本質的上限

同義語：本質上限essential supremumess sup

概要

前提知識: 測度, Lebesgue積分, Lp空間

零集合を無視した上限

関数の上限 $\sup f$ は、1 点で値を変えるだけで大きく変わる。一方 Lebesgue 積分は、零集合（測度 $0$ の集合）の上で関数を変えても変わらない。積分の理論と相性のよい「上限」は、零集合の上の値を無視したときの上限であるべきで、それが 本質的上限（essential supremum）$\operatorname{ess\,sup}f$ である。たとえば $\mathbb R$ 上の Lebesgue 測度について、有理数の指示関数 $1_{\mathbb Q}$ の上限は $1$ だが、有理数全体は零集合なので本質的上限は $0$ である。
本質的上限は $L^\infty$ 空間のノルム $\|f\|_\infty$ を定め（Lp空間）、関数の「ほとんどいたるところでの最大値」として、評価や極限の議論に現れる。非可算個の関数の族に対しても、σ-有限な測度空間なら「ほとんどいたるところで最小の上界」が可算個の関数の上限として得られる（thm-es-family）。各点ごとの上限は非可算個の族では可測とは限らないので、この操作が各点の上限の代わりになる。

定義

以下、$(X,\mathcal F,\mu)$ を測度空間とする。可測関数は値 $\pm\infty$ を許す（Lebesgue積分の記事の定義「可測関数」）。

本質的上限と本質的下限

可測関数 $f\colon X\to[-\infty,\infty]$ に対し
$$ \operatorname{ess\,sup}f:=\inf\bigl\{c\in[-\infty,\infty]\ \big|\ \mu(\{f>c\})=0\bigr\}\in[-\infty,\infty] $$
を $f$ の 本質的上限 といい、$\operatorname{ess\,inf}f:=-\operatorname{ess\,sup}(-f)=\sup\{c\mid\mu(\{f< c\})=0\}$ を 本質的下限 という。

$c=\infty$ では $\{f>\infty\}=\emptyset$ なので、下限をとる集合は空でない。条件 $\mu(\{f>c\})=0$ は「ほとんどいたるところ $f\le c$」と同じである。
複素数値の関数 $f$ の大きさを測るには $\lvert f\rvert$ の本質的上限を使う。Lp空間の記事の定義「$p$ ノルムと本質的上限」では、$c\ge0$ に限って
$$ \|f\|_\infty=\inf\{t\ge0\mid\mu(\{\lvert f\rvert>t\})=0\} $$
と定めている。$\mu(X)>0$ なら、$t< 0$ で $\mu(\{\lvert f\rvert>t\})=\mu(X)>0$ なので、$t$ を $0$ 以上に限っても限らなくても同じ値になり、$\|f\|_\infty=\operatorname{ess\,sup}\lvert f\rvert$ である。$\mu(X)=0$ のときだけ両者は異なる。このときはどの $c$ についても $\{f>c\}$ が零集合なので $\operatorname{ess\,sup}f=-\infty$、$\operatorname{ess\,inf}f=\infty$ となる一方、$\|f\|_\infty=0$ である。$L^\infty$ のノルムとしては、零空間のノルムが $0$ になるように $t\ge0$ に限る定め方が適切である。同じ理由で、「$\lvert f\rvert\le C$ がほとんどいたるところ成り立つ定数 $C$ の下限」と書くときも、$C\ge0$ に限る必要がある。
分布関数 $\lambda_f(t)=\mu(\{\lvert f\rvert>t\})$（分布関数(測度論)）を使えば、$\|f\|_\infty$ は $\lambda_f$ が初めて $0$ になる点、$\|f\|_\infty=\inf\{t\ge0\mid\lambda_f(t)=0\}$ である。

