余積(圏論)
概要
余積(圏論)（coproduct）とは、複数の対象からの射の族を、一つの対象からの射として一意にまとめる普遍的な構成である。集合では非交和、ベクトル空間では直和として現れる。
定義
余積は、別々の対象から同じ対象へ向かう射をまとめる。積と射の向きが逆である。
局所小圏 $\mathcal C$ の対象の小さい族 $(A_i)_{i\in I}$ の余積（coproduct）は、対象 $S$ と構造射 $\iota_i:A_i\to S$ の族である。任意の対象 $X$ と射 $a_i:A_i\to X$ の族に対し、
$$
u\iota_i=a_i\quad(i\in I)
$$
を満たす射 $u:S\to X$ がただ一つ存在することを要求する。$S=\coprod_i A_i$、二対象なら $A\amalg B$ と書く。
「局所小」は各Homが集合、「小さい族」は添字が固定宇宙の集合であるという意味である。構造射を入射と呼ぶこともあるが、任意の圏で単射的であると仮定してはならない。定義は Rie16 §3.1による。
直感
各 $A_i$ の上で定めた処理を一つに束ねる。普遍性は、構造射との合成が与える自然な全単射
$$
\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(S,X)\cong\prod_i\operatorname{Hom}_{\mathcal C}(A_i,X)
$$
である。積への射は成分で決まり、余積からの射は各部分での制限で決まる。この向きの違いが計算の手掛かりになる。
例と反例
集合の圏では $\coprod_i A_i=\{(i,a):i\in I,\ a\in A_i\}$ とし、$\iota_i(a)=(i,a)$ と定める。写像 $a_i:A_i\to X$ の族から $u(i,a)=a_i(a)$ を作れるので普遍性が成り立つ。添字は同じ元が別の集合に登場しても区別するためのタグである。
体 $k$ 上では、有限個の成分以外が零である族の空間 $\bigoplus_i V_i$ が余積である。線形写像 $a_i:V_i\to W$ から $u((v_i)_i)=\sum_i a_i(v_i)$ を作る。有限台の条件で和が有限になり、すべての族は各成分の像の有限和なので一意性も従う。有限添字では直積と一致するが、無限添字で直積全体に同じ和を無条件に定義することはできない。
半順序集合を圏とみなすと、余積は最小上界 $\sup_i a_i$ である。構造射は $a_i\leq s$、普遍性はすべての上界 $x$ に対する $s\leq x$ を意味する。存在しない上限を記号だけで追加する構成ではない。
$A=B=\{*\}$ の集合としての和集合も $\{*\}$ だが、これを二つの恒等写像で余積にすることはできない。二点集合 $X=\{0,1\}$ に対し、$A$ からは $0$、$B$ からは $1$ へ送る写像の族が一つの写像 $\{*\}\to X$ にまとまらないからである。非交和なら二つの出所を保つので問題は起こらない。
性質と証明
同じ族の二つの余積は、すべての構造射を保つただ一つの同型で結ばれる。
余積 $(S,\iota_i),(T,\kappa_i)$ に対し、普遍性から $u\iota_i=\kappa_i$、$v\kappa_i=\iota_i$ となる唯一の $u:S\to T,v:T\to S$ を得る。$vu\iota_i=\iota_i$ なので $vu=\operatorname{id}_S$。同様に $uv=\operatorname{id}_T$。普遍性の一意性は同型の一意性も与える。
各 $f_i:A_i\to B_i$ と両族の余積から、唯一の $\coprod_i f_i:\coprod_i A_i\to\coprod_i B_i$ が定まり、$\iota_i$ との合成は $\kappa_i f_i$ となる。選んだ余積の範囲で恒等射と合成を保つ。
$\kappa_i f_i$ の族に $A_i$ の余積の普遍性を使えば存在一意性を得る。恒等射の場合は余積の恒等射が条件を満たす。続く射 $g_i:B_i\to C_i$ の族について、$(\coprod_i g_i)(\coprod_i f_i)$ と $\coprod_i(g_i f_i)$ はすべての $\iota_i$ との合成が同じなので等しい。この判定は構造射の像が集合論的に対象を覆うという仮定を使わない。
空の族の余積は始対象である。空の族から任意の $X$ への写像の指定は一通りであり、余積から $X$ への射が一意となるためである。余積は離散小圏上の図式の余極限であり、$\mathcal C$ の余積は反対圏 $\mathcal C^{\mathrm{op}}$ の積でもある。
豊穣圏・∞圏との接続
豊穣的な余積は、$\mathcal C(S,X)\cong\prod_i\mathcal C(A_i,X)$ というHom対象の同型で特徴づけられる。値域 $\mathcal V$ の積の存在などを仮定し、単位対象からの元だけの全単射とは区別する（Kel82 §3.8の双対）。
∞圏では、任意の対象 $X$ に対し、構造射が誘導する写像空間の比較 $\operatorname{Map}(S,X)\to\prod_i\operatorname{Map}(A_i,X)$ が同値となることを要求する。通常圏の脈体では写像空間が離散Hom集合と同値となって元の普遍性へ戻るが、一般の∞圏でホモトピー類だけを比較するのは不十分である。一般の∞圏でこの条件を余錐による余極限の定義と結ぶには HTT09 Lemma 4.2.4.3 を用いる。写像空間と双対の積の定式化は同書 §1.2.2、Example 1.2.13.1、Definition 1.2.13.4 による。
関連項目
参考文献
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