひねり層 の定理「ひねり層の可逆性と積」を使えばよい。そこでの同型 $\mathcal{O}_{P_V}(1)^{\otimes n}\cong\mathcal{O}_{P_V}(n)$ は座標近傍の上で積（$n< 0$ では $\mathcal{O}_{P_V}(-1)$ の切断の積）で与えられ、$\gamma_{V,W}$ は環準同型 $\rho$ から作られるので積と両立し、局所的な同型は貼り合わさる。$\square$

$V\in\mathcal{V}_{\mathcal{L}}$ の上で、$\theta_e$ が導く次数付き環の同型 $\mathcal{S}(V)_f\cong\mathcal{S}_{\mathcal{L}}(V)_{\theta_e(f)}$ の次数 $1$ の部分 $a/f^m\mapsto\theta_e(a)/\theta_e(f)^m$ は、座標環の同型を通した座標近傍ごとの同型で、局所化と両立するので、同型 $\alpha_e\colon\Phi^*\mathcal{O}_P(1)\to\mathcal{O}_{P_{\mathcal{L}}}(1)$ を $\pi_{\mathcal{L}}^{-1}(V)$ の上で与える。$e'=ue$ に替えると、$a\in\mathcal{S}_{mk+1}(V)$、$f\in\mathcal{S}_k(V)$ について $\theta_{e'}(a)/\theta_{e'}(f)^m=u^{mk+1}\theta_e(a)/(u^{mk}\theta_e(f)^m)=u\,\theta_e(a)/\theta_e(f)^m$ なので、$\alpha_{e'}=u\,\alpha_e$ である（$u$ は $\pi_{\mathcal{L}}$ で引き戻した関数）。そこで $\beta_V\colon\Phi^*\mathcal{O}_P(1)\otimes\pi_{\mathcal{L}}^*\mathcal{L}\to\mathcal{O}_{P_{\mathcal{L}}}(1)$ を $t\otimes g\,\pi_{\mathcal{L}}^*e\mapsto g\,\alpha_e(t)$ で定めると、$t\otimes g\,\pi_{\mathcal{L}}^*e'=t\otimes gu\,\pi_{\mathcal{L}}^*e$ の行き先はどちらの基底で計算しても $gu\,\alpha_e(t)$ なので、$\beta_V$ は $e$ によらない。$\alpha_e$ は小さいアフィン開集合への制限で $\alpha_{e|_W}$ になるので $\beta_V$ は貼り合わさり、局所的に同型な射、すなわち 2 の同型を与える。$\square$

$(x_1\otimes l_1)\cdots(x_d\otimes l_d)\mapsto x_1\cdots x_d\otimes(l_1\otimes\cdots\otimes l_d)$ は、$\mathcal{L}$ が基底 $e$ をもつアフィン開集合の上では $\operatorname{Sym}^d$ の普遍性から定まる同型 $\operatorname{Sym}^d(E\otimes Be)\cong\operatorname{Sym}^dE\otimes Be^d$ であり、局所的な定義が一致するので層の同型 $\operatorname{Sym}^d(\mathcal{E}\otimes\mathcal{L})\cong\operatorname{Sym}^d\mathcal{E}\otimes\mathcal{L}^d$ を与える。これは積と両立するので次数付き代数の同型 $\operatorname{Sym}(\mathcal{E}\otimes\mathcal{L})\cong(\operatorname{Sym}\mathcal{E})_{\mathcal{L}}$ になる。次数付き代数の同型は各 $P_V$ の同型を導き、それらは $\varphi$ と両立するので $\mathbf{Proj}$ の同型を与える。あとは thm-relative-proj-twist による。$\square$

1：$V=\operatorname{Spec}B$ とする。$\mathcal{S}_1|_V$ は連接なので $\mathcal{S}_1(V)$ は有限生成 $B$ 加群である（Har77 II.5.5）。生成元 $s_0,\dots,s_n$ をとると、$T_i\mapsto s_i$ で定まる $B[T_0,\dots,T_n]\to\mathcal{S}(V)$ は、$\mathcal{S}(V)_0=B$ で $\mathcal{S}(V)$ が $\mathcal{S}_1(V)$ で生成されるので全射な次数付き準同型である。射影射 の命題「次数付き環の全射が誘導する閉埋め込み」により閉埋め込み $P_V\to\mathbb{P}^n_V$ を得て、$\mathcal{O}(1)$ の引き戻しは $\mathcal{O}_{P_V}(1)$ である。実際、$D_+(T_i)$ の逆像は $D_+(s_i)$ で、これらは $P_V$ を覆い（$\mathcal{S}(V)_+$ は $s_0,\dots,s_n$ で生成される）、その上で $(B[T]_{T_i})_1\otimes_{B[T]_{(T_i)}}\mathcal{S}(V)_{(s_i)}\to(\mathcal{S}(V)_{s_i})_1$ は基底 $T_i\otimes1$ を基底 $s_i$ に送る階数 $1$ の自由加群の同型であり（Serreのひねり層 の定理「ひねり層の可逆性と積」の 1）、局所化と両立する（Har77 II.5.12 (c)、p. 117）。条件 1・2 と prop-relative-proj-twisting-sheaf により $\pi^{-1}(V)\cong P_V$ で $\mathcal{O}_P(1)$ は $\mathcal{O}_{P_V}(1)$ に対応する。

2：$\mathbb{P}^n_V\to V$ は固有（射影射 の定理「射影射は固有である」）で、閉埋め込みは固有、固有射の合成は固有なので、$\pi^{-1}(V)\to V$ は固有である。$Y$ は有限個のアフィン開集合で覆われ、各 $P_V$ は Noether 環上有限型なので $P$ は Noether スキームである。固有であることは底の上で局所的なので（Har77 II.4.8 (f)、p. 102）、$\pi$ は固有である。$\square$