Montelの定理

局所有界とする。コンパクト集合 $K$ の各点の近傍 $V$ と定数 $M$ を定義のとおりにとると、$K$ は有限個の $V_1,\dots,V_p$ で覆えるので、$M_K:=\max_iM_i$ とすればよい。逆に後者の条件を仮定すると、$a\in U$ の閉球 $\{|z-a|\le\varepsilon\}\subset U$ はコンパクトなので、その内部を $V$ とすればよい。$\square$

1. $a\in K$ とする。$y\in\Delta(a,2\rho)$ なら $|y-a|<2\sqrt n\,\rho$ なので $y\in L$ である。よって $f$ は $\Delta(a,2\rho)$ の上で正則で $|f|\le M$ を満たし、多重円板 の系「Cauchy の評価式と Liouville の定理」の 1 により $|\partial^\alpha f(a)|\le M\,\alpha!\,(2\rho)^{-\alpha_1}\cdots(2\rho)^{-\alpha_n}=M\,\alpha!\,(2\rho)^{-|\alpha|}$ である。
2. $z\in K$、$|w-z|<\rho$ とし、線分上の点 $\zeta:=z+t(w-z)$（$0\le t\le1$）を考える。$|\zeta-z|<\rho$ なので、$y\in\Delta(\zeta,\rho)$ について $|y-z|\le|y-\zeta|+|\zeta-z|<\sqrt n\,\rho+\rho\le2\sqrt n\,\rho$ であり、$\Delta(\zeta,\rho)\subset L$ である。特に $t=1$ として $w\in L\subset U$ である。多重円板 の同じ系を $\Delta(\zeta,\rho)$ と $|\alpha|=1$ に使うと $|\partial f/\partial z_j(\zeta)|\le M/\rho$ である。$f$ は $C^1$ 級で $\partial f/\partial\bar z_j=0$ なので、実の連鎖律を Wirtinger の微分作用素で書くと、$\varphi(t):=f(z+t(w-z))$ は
   $$ \varphi'(t)=\sum_{j=1}^n\Bigl(\frac{\partial f}{\partial z_j}(\zeta)(w_j-z_j)+\frac{\partial f}{\partial\bar z_j}(\zeta)\overline{(w_j-z_j)}\Bigr)=\sum_{j=1}^n\frac{\partial f}{\partial z_j}(\zeta)(w_j-z_j) $$
   を満たす。よって Cauchy–Schwarz の不等式 $\sum_j|w_j-z_j|\le\sqrt n\,|w-z|$ から
   $$ |f(w)-f(z)|=\Bigl|\int_0^1\varphi'(t)\,dt\Bigr|\le\frac M\rho\sum_{j=1}^n|w_j-z_j|\le\frac{\sqrt n\,M}{\rho}|w-z| $$
   である。$\square$

$f\in\mathcal{O}(U)$ であることは 多変数の正則関数 の定理「局所一様極限」である（各点の近傍での一様収束は、上で見たとおりここでの局所一様収束と同値）。空でないコンパクト集合 $K\subset U$ に対し、mt-lem-derivative の $\rho$ と $L$ をとり、その 1 を $f_m-f\in\mathcal{O}(U)$ に使うと
$$ \max_K|\partial^\alpha f_m-\partial^\alpha f|\le\alpha!\,(2\rho)^{-|\alpha|}\max_L|f_m-f| $$
である。$L$ はコンパクトなので右辺は $m\to\infty$ で $0$ に収束する。$\square$

