Urysohnの補題

$S(x):=\{r\in D\mid x\in U_r\}$ とおく。$f(x)$ は $[0,1]$ の空でない部分集合 $S(x)\cup\{1\}$ の下限なので $0\le f(x)\le1$ である。
1：$x\in U_r$ なら $r\in S(x)$ なので $f(x)\le r$ である。
2：$x\notin\overline{U_r}$ とする。$r'\in D$、$r'< r$ なら $U_{r'}\subset\overline{U_{r'}}\subset U_r\subset\overline{U_r}$ なので $x\notin U_{r'}$ であり、$r'=r$ でも $x\notin U_r$ である。よって $S(x)\subset(r,1]$ となり、$S(x)\cup\{1\}$ の元はすべて $r$ 以上だから $f(x)\ge r$ である。$x\notin U_1$ なら、$r<1$ について $U_r\subset\overline{U_r}\subset U_1$ なので $S(x)=\emptyset$ であり、$f(x)=1$ である。
連続性：実数 $a$ に対し、$\{x\mid f(x)< a\}$ と $\{x\mid f(x)>a\}$ が開集合であることを示す。
(i) $\{f< a\}$。$a>1$ なら $X$ 全体、$a\le0$ なら空集合なので、どちらも開である。$0< a\le1$ のとき
$$ \{x\mid f(x)< a\}=\bigcup_{r\in D,\ r< a}U_r $$
を示す。右辺の $x$ は、ある $r< a$ で $x\in U_r$ なので 1 により $f(x)\le r< a$ である。逆に $f(x)< a$ なら、下限の定義から $S(x)\cup\{1\}$ に $a$ より小さい元がある。$1\ge a$ なのでそれは $S(x)$ の元 $r$ であり、$x\in U_r$、$r< a$ である。右辺は開集合の和なので開である。
(ii) $\{f>a\}$。$a\ge1$ なら空集合、$a<0$ なら $X$ 全体である。$0\le a<1$ のとき
$$ \{x\mid f(x)>a\}=\bigcup_{r\in D,\ r>a}\bigl(X\setminus\overline{U_r}\bigr) $$
を示す。右辺の $x$ は、ある $r>a$ で $x\notin\overline{U_r}$ なので 2 により $f(x)\ge r>a$ である。逆に $f(x)>a$ なら、$D$ の稠密性から $a< r< s< f(x)$ となる $r,s\in D$ がとれる。$x\in U_s$ なら 1 により $f(x)\le s$ となって矛盾するので $x\notin U_s$ であり、$\overline{U_r}\subset U_s$ だから $x\notin\overline{U_r}$ である。右辺は閉集合の補集合の和なので開である。
実数直線の開集合は開区間の和であり、開区間 $(a,b)$ の逆像は $\{f< b\}\cap\{f>a\}$ なので開である。よって $\mathbb{R}$ の開集合の $f$ による逆像は開であり、$f\colon X\to[0,1]$ は連続である。$\square$

段 1（両端の目盛り）。$U_1:=X\setminus B$ とおく。$B$ は閉なので $U_1$ は開で、$A\cap B=\emptyset$ より $A\subset U_1$ である。閉集合 $A$ を $U_1$ の中で閉包ごと縮めて、開集合 $U_0$ を $A\subset U_0\subset\overline{U_0}\subset U_1$ となるようにとる。これで $D_0=\{0,1\}$ の目盛りができ、$\overline{U_0}\subset U_1$ が成り立つ。
段 2（目盛りを細かくする）。$m\ge0$ とし、$r\in D_m$ に対する開集合 $U_r$ が、$D_m$ の中で隣り合う $r< s$（$s=r+2^{-m}$）について $\overline{U_r}\subset U_s$ を満たすように定まっているとする。$D_{m+1}\setminus D_m$ の各元 $t$ は、$D_m$ の隣り合う 2 元 $r=t-2^{-m-1}$ と $s=t+2^{-m-1}$ のちょうど中点である。閉集合 $\overline{U_r}$ を開集合 $U_s$ の中で閉包ごと縮めて
$$ \overline{U_r}\subset U_t\subset\overline{U_t}\subset U_s $$
となる開集合 $U_t$ をとる。すると $D_{m+1}$ の中で隣り合う組は $(r,t)$ と $(t,s)$ の形のものだけで、そのどちらについても閉包の条件が成り立つ。$m$ についての帰納法で、すべての $r\in D$ に $U_r$ が定まる。
段 3（隣り合う組から全部の組へ）。$r< s$ を $D$ の元とする。$r,s\in D_m$ となる $m$ をとり、$D_m$ の中で $r=r_0< r_1<\dots< r_N=s$ と隣り合う元を並べる。段 2 により $\overline{U_{r_i}}\subset U_{r_{i+1}}$ だから
$$ \overline{U_{r_0}}\subset U_{r_1}\subset\overline{U_{r_1}}\subset U_{r_2}\subset\cdots\subset U_{r_N} $$
となり、$\overline{U_r}\subset U_s$ である。$D_m$ の中で隣り合う組の条件は、それより細かい $D_{m'}$ で $U_r$ を定め直さないので、どの $m$ で見ても同じ族について成り立っている。
段 4（関数を読み取る）。族 $(U_r)_{r\in D}$ に lem-urylem-scale を適用して連続関数 $f\colon X\to[0,1]$ を得る。$A\subset U_0$ なので、同じ補題の 1 により $A$ 上で $f=0$ である。$B=X\setminus U_1$ なので、同じ補題の 2 により $B$ 上で $f=1$ である。$\square$

$X$ は $T_1$ なので $\{x\}$ は閉集合であり、$x\notin F$ より $\{x\}$ と $F$ は互いに素な閉集合である。thm-urylem-main により求める $f$ がある。Hausdorff 性は正規空間の記事の命題「正規空間は正則かつ Hausdorff」による。$\square$

必要性：$f$ が連続なら、$f^{-1}([0,1/n))$ は開集合で、
$$ f^{-1}(0)=\bigcap_{n\ge1}f^{-1}\bigl([0,1/n)\bigr) $$
なので $f^{-1}(0)$ は $G_\delta$ 集合である。
十分性：$A=\bigcap_{n\ge1}G_n$（$G_n$ は開集合）とする。各 $n$ について $A$ と $X\setminus G_n$ は互いに素な閉集合なので、thm-urylem-main により $A$ 上で $0$、$X\setminus G_n$ 上で $1$ となる連続関数 $f_n\colon X\to[0,1]$ がある（$n$ ごとに 1 つ選ぶ）。
$$ f:=\sum_{n=1}^{\infty}2^{-n}f_n $$
とおく。部分和 $s_N:=\sum_{n\le N}2^{-n}f_n$ は連続で、すべての $x$ で $\lvert f(x)-s_N(x)\rvert\le\sum_{n>N}2^{-n}=2^{-N}$ だから、$s_N$ は $f$ に一様収束する。連続写像の一様極限は連続なので（距離空間の位相の基本的性質の記事の命題「連続写像の一様極限は連続」）、$f$ は連続で、値は $[0,1]$ に入る。$x\in A$ ならすべての $f_n(x)=0$ で $f(x)=0$ である。$x\notin A$ なら $x\notin G_n$ となる $n$ があり、$f_n(x)=1$ なので $f(x)\ge2^{-n}>0$ である。よって $f^{-1}(0)=A$ である。$\square$