基本的な性質

本質的上限の基本性質

$f,g\colon X\to[-\infty,\infty]$ を可測関数とし、$s:=\operatorname{ess\,sup}f$ とおく。

下限は達成される：ほとんどいたるところ $f\le s$ である。
$c< s$ なら $\mu(\{f>c\})>0$ である。
$f=g$ がほとんどいたるところ成り立てば $\operatorname{ess\,sup}f=\operatorname{ess\,sup}g$ である。また $f\le g$ がほとんどいたるところ成り立てば $\operatorname{ess\,sup}f\le\operatorname{ess\,sup}g$ である。
$\operatorname{ess\,sup}f\le\sup_{x\in X}f(x)$ である。
右辺が $\infty-\infty$ の形でなければ $\operatorname{ess\,sup}(f+g)\le\operatorname{ess\,sup}f+\operatorname{ess\,sup}g$ であり（$f+g$ はほとんどいたるところで定義されていればよい）、$a>0$ について $\operatorname{ess\,sup}(af)=a\operatorname{ess\,sup}f$ である。
$\mu(X)>0$ なら $\operatorname{ess\,inf}f\le\operatorname{ess\,sup}f$ である。

$s=\infty$ なら示すことはない。$s< \infty$ なら、下限の定義から $c_n\downarrow s$ となる $c_n$ で $\mu(\{f>c_n\})=0$ を満たすものがとれる（$s=-\infty$ なら $c_n\to-\infty$）。$\{f>s\}=\bigcup_n\{f>c_n\}$ は零集合の可算個の和なので零集合である。
$\mu(\{f>c\})=0$ なら $c$ は下限をとる集合に属し、$s\le c$ となるからである。
前半は後半を 2 回使えばよい。後半：$N=\{f>g\}$ は零集合で、$\{f>c\}\subset\{g>c\}\cup N$ なので、$\mu(\{g>c\})=0$ となる $c$ はすべて $\mu(\{f>c\})=0$ を満たす。
$c=\sup f$ について $\{f>c\}=\emptyset$ である。
1 により、零集合 $N$ の外で $f\le\operatorname{ess\,sup}f$ かつ $g\le\operatorname{ess\,sup}g$ であり、そこで $f+g\le\operatorname{ess\,sup}f+\operatorname{ess\,sup}g$ となる。よって右辺は下限をとる集合に属する。$a>0$ については $\{af>ac\}=\{f>c\}$ による。
1 を $f$ と $-f$ に使うと、零集合 $N$ の外で $\operatorname{ess\,inf}f\le f\le\operatorname{ess\,sup}f$ である。$\mu(X)>0$ なので $X\setminus N$ は空でなく、その点 $x$ で $\operatorname{ess\,inf}f\le f(x)\le\operatorname{ess\,sup}f$ となる。$\square$

1 の $\lvert f\rvert$ の場合は Lp空間の記事の補題「本質的上限は達成される」であり、$L^\infty$ のノルムの三角不等式はそこから従う。

上限と一致する場合

連続関数の本質的上限

$X$ を位相空間、$\mu$ を Borel 集合の上の測度で、空でないすべての開集合 $U$ について $\mu(U)>0$ を満たすものとする。$f\colon X\to\mathbb R$ が連続なら $\operatorname{ess\,sup}f=\sup_{x\in X}f(x)$ である。とくに $\mathbb R^n$ の開集合の上の連続関数では、Lebesgue 測度についての本質的上限は上限に等しい。

prop-es-basic の 4 から $\operatorname{ess\,sup}f\le\sup f$ である。逆に $c< \sup f$ とすると $f(x_0)>c$ となる点 $x_0$ があり、$\{f>c\}$ は $f$ の連続性から $x_0$ を含む開集合なので、仮定から正の測度をもつ。$c'< c$ なら $\{f>c'\}\supset\{f>c\}$ も正の測度をもつので、$\mu(\{f>c'\})=0$ となる $c'$ はすべて $c$ 以上であり、$\operatorname{ess\,sup}f\ge c$ である。$c\uparrow\sup f$ として結論を得る。$\square$

