被覆次元

1 から 2：$\{X\setminus A,\ X\setminus B\}$ は $A\cap B=\emptyset$ より有限開被覆である。位数 $1$ 以下の有限開細分 $\mathcal{W}$ をとる。位数 $1$ 以下なので $\mathcal{W}$ の相異なる元は互いに交わらない。$\mathcal{W}$ の元のうち $X\setminus A$ に含まれるものの和集合を $D$、残りの元の和集合を $C$ とする。残りの元は $X\setminus A$ に含まれないので $X\setminus B$ に含まれ、$C\subset X\setminus B$ である。$C$ と $D$ は開集合で、互いに交わらず、$X$ を覆うので、どちらも開かつ閉である。$D\cap A=\emptyset$ だから $A\subset C$ である。
2 から 1：$\{U_1,\dots,U_k\}$ を有限開被覆とする。
段 1（閉集合への縮小）．閉集合 $F_i\subset U_i$ で $X=F_1\cup\dots\cup F_k$ となるものをとる（正規性を $k$ 回使う）。

距離空間は正規である。$\{U_1,\dots,U_k\}$ を有限開被覆とし、開基の元のうちどれかの $U_i$ に含まれるものを $C_1,C_2,\dots$ と並べる（有限個なら有限列）。開基なので $C_m$ は $X$ を覆う。$D_m:=C_m\setminus(C_1\cup\dots\cup C_{m-1})$ は開かつ閉で、互いに交わらず、$X$ を覆う。各 $D_m$ に、$D_m\subset C_m\subset U_i$ となる最小の $i$ を対応させ、$E_i$ を $i$ に対応する $D_m$ の和集合とする。$E_i$ は開集合で $E_i\subset U_i$、$E_1,\dots,E_k$ は互いに交わらず $X$ を覆う。これは位数 $1$ 以下の有限開細分である。$\square$

$\dim X=\infty$ なら示すことはない。$\dim X\le n$ とし、$\{M\cap O_1,\dots,M\cap O_k\}$（$O_i$ は $X$ の開集合）を $M$ の有限開被覆とする。$\{O_1,\dots,O_k,X\setminus M\}$ は $X$ の有限開被覆なので、位数 $n+1$ 以下の有限開細分 $\mathcal{V}$ がある。$\{V\cap M\mid V\in\mathcal{V}\}$ は $M$ の有限開被覆で、位数は $n+1$ 以下である（$M$ の点が属する $V\cap M$ の個数は、その点が属する $V$ の個数以下）。$V\cap M\ne\emptyset$ なら $V$ は $X\setminus M$ に含まれないので、ある $O_i$ に含まれ、$V\cap M\subset M\cap O_i$ である（空集合はどの元にも含まれる）。よって $\dim M\le n$。$\square$

要点：$[-1,1]^n$ の点 $x$ を、向きを保ったまま長さを $\max_i\lvert x_i\rvert$ に縮める写像が $D^n$ への同相写像になる。

$c\in I^n$ を任意にとる。$\pi\colon\mathbb{R}^n\to I^n$ を座標ごとに $[0,1]$ へ切り詰める写像 $\pi(y)_i:=\min\{1,\max\{0,y_i\}\}$ とし、
$$ T(x):=\pi\bigl(x-g(x)+c\bigr)\qquad(x\in I^n) $$
とおく。$T\colon I^n\to I^n$ は連続なので、lem-covdim-cube-ball により不動点 $x=T(x)$ がある。各 $i$ について $g_i(x)=c_i$ を示す。

