整流定理

thm-fbx-main を示す。
段 0（$S$ を用意する）．(R2) の $S$ が与えられていないときは、$p$ を中心とする局所座標 $(U;x^1,\dots,x^n)$ をとり、$X=\sum_iX^i\,\partial/\partial x^i$ と書いて $X^j(p)\neq0$ となる $j$ を選び、$S:=\{q\in U\mid x^j(q)=0\}$ とおく。$S$ は $(n-1)$ 次元の部分多様体で、$T_pS$ は $dx^j_p$ の核であり、$dx^j_p(X_p)=X^j(p)\neq0$ なので $X_p\notin T_pS$ である。以下、$S$ は (R2) の条件を満たすとする。
段 1（$S$ のパラメータ表示）．$S$ の $p$ のまわりのスライス座標 $(V_0;z^1,\dots,z^n)$ を $z(p)=0$、$S\cap V_0=\{z^n=0\}$ となるようにとる（埋め込まれた部分多様体 の定義「部分多様体」）。$0\in\mathbb{R}^{n-1}$ の開近傍 $\Omega$ の上で $\sigma(u):=z^{-1}(u,0)$ とおくと、$\sigma$ は滑らかで $\sigma(0)=p$、$\sigma(\Omega)\subset S$ であり、$d\sigma_0$ は $\mathbb{R}^{n-1}$ から $T_pS$ への線形同型である。$f:=z^n$ とおくと、$V_0$ の上で $S=\{f=0\}$ であり、$T_pS=\ker df_p$ なので $df_p(X_p)\neq0$ である。
段 2（流して座標を作る）．
$$ \psi(t,u):=\Phi_t\bigl(\sigma(u)\bigr) $$
とおく。$\mathcal{D}$ は $\{0\}\times M$ を含む開集合で、$(t,u)\mapsto(t,\sigma(u))$ は連続なので、$\psi$ は $(0,0)$ の開近傍で定義され、滑らかである。$\Phi_0=\mathrm{id}$ なので $\psi(0,u)=\sigma(u)$ であり、
$$ d\psi_{(0,0)}\Bigl(\frac{\partial}{\partial t}\Bigr)=X_p,\qquad d\psi_{(0,0)}\Bigl(\frac{\partial}{\partial u^i}\Bigr)=d\sigma_0(e_i)\quad(i=1,\dots,n-1) $$
である。後者は $T_pS$ の基底で、$X_p\notin T_pS$ なので、合わせて $T_pM$ の基底になる。よって $d\psi_{(0,0)}$ は線形同型であり、逆関数定理 の定理「可微分多様体の間の写像の局所可逆性」により、$(0,0)$ の開近傍 $O$ で $\psi|_O$ が開集合 $\psi(O)$ への微分同相写像になるものがある。
$g(t,u):=f\bigl(\psi(t,u)\bigr)$ とおくと、$\frac{\partial g}{\partial t}(0,0)=df_p(X_p)\neq0$ である。$O$ を小さくして、$O=(-\delta,\delta)\times B$（$B$ は $0$ を中心とする開球）、$\psi(O)\subset V_0$、$O$ の上で $\partial g/\partial t\neq0$ となるようにする。$V:=\psi(O)$、$y=(y^1,\dots,y^n):=(\psi|_O)^{-1}$ とおくと、$(V;y)$ は $p$ のまわりの局所座標で、$y^1$ は時間 $t$、$(y^2,\dots,y^n)$ は $u$ にあたる。
段 3（$X=\partial/\partial y^1$）．$q=\psi(t,u)\in V$ での座標ベクトル $\partial/\partial y^1|_q$ は、曲線 $s\mapsto\psi(t+s,u)$ の $s=0$ での速度である。流れの群の法則（ベクトル場の流れ の定義「流れ」の (R2)）から、$\lvert s\rvert$ が小さければ $\psi(t+s,u)=\Phi_s\bigl(\Phi_t(\sigma(u))\bigr)=\Phi_s(q)$ であり、その $s=0$ での速度は $X_q$ である。よって $V$ の上で $X=\partial/\partial y^1$ であり、(R1) が示された。
段 4（$S\cap V=\{y^1=0\}$）．$u\in B$ を固定すると、$t\mapsto g(t,u)$ は $(-\delta,\delta)$ で狭義単調であり（導関数は $0$ にならず、区間の上で符号が一定）、$g(0,u)=f(\sigma(u))=0$ である。したがって $g(t,u)=0$ となるのは $t=0$ のときだけである。$V\subset V_0$ の上で $S=\{f=0\}$ なので、$\psi(t,u)\in S$ と $t=0$ は同値であり、$S\cap V=\{y^1=0\}$ である。
段 5（流れの形）．座標で $c(t):=(y^1+t,y^2,\dots,y^n)$ とおくと、$c'(t)=\partial/\partial y^1=X$ なので、$c$ は $V$ にとどまる範囲で $X$ の積分曲線である。積分曲線の一意性（ベクトル場の流れ の補題「積分曲線の一意性」）から、$c(t)=\Phi_t(c(0))$ である。$\square$

$F:=z\circ y^{-1}\colon(a,b)\times B'\to\mathbb{R}^n$ とおく。$X=\partial/\partial y^1$ なので、$F$ の $\partial/\partial y^1$ 方向の微分は $z$ で測った $X$ の成分であり、それは $X=\partial/\partial z^1$ から $(1,0,\dots,0)$ である。つまり $\partial F^1/\partial y^1=1$、$\partial F^j/\partial y^1=0$（$j\ge2$）である。$y'$ を固定すると $y^1$ は区間 $(a,b)$ を動くので、$F^1-y^1$ と $F^j$ は $y'$ だけの関数である。$c\in(a,b)$ を 1 つとって $\phi(y'):=F^1(c,y')-c$、$\chi:=(F^2,\dots,F^n)(c,\cdot)$ とおけばよい。$F$ の Jacobi 行列は第 1 列が $(1,0,\dots,0)^{\mathsf T}$ で、右下の $(n-1)$ 次の区画が $\chi$ の Jacobi 行列なので、$F$ が微分同相写像であることから $\chi$ の Jacobi 行列は正則であり、$\chi$ は局所微分同相写像である（逆関数定理）。$\square$

座標で書くと $Xf=\partial f/\partial y^1$ である。(R1)：$\partial f/\partial y^1=0$ なら、$y'$ を固定して区間 $(-\delta,\delta)$ の上で $f$ は $y^1$ によらない。逆は明らかである。$dy^2,\dots,dy^n$ は座標の微分なので各点で 1 次独立である。
(R2)：$S\cap V=\{y^1=0\}$ なので、$\varphi$ は $y'$ の滑らかな関数 $\varphi(y')$ とみなせる。
$$ f(y^1,y'):=\varphi(y')+\int_0^{y^1}h(s,y')\,ds $$
は、積分記号下の微分によって滑らかで、$\partial f/\partial y^1=h$、$f(0,y')=\varphi(y')$ を満たす。2 つの解の差 $d$ は $\partial d/\partial y^1=0$、$d(0,y')=0$ を満たすので、(R1) から $d=0$ である。$\square$