$\mathbb N$ 上の数え上げ測度では零集合は空集合だけなので、本質的上限は上限そのものであり、$\ell^\infty$ のノルムは $\sup_k\lvert x_k\rvert$ になる。逆に、点 $x_0$ での Dirac 測度 $\delta_{x_0}$ では零集合は $x_0$ を含まない集合全体なので、$\operatorname{ess\,sup}f=f(x_0)$ である。$\mathbb R$ 上の Dirac 測度 $\delta_0$ と連続関数 $f(x)=x^2$ では $\operatorname{ess\,sup}f=0$ だが $\sup f=\infty$ であり、prop-es-continuous の「開集合の測度が正」という仮定は外せない。

本質的値域

可測関数 $f\colon X\to\mathbb C$ に対し、
$$ R(f):=\{y\in\mathbb C\mid\text{すべての }\varepsilon>0\text{ について }\mu(\{\lvert f-y\rvert< \varepsilon\})>0\} $$
を $f$ の 本質的値域 という。

本質的値域と本質的上限

$f\colon X\to\mathbb C$ を可測関数とする。

$R(f)$ は閉集合であり、ほとんどすべての $x$ について $f(x)\in R(f)$ である。
$\mu(X)>0$ で $f$ が実数値なら、$R(f)$ は空でなく、$\operatorname{ess\,sup}f=\sup R(f)$ である。
$\mu(X)>0$ なら $\|f\|_\infty=\sup\{\lvert y\rvert\mid y\in R(f)\}$ であり、$\|f\|_\infty< \infty$ ならこの上限は最大値である。

$y\notin R(f)$ なら、ある $\varepsilon>0$ で $\mu(\{\lvert f-y\rvert< \varepsilon\})=0$ であり、開円板 $D(y,\varepsilon)$ の点はどれも $R(f)$ に属さない（$D(y',\varepsilon')\subset D(y,\varepsilon)$ となる小さな円板をとればよい）。よって補集合は開集合である。さらに $y$ を含み $D(y,\varepsilon)$ に含まれる、中心の実部・虚部と半径が有理数の円板 $D$ がとれ、$\mu(f^{-1}(D))=0$ である。そのような円板は可算個しかないので、$\mathbb C\setminus R(f)$ はこの性質をもつ可算個の円板 $D_1,D_2,\dots$ で覆われ、$f^{-1}(\mathbb C\setminus R(f))\subset\bigcup_kf^{-1}(D_k)$ は零集合である。
1 から、$\mu(X)>0$ なら $f(x)\in R(f)$ となる $x$ があり、$R(f)$ は空でない。また $f$ は実数値なので $R(f)\subset\mathbb R$ である（$y$ の虚部が $0$ でなければ、$\varepsilon$ を虚部の絶対値以下にとると $\{\lvert f-y\rvert< \varepsilon\}=\emptyset$）。1 からほとんどいたるところ $f\le\sup R(f)$ なので $\operatorname{ess\,sup}f\le\sup R(f)$ である。逆に $y\in R(f)$ と $\varepsilon>0$ について $\{f>y-\varepsilon\}\supset\{\lvert f-y\rvert< \varepsilon\}$ は正の測度をもつので、$\operatorname{ess\,sup}f\ge y-\varepsilon$ である。
$\lvert f\rvert$ についての 2 と同様に、1 からほとんどいたるところ $\lvert f\rvert\le\sup_{y\in R(f)}\lvert y\rvert$、逆に $y\in R(f)$ なら $\{\lvert f\rvert>\lvert y\rvert-\varepsilon\}\supset\{\lvert f-y\rvert< \varepsilon\}$ が正の測度をもつので $\|f\|_\infty\ge\lvert y\rvert-\varepsilon$ である。$\|f\|_\infty< \infty$ なら、$\lvert y\rvert>\|f\|_\infty$ の点 $y$ は $\varepsilon=\lvert y\rvert-\|f\|_\infty$ について $\{\lvert f-y\rvert< \varepsilon\}\subset\{\lvert f\rvert>\|f\|_\infty\}$ が零集合なので $R(f)$ に属さない。よって $R(f)$ は空でない有界閉集合であり、$\lvert y\rvert$ は $R(f)$ 上で最大値をとる。$\square$