• $0< x_i<1$ のとき：$\pi$ の第 $i$ 成分の値が $(0,1)$ に入るのは、切り詰める前の値 $x_i-g_i(x)+c_i$ が $(0,1)$ に入っていてそのまま出てくるときだけである。よって $x_i=x_i-g_i(x)+c_i$、すなわち $g_i(x)=c_i$。
• $x_i=0$ のとき：$x\in A_i$ なので $g_i(x)=0$ で、切り詰める前の値は $c_i\in[0,1]$、切り詰めた値も $c_i$ である。不動点なので $c_i=x_i=0=g_i(x)$。
• $x_i=1$ のとき：同様に $g_i(x)=1$ で、$c_i=x_i=1=g_i(x)$。
  よって $g(x)=c$ であり、$g$ は全射である。$\square$

空集合の元は除いてよい。$\mathcal{U}=\{U_1,\dots,U_k\}$（相異なる空でない開集合）とする。どの $U_j$ も $A_1$ と $B_1$ の両方と交わることはないので $U_j\ne I^n$ であり、$E_j:=I^n\setminus U_j$ は空でない閉集合である。
段 1（1 の分割）． $d_j(x):=\inf\{\| x-y\|\mid y\in E_j\}$ は連続で、$d_j(x)>0$ と $x\in U_j$ は同値である（$E_j$ は閉集合）。各点はどれかの $U_j$ に入るので $\sum_ld_l(x)>0$ であり、
$$ \varphi_j(x):=\frac{d_j(x)}{\sum_{l=1}^kd_l(x)} $$
は連続で、$\varphi_j\ge0$、$\sum_j\varphi_j=1$、$\varphi_j(x)>0\iff x\in U_j$ を満たす。
段 2（面を保つ写像）． 各 $j$ について点 $p_j\in I^n$ を、第 $i$ 座標が、$U_j$ が $A_i$ と交わるなら $0$、$B_i$ と交わるなら $1$、どちらとも交わらないなら $\frac12$ となるように定める（仮定により両方と交わることはない）。
$$ g(x):=\sum_{j=1}^k\varphi_j(x)\,p_j $$
は $p_j$ の凸結合なので $I^n$ に値をもつ連続写像である。$x\in A_i$ とすると、$\varphi_j(x)>0$ となる $j$ では $x\in U_j\cap A_i$ なので $p_j$ の第 $i$ 座標は $0$ であり、$g_i(x)=0$、すなわち $g(x)\in A_i$ である。同様に $g(B_i)\subset B_i$ である。lem-covdim-face により $g$ は全射である。
段 3（重なりが少ないと全射にならない）． どの点も $\mathcal{U}$ の高々 $n$ 個の元にしか属さないと仮定する。点 $x$ で $\varphi_j(x)>0$ となる $j$ の集合 $J$ は $n$ 個以下で、$g(x)$ は $\{p_j\mid j\in J\}$ の凸包に入る。$n$ 個以下の点を通るアフィン部分空間 $L_J$ の次元は $n-1$ 以下なので、
$$ I^n=g(I^n)\subset\bigcup_{\lvert J\rvert\le n}L_J $$
となる。右辺は有限個の、$\mathbb{R}^n$ の真のアフィン部分空間の和である。真のアフィン部分空間は超平面 $\{a\cdot y=b\}$（$a\ne0$）に含まれるので、内点をもたない閉集合である。内点をもたない閉集合 $F,G$ の和も内点をもたない（空でない開集合 $W\subset F\cup G$ があれば、$W\setminus F$ は空でない開集合で $G$ に含まれ矛盾）。帰納的に右辺は内点をもたないが、左辺 $I^n$ は内点をもつ。これは矛盾である。よって $n+1$ 個以上の元に属する点がある。$\square$

要点：$F_j$ を少し太らせた開集合に thm-covdim-lebesgue を使い、太らせ方を $0$ に近づけて極限をとる。

$\dim I^n\le n-1$ と仮定する。$I^n$ はコンパクトなので、半径 $\frac13$ の開球と $I^n$ の共通部分の有限個で覆える。この有限開被覆は、仮定により位数 $n$ 以下の有限開細分 $\mathcal{W}$ をもつ。$\mathcal{W}$ の各元は直径 $\frac23<1$ 以下の集合に含まれるので、どの $A_i$ と $B_i$ の両方とも交わらない。thm-covdim-lebesgue により $\mathcal{W}$ の $n+1$ 個以上の元に属する点があり、位数 $n$ 以下であることに矛盾する。$\square$

