被覆次元

$i=1,\dots,k$ の順に、$U_i$ を開集合 $V_i$ で $\overline{V_i}\subset U_i$ となるものに取り替えても被覆のままであるようにすればよい。$V_1,\dots,V_{i-1}$ まで取り替えたとき、$E:=X\setminus(V_1\cup\dots\cup V_{i-1}\cup U_{i+1}\cup\dots\cup U_k)$ は閉集合で $E\subset U_i$ である。正規性を互いに素な閉集合 $E$ と $X\setminus U_i$ に使うと、開集合 $V_i\supset E$、$W\supset X\setminus U_i$ で $V_i\cap W=\emptyset$ となるものがあり、$\overline{V_i}\subset X\setminus W\subset U_i$ である。$E\subset V_i$ なので取り替えた後も被覆である。最後に $F_i:=\overline{V_i}$ とおく。この取り替えは、有限な開被覆の縮小の構成（縮小補題 の注意「有限な被覆と選択公理」）と同じものである。

距離空間は正規である。$\{U_1,\dots,U_k\}$ を有限開被覆とし、開基の元のうちどれかの $U_i$ に含まれるものを $C_1,C_2,\dots$ と並べる（有限個なら有限列）。開基なので $C_m$ は $X$ を覆う。$D_m:=C_m\setminus(C_1\cup\dots\cup C_{m-1})$ は開かつ閉で、互いに交わらず、$X$ を覆う。各 $D_m$ に、$D_m\subset C_m\subset U_i$ となる最小の $i$ を対応させ、$E_i$ を $i$ に対応する $D_m$ の和集合とする。$E_i$ は開集合で $E_i\subset U_i$、$E_1,\dots,E_k$ は互いに交わらず $X$ を覆う。これは位数 $1$ 以下の有限開細分である。$\square$

$\dim X=\infty$ なら示すことはない。$\dim X\le n$ とし、$\{M\cap O_1,\dots,M\cap O_k\}$（$O_i$ は $X$ の開集合）を $M$ の有限開被覆とする。$\{O_1,\dots,O_k,X\setminus M\}$ は $X$ の有限開被覆なので、位数 $n+1$ 以下の有限開細分 $\mathcal{V}$ がある。$\{V\cap M\mid V\in\mathcal{V}\}$ は $M$ の有限開被覆で、位数は $n+1$ 以下である（$M$ の点が属する $V\cap M$ の個数は、その点が属する $V$ の個数以下）。$V\cap M\ne\emptyset$ なら $V$ は $X\setminus M$ に含まれないので、ある $O_i$ に含まれ、$V\cap M\subset M\cap O_i$ である（空集合はどの元にも含まれる）。よって $\dim M\le n$。$\square$

$x\mapsto2x-(1,\dots,1)$ で $I^n$ は $[-1,1]^n$ と同相である。$\| x\|_\infty:=\max_i\lvert x_i\rvert$ とし、$$h(x):=\frac{\| x\|_\infty}{\| x\|}\,x\quad(x\ne0),\qquad h(0):=0$$とおく。$\| h(x)