段 1（コンパクト集合の増大列）。 $j=1,2,\dots$ について
$$ K_j:=\Bigl\{z\in\mathbb{C}^n\ \Big|\ |z|\le j,\ \operatorname{dist}(z,\mathbb{C}^n\setminus U)\ge\frac1j\Bigr\} $$
とおく。$z\mapsto\operatorname{dist}(z,\mathbb{C}^n\setminus U)$ は連続なので $K_j$ は有界な閉集合、すなわちコンパクトであり、$K_j\subset U$、$K_j\subset K_{j+1}$ である。任意のコンパクト集合 $K\subset U$ は有界で、$\mathbb{C}^n\setminus U$ から正の距離にあるので（mt-lem-derivative の後の説明）、十分大きい $j$ で $K\subset K_j$ となる。特に $U=\bigcup_jK_j$ である。
段 2（同程度連続性）。 $K_j\ne\emptyset$ とし、mt-lem-derivative の条件を満たす $\rho_j>0$ と $L_j$ をとる。$\mathcal{F}$ は局所有界なので、mt-prop-compact-bound により $M_j:=\sup_{f\in\mathcal{F}}\max_{L_j}|f|<\infty$ である。mt-lem-derivative の 2 により、$z,w\in K_j$、$|w-z|<\rho_j$ ならすべての $f\in\mathcal{F}$ について
$$ |f(w)-f(z)|\le\sqrt n\,M_j\rho_j^{-1}|w-z| $$
である。$\varepsilon>0$ に対し $\delta:=\min\{\rho_j,\ \varepsilon\rho_j/(\sqrt n\,M_j+1)\}$ とおけば、$|w-z|<\delta$ ならすべての $f\in\mathcal{F}$ について $|f(w)-f(z)|<\varepsilon$ である。したがって $\mathcal{F}$ の元を $K_j$ に制限した族は同程度連続であり、$|f|\le M_j$ により一様有界である。
段 3（対角線論法）。 $(f_m)$ を $\mathcal{F}$ の列とする。$K_j$ はコンパクトな距離空間であり、段 2 と Arzelà–Ascoliの定理（$\mathbb{C}=\mathbb{R}^2$ とみる）により、$(f_m)$ の部分列 $(f^{(1)}_i)_i$ で $K_1$ 上一様収束するものがあり、その部分列 $(f^{(2)}_i)_i$ で $K_2$ 上一様収束するものがあり、以下同様に、$(f^{(j)}_i)_i$ が $(f^{(j-1)}_i)_i$ の部分列で $K_j$ 上一様収束するようにとれる（$K_j=\emptyset$ のときは部分列を取り替えない）。対角線の列 $g_k:=f^{(k)}_k$ は $(f_m)$ の部分列であり、$k\ge j$ の部分 $(g_k)_{k\ge j}$ は $(f^{(j)}_i)_i$ の部分列なので、各 $K_j$ の上で一様収束する。$U=\bigcup_jK_j$ なので、各点 $z\in U$ で極限 $f(z):=\lim_kg_k(z)$ が存在する。段 1 により任意のコンパクト集合 $K\subset U$ はある $K_j$ に含まれるので、$(g_k)$ は $f$ に局所一様収束する。
段 4（極限の正則性と導関数）。 mt-lem-limit により $f\in\mathcal{O}(U)$ であり、各 $\alpha$ について $\partial^\alpha g_k\to\partial^\alpha f$ は局所一様である。$\square$

mt-thm-main を第 1 成分に使って部分列をとり、その部分列の第 2 成分に使ってさらに部分列をとる。これを $p$ 回繰り返すと、すべての成分が局所一様収束する部分列が得られ、極限の各成分は正則である。$\square$

局所有界でないとすると、mt-prop-compact-bound により、コンパクト集合 $K\subset U$ で $\sup_{f\in\mathcal{F}}\max_K|f|=\infty$ となるものがある。各 $m$ について $\max_K|f_m|\ge m$ となる $f_m\in\mathcal{F}$ を選ぶ。正規族なので、部分列 $(f_{m_k})$ が $K$ 上で関数 $g$ に一様収束する。$g$ は連続関数の一様極限なので連続で、$K$ 上で $|g|\le B$ となる定数 $B$ がある。十分大きい $k$ で $\max_K|f_{m_k}-g|\le1$ なので $\max_K|f_{m_k}|\le B+1$ であるが、これは $m_k\to\infty$ に反する。$\square$

段 1。 $(f_m)$ の任意の部分列は、mt-thm-main により、$\mathcal{O}(U)$ のある元に局所一様収束する部分列をもつ。特に、$(f_m)$ の部分列の局所一様極限として現れる関数が少なくとも 1 つある。
段 2。 $g,h\in\mathcal{O}(U)$ がどちらも $(f_m)$ のある部分列の局所一様極限なら、$A$ の各点 $z$ で $g(z)=\lim_mf_m(z)=h(z)$ である。仮定 1 の場合は、$g$ と $h$ が空でない開集合の上で一致するので、多変数の正則関数 の定理「多変数の一致の定理」により $g=h$ である。仮定 2 の場合は、$\{g=h\}\supset A$ が $U$ に集積点をもつので、一致の定理 の定理「平面の領域上の一致の定理」により $g=h$ である。この共通の関数を $f$ とおく。
段 3。 $(f_m)$ が $f$ に局所一様収束しないとすると、コンパクト集合 $K\subset U$、$\varepsilon>0$ と部分列 $(f_{m_k})$ で、すべての $k$ について $\max_K|f_{m_k}-f|\ge\varepsilon$ となるものがある。段 1 によりこの部分列はさらに局所一様収束する部分列をもち、段 2 によりその極限は $f$ である。すると、その部分列の上で $\max_K|f_{m_k}-f|\to0$ となって矛盾する。$\square$