$\mathcal{U}$ を $\lvert K\rvert$ の有限開被覆とする。$\lvert K\rvert$ はコンパクト距離空間なので、細分 の記事の定理「Lebesgue 数の存在」により $\lambda>0$ があって、直径 $\lambda$ 未満の部分集合はどれも $\mathcal{U}$ のある元に含まれる。重心細分 の記事の系「反復した重心細分の網目」により、$r$ を十分大きくとると $L:=\operatorname{sd}^rK$ の単体の直径の最大値（網目）は $\lambda/2$ 未満になる。同記事の定理「重心細分は単体複体の細分である」により $L$ は $\lvert L\rvert=\lvert K\rvert$ を満たす幾何的単体複体で、位相も一致する。$L$ の単体は $K$ の単体の重心の鎖が張るもので、鎖の長さは $n+1$ 以下なので、$L$ の次元も $n$ 以下である。
$L$ の頂点 $v$ の開星を考える。$y\in\operatorname{st}(v)$ なら、$y$ と $v$ は $y$ の台の単体に属するので $\| y-v\|<\lambda/2$ である。よって $\operatorname{st}(v)$ の 2 点の距離は $v$ を経由して $\lambda$ 未満であり、$\operatorname{st}(v)$ は $\mathcal{U}$ のある元に含まれる。開星の全体は $\lvert K\rvert$ の有限開被覆で位数 $n+1$ 以下なので、これが求める細分である。$\square$

$\Delta^n$ を標準 $n$ 単体とする。単体複体 の記事の命題「単体は閉球体と同相」により $\Delta^n$ は $D^n$ と同相で、lem-covdim-cube-ball により $D^n$ は $I^n$ と同相である。$\Delta^n$ はその面の全体という次元 $n$ の有限単体複体の多面体なので、prop-covdim-upper により $\dim\Delta^n\le n$ である。被覆次元は位相不変量なので $\dim I^n\le n$ であり、prop-covdim-lower と合わせて $\dim I^n=n$ である。$\square$

1. thm-covdim-cube と同相による。
2. 単体複体 の記事の命題「単体は閉球体と同相」により、$S^n$ は $(n+1)$ 単体の境界 $\partial\Delta^{n+1}$ と同相で、$\partial\Delta^{n+1}$ は真の面の全体という次元 $n$ の有限単体複体の多面体なので、prop-covdim-upper により $\dim S^n\le n$。一方、上半球 $S^n_+:=\{y\in S^n\mid y_{n+1}\ge0\}$ は $S^n$ の閉集合で、$(y_1,\dots,y_{n+1})\mapsto(y_1,\dots,y_n)$ は $S^n_+$ から $D^n$ への連続な全単射（逆は $y_{n+1}=\sqrt{1-\sum_{i\le n}y_i^2}$）なので、コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な全単射として同相である。prop-covdim-closed と 1 により $\dim S^n\ge n$。
3. $\mathbb{R}^n$ は距離空間なので正規で、$I^n$ はその閉集合である。prop-covdim-closed による。
4. $[0,1]^{\mathbb{N}}$ はコンパクト距離化可能なので正規である（位相空間の埋め込み定理 の記事の命題「Hilbert 立方体の距離」と Tychonoffの定理）。各 $n$ について $I^n\times\{0\}\times\{0\}\times\cdots$ は $I^n$ と同相な閉集合なので、prop-covdim-closed により $\dim[0,1]^{\mathbb{N}}\ge n$ がすべての $n$ で成り立つ。$\square$

被覆次元は位相不変量であり、thm-covdim-cube により $\dim I^m=m\ne n=\dim I^n$ である。$\square$