たとえば $[0,1]$ 上の Lebesgue 測度で、$f(x)=x$ を有理数の点でだけ $5$ に変えた関数の本質的値域は $[0,1]$ であり、値 $5$ は本質的値域に入らない。

関数の族の本質的上限

可算個の可測関数 $f_1,f_2,\dots$ の各点ごとの上限 $\sup_nf_n$ は可測である。しかし非可算個の族では、各点ごとの上限は可測とは限らず、可測であっても零集合を無視する立場からは大きすぎることがある。$[0,1]$ 上の Lebesgue 測度で $f_x=1_{\{x\}}$（$x\in[0,1]$）とすると、各 $f_x$ はほとんどいたるところ $0$ なのに、各点ごとの上限は定数 $1$ である。そこで、ほとんどいたるところの不等式で上界を考える。

関数の族の本質的上限

$(X,\mathcal F,\mu)$ を σ-有限な測度空間、$(f_i)_{i\in I}$ を可測関数 $f_i\colon X\to[-\infty,\infty]$ の任意の族とする。このとき可測関数 $g\colon X\to[-\infty,\infty]$ で次を満たすものがある。

すべての $i\in I$ について、ほとんどいたるところ $f_i\le g$ である。
可測関数 $h$ がすべての $i$ についてほとんどいたるところ $f_i\le h$ を満たすなら、ほとんどいたるところ $g\le h$ である。
$g$ はほとんどいたるところの等式を除いて一意に定まり、可算部分集合 $J\subset I$ によって $g=\sup_{j\in J}f_j$ と書ける。$g$ を族 $(f_i)$ の本質的上限という。

重みの準備：σ-有限性から、$X$ を互いに交わらない可測集合 $X_1,X_2,\dots$（$\mu(X_n)<\infty$）に分ける。$w:=\sum_n2^{-n}(1+\mu(X_n))^{-1}1_{X_n}$ は各点で正、可測で、$\int_Xw\,d\mu\le\sum_n2^{-n}=1$ である。
可算部分族の上限：$\phi\colon[-\infty,\infty]\to[-\frac\pi2,\frac\pi2]$ を $\phi=\arctan$（$\phi(\pm\infty)=\pm\frac\pi2$）とする。$\phi$ は狭義単調増加である。可算部分集合 $J\subset I$ について $g_J:=\sup_{j\in J}f_j$（$J=\emptyset$ なら $-\infty$）は可測であり、
$$ \Phi(J):=\int_X\Bigl(\phi(g_J)+\frac\pi2\Bigr)w\,d\mu\in[0,\pi] $$
とおく。$J\subset J'$ なら $g_J\le g_{J'}$ なので $\Phi(J)\le\Phi(J')$ である。
最大の値をとる部分族：$a:=\sup_J\Phi(J)\le\pi$ とし、$\Phi(J_n)\to a$ となる可算部分集合 $J_n$ をとる。$J^*:=\bigcup_nJ_n$ は可算で、$\Phi(J_n)\le\Phi(J^*)\le a$ から $\Phi(J^*)=a$ である。$g:=g_{J^*}$ とおく。
1 の証明：$i\in I$ について $J'=J^*\cup\{i\}$ とすると $g_{J'}=\max\{g,f_i\}\ge g$ で、$a=\Phi(J^*)\le\Phi(J')\le a$ である。2 つの積分の差は、値が $0$ 以上の関数 $\bigl(\phi(g_{J'})-\phi(g)\bigr)w$ の積分で、$0$ に等しい。よってこの関数はほとんどいたるところ $0$ であり（Lebesgue積分の記事の補題「零集合と積分」）、$w>0$ と $\phi$ の狭義単調性から、ほとんどいたるところ $\max\{g,f_i\}=g$、すなわち $f_i\le g$ である。
2 の証明：$h\ge f_j$ がほとんどいたるところ成り立つのは可算個の $j\in J^*$ についてなので、例外集合の和も零集合であり、その外で $h\ge\sup_{j\in J^*}f_j=g$ である。
一意性：$g,g'$ がともに 1・2 を満たせば、2 からほとんどいたるところ $g\le g'$ かつ $g'\le g$ である。$\square$

