1階線形微分方程式と積分因子（高校数学）

1. 1 次式を置いてみる。右辺が $x$ の 1 次式なので、$y=ax+b$ の形の解を探す。$y'=a$ を代入すると
   $$ a+(ax+b)=x,\qquad\text{すなわち}\qquad ax+(a+b)=1\cdot x+0 $$
   である。これがすべての $x$ で成り立つように係数を比べると $a=1$、$a+b=0$ で、$a=1$、$b=-1$ となる。$y=x-1$ は解の 1 つである。
2. 差を見る。$y$ を別の解とし、$z=y-(x-1)$ とおく。$y'+y=x$ と $(x-1)'+(x-1)=x$ を引くと
   $$ z'+z=0,\qquad\text{すなわち}\qquad z'=-z $$
   である。微分方程式としての指数関数・三角関数 の定理「$y'=ky$ の解」（$k=-1$）により $z=Ce^{-x}$（$C$ は定数）である。よって $y=x-1+Ce^{-x}$ である。
3. $e^x$ を掛けてみる。方程式の両辺に $e^x$ を掛けると
   $$ e^xy'+e^xy=xe^x $$
   となる。左辺は積の微分 $(e^xy)'=e^xy'+e^xy$ そのものなので、$(e^xy)'=xe^x$ である。部分積分で $\displaystyle\int xe^x\,dx=(x-1)e^x+C$ だから
   $$ e^xy=(x-1)e^x+C,\qquad y=x-1+Ce^{-x} $$
   となり、(2) と同じ答えが出る。
4. 確かめ。$y=x-1+Ce^{-x}$ なら $y'=1-Ce^{-x}$ で、$y'+y=1-Ce^{-x}+x-1+Ce^{-x}=x$ である。たとえば $y(0)=0$ となるのは $C=1$ のときで、$y=x-1+e^{-x}$ から $y(1)=e^{-1}=0.3678\ldots$、$y(3)=2+e^{-3}=2.0497\ldots$ である。

1. $y'+y=x$ は $p(x)=1$、$q(x)=x$ で、$I=\mathbb{R}$ の 1 階線形微分方程式である。
2. $y'+\dfrac1xy=x$ は $p(x)=\dfrac1x$、$q(x)=x$ で、$I=(0,\infty)$（または $(-\infty,0)$）の 1 階線形微分方程式である。$x=0$ では $p$ が定義されないので、$0$ を含む区間はとれない。
3. $y'=xy$ は $y'+(-x)y=0$ と書けるので、同次の 1 階線形微分方程式である。これは変数分離形でもある。
4. $y'+y^2=0$ は $y^2$ を含むので線形ではない。変数分離形ではある。
5. $y'=x-y$ は $y'+y=x$ と同じもので、線形である。「$y'$ が $y$ の 1 次式（係数は $x$ の関数）で表される」ものは、すべて $y'+p(x)y=q(x)$ の形に書き直せる。

1. $p(x)=1$、$x_0=0$ なら $P(x)=x$ で、積分因子は $e^x$ である。ex-fol-start の (3) で掛けた関数である。
2. $p(x)=\dfrac1x$（$I=(0,\infty)$）、$x_0=1$ なら $P(x)=\displaystyle\int_1^x\frac{dt}t=\log x$ で、積分因子は $e^{\log x}=x$ である。
3. $p(x)=2x$、$x_0=0$ なら $P(x)=x^2$ で、積分因子は $e^{x^2}$ である。

$p=1$、$q=x$、$I=\mathbb{R}$、$x_0=0$ とする。$P(x)=x$ で、部分積分により
$$ G(x)=\int_0^xte^t\,dt=\Bigl[te^t\Bigr]_0^x-\int_0^xe^t\,dt=xe^x-(e^x-1)=(x-1)e^x+1 $$
である。thm-fol-main により解は
$$ y=e^{-x}\bigl((x-1)e^x+1+C\bigr)=x-1+(C+1)e^{-x} $$
に限り、$y(0)=y_0$ の解は $C=y_0$ の $y=x-1+(y_0+1)e^{-x}$ ただ 1 つである。$y_0=0$ なら $y=x-1+e^{-x}$ で、ex-fol-start の (4) と一致する。ex-fol-start で求めた $y=x-1+Ce^{-x}$ も、$C+1$ を改めて $C$ と書けば同じ形であり、それ以外に解がないことが定理で保証された。