$I$ が可算なら、各点ごとの上限 $\sup_if_i$ 自身が 1・2 を満たすので、族の本質的上限は各点ごとの上限とほとんどいたるところ一致する。上の $f_x=1_{\{x\}}$ の族では $g=0$ である。各点ごとの上限が可測でない例もある：Lebesgue 可測でない集合 $V\subset[0,1]$ について族 $(1_{\{x\}})_{x\in V}$ の各点ごとの上限は $1_V$ で可測でないが、族の本質的上限は $0$ である。
σ-有限性は外せない。$X=\mathbb R$ に、可算集合と補集合が可算な集合からなる σ-代数を入れ、$\mu$ を数え上げ測度（補集合が可算な集合の測度は $\infty$）とする。零集合は空集合だけなので、「ほとんどいたるところ」は「すべての点で」と同じである。族 $f_x=1_{\{x\}}$（$x>0$）に 1 を満たす可測関数 $g$ があれば、$\{g\ge1\}$ は $(0,\infty)$ を含む可測集合なので補集合が可算であり、$(-\infty,0]$ のある点 $y$ で $g(y)\ge1$ となる。$y$ での値だけを $0$ に変えた関数 $h$ も可測で（$\{y\}$ は可算）、$x>0$ のすべての $f_x$ 以上だが、$g(y)>h(y)$ なので 2 が成り立たない。

仮定を外したとき

外す条件	反例	成り立たなくなること
prop-es-continuous の $f$ の連続性	$\mathbb R$ 上の Lebesgue 測度で $1_{\mathbb Q}$	$\operatorname{ess\,sup}f=\sup f$（左辺 $0$、右辺 $1$）
prop-es-continuous の「空でない開集合の測度は正」	$\mathbb R$ 上の $\delta_0$ で $f(x)=x^2$	$\operatorname{ess\,sup}f=\sup f$（左辺 $0$、右辺 $\infty$）
prop-es-basic の 6 の $\mu(X)>0$	$\mu=0$	$\operatorname{ess\,inf}f\le\operatorname{ess\,sup}f$（左辺 $\infty$、右辺 $-\infty$）
thm-es-family の σ-有限性	$\mathbb R$ 上の可算・補可算 σ-代数と数え上げ測度、$f_x=1_{\{x\}}$（$x>0$）	族の本質的上限の存在

補足

文献

$L^\infty$ とそのノルムは Bre11 p. 91 で定義され、ノルムが達成されること（prop-es-basic の 1 の $\lvert f\rvert$ の場合）は同書 Remark 1（pp. 91–92）で示されている。$\|f\|_\infty=\inf\{t>0\mid\mu(\{\lvert f\rvert>t\})=0\}$ の形の定義は Axl20 Definition 7.1（p. 194）にある。実数値の関数の本質的上限と本質的下限は Bass24 §15.1（p. 144）で定義されている。Sal20 Definition 4.7 と Lemma 4.8（p. 117）は、値が $0$ 以上の関数の本質的上限を $[0,\infty]$ の中の下限として定め、$\mathcal L^\infty$ の関数 $f$ について $\lvert f\rvert$ の本質的上限が零集合の外での上限として達成されることを示している。