$p(x)=\dfrac1x$、$q(x)=x$、$I=(0,\infty)$、$x_0=1$ とする。ex-fol-factor の (2) により $P(x)=\log x$、$e^{P(x)}=x$、$e^{-P(x)}=\dfrac1x$ である。
$$ G(x)=\int_1^xt\cdot t\,dt=\Bigl[\frac{t^3}3\Bigr]_1^x=\frac{x^3}3-\frac13 $$
なので、thm-fol-main により解は
$$ y=\frac1x\left(\frac{x^3}3-\frac13+C\right)=\frac{x^2}3+\frac{C-\frac13}{x} $$
に限る。$C-\dfrac13$ を改めて $C$ と書けば $y=\dfrac{x^2}3+\dfrac Cx$ である。

右辺 $e^{-x}$ は同次方程式 $y'+y=0$ の解と同じ形である。$y=ae^{-x}$ と置くと $y'+y=-ae^{-x}+ae^{-x}=0$ で、どんな $a$ でも右辺 $e^{-x}$ にならない。
そこで積分因子 $e^x$ を掛けると、$(e^xy)'=e^x\cdot e^{-x}=1$ である。thm-fol-main（$x_0=0$）により $e^xy=x+C$、つまり
$$ y=(x+C)e^{-x} $$
に限る。特殊解 $xe^{-x}$ には $x$ が掛かっている。

右辺が $\cos x$ なので、$y=a\cos x+b\sin x$ と置く。$y'=-a\sin x+b\cos x$ だから
$$ y'+y=(a+b)\cos x+(b-a)\sin x $$
である。これが $\cos x$ に等しいように係数を比べると $a+b=1$、$b-a=0$ で、$a=b=\dfrac12$ となる。cor-fol-structure により解は
$$ y=\frac{\cos x+\sin x}2+Ce^{-x} $$
に限る。三角関数の合成（加法定理から積和・和積・合成・正接の公式を導く）で $\dfrac{\cos x+\sin x}2=\dfrac1{\sqrt2}\cos\left(x-\dfrac\pi4\right)$ なので、$x$ が大きくなると、どの解も振幅 $\dfrac1{\sqrt2}$ で、右辺より $\dfrac\pi4$ だけ遅れた振動に近づく。

抵抗の大きさ $R$ の抵抗と、電気容量 $c$ のコンデンサーを直列につなぎ、時刻 $t=0$ に電圧 $E$ の電池をつなぐ。コンデンサーの電圧を $V(t)$ とすると、流れる電流は $cV'$ で、抵抗での電圧の下がり $RcV'$ とコンデンサーの電圧 $V$ の和が $E$ に等しいので
$$ RcV'+V=E,\qquad V(0)=0 $$
である。$\tau=Rc$（時定数という）とおくと $V'+\dfrac1\tau V=\dfrac E\tau$ で、$p=\dfrac1\tau$、$q=\dfrac E\tau$ はどちらも定数である。$t_0=0$ とすると $P(t)=\dfrac t\tau$ で
$$ G(t)=\int_0^t\frac E\tau e^{s/\tau}\,ds=\Bigl[Ee^{s/\tau}\Bigr]_0^t=E\bigl(e^{t/\tau}-1\bigr) $$
なので、thm-fol-main の (2) により、ただ 1 つの解は
$$ V=e^{-t/\tau}\Bigl(E\bigl(e^{t/\tau}-1\bigr)+0\Bigr)=E\bigl(1-e^{-t/\tau}\bigr) $$
である。$t=\tau$ では $V=E(1-e^{-1})=0.632\ldots\times E$ で、時定数は「最終の電圧の約 $63\%$ まで充電される時間」である。$\tau=2$、$E=5$ なら $V(2)=3.16\ldots$、$V(4)=4.32\ldots$、$V(10)=4.96\ldots$ である（図 2）。

朝、温度 $90$ 度の飲み物を部屋に置く。部屋の温度は $u(t)=20+0.2t$（$t$ は分）と、1 分に $0.2$ 度ずつ上がるとする。飲み物の温度 $T(t)$ が、冷却の法則 $T'=-k\bigl(T-u(t)\bigr)$（$k=0.1$）に従うとすると、
$$ T'+0.1T=0.1u(t)=2+0.02t,\qquad T(0)=90 $$
である。右辺が $t$ の 1 次式なので、特殊解を $T_1=at+b$ と置くと
$$ a+0.1(at+b)=2+0.02t,\qquad\text{すなわち}\qquad 0.1at+(a+0.1b)=0.02t+2 $$
で、係数を比べて $0.1a=0.02$、$a+0.1b=2$ から $a=0.2$、$b=18$ となる。$T_1=0.2t+18$ である。cor-fol-structure により $T=0.2t+18+Ce^{-0.1t}$ で、$T(0)=90$ から $C=72$、
$$ T=0.2t+18+72e^{-0.1t} $$
である。$T(10)=20+72e^{-1}=46.48\ldots$、$T(30)=24+72e^{-3}=27.58\ldots$（部屋は $26$ 度）、$T(60)=30+72e^{-6}=30.17\ldots$（部屋は $32$ 度）である。
$72e^{-0.1t}=2$、つまり $t=10\log36=35.83\ldots$ 分で飲み物は部屋と同じ温度になり、その後は部屋より低くなる。十分時間がたつと $T$ は $T_1=u(t)-2$ に近づき、部屋の温度より $2$ 度低いまま一緒に上がっていく。部屋が温まる速さ $0.2$ に、飲み物の温度が追いつけないためで、遅れの $2$ 度は $\dfrac{0.2}{k}$ である（図 3）。

方程式 $xy'-2y=0$ を $\mathbb{R}$ 全体で考える。$x\ne0$ では $y'-\dfrac2xy=0$ と書けるが、$p(x)=-\dfrac2x$ は $x=0$ で定義されず、$0$ を含む区間で連続な $p$ をもつ形には書けない。
定数 $C_1$、$C_2$ を任意にとり
$$ y=\begin{cases}C_1x^2&(x\ge0)\\C_2x^2&(x<0)\end{cases} $$
とおく。$x>0$ では $xy'-2y=x\cdot2C_1x-2C_1x^2=0$、$x<0$ でも同じく $0$ である。$x=0$ では、右からの差分商は $\dfrac{C_1h^2}h=C_1h\to0$、左からは $C_2h\to0$ なので $y'(0)=0$ で、$0\cdot0-2\cdot0=0$ を満たす。よって、$\mathbb{R}$ 上の解で $y(0)=0$ を満たすものが無数にある（図 4）。また、$x=0$ を代入すると $-2y(0)=0$ なので、$y(0)=1$ を満たす解は 1 つもない。初期条件を $x_0=0$ で与えると、解の存在も一意性も崩れる。
$x>0$ だけで考えれば $p=-\dfrac2x$ は連続で、thm-fol-main により $y(1)=C_1$ の解は $C_1x^2$ ただ 1 つである。崩れるのは、$p$ が連続でなくなる点 $x=0$ をまたいだときである。

$x>0$ で $y_1=\dfrac1x$、$y_2=\dfrac1{x+1}$ とおくと、$y_1'=-\dfrac1{x^2}=-y_1^2$、$y_2'=-\dfrac1{(x+1)^2}=-y_2^2$ で、どちらも $y'+y^2=0$ の解である。和 $s=y_1+y_2$ については
$$ s'+s^2=-\frac1{x^2}-\frac1{(x+1)^2}+\frac1{x^2}+\frac2{x(x+1)}+\frac1{(x+1)^2}=\frac2{x(x+1)}\ne0 $$
なので、$s$ は解でない（$x=1$ で $s'+s^2=1$）。定数倍 $2y_1$ も $(2y_1)'+(2y_1)^2=\dfrac2{x^2}\ne0$ で解でない。線形の方程式では、cor-fol-structure の段 2 のように、同次方程式の解を足しても定数倍しても解であり、その性質が「一般解 ＝ 特殊解 ＋ $Ce^{-P}$」を支えている。$y'+y^2=0$ ではその性質がない。

$D=(-1,0)\cup(0,1)$ の上で $y'=0$（$p=q=0$）を考える。
$$ y=\begin{cases}0&(-1< x<0)\\1&(0< x<1)\end{cases} $$
は $D$ のすべての点で微分可能で $y'=0$ を満たすが、$D$ 全体で定数ではない。thm-fol-main の段 3 で使った平均値の定理は、$x_1=-\dfrac12$、$x_2=\dfrac12$ を結ぶ区間の中に $D$ に属さない点 $0$ があるので使えない。区間ごとに別の定数を選べるので、「解は公式の形に限る」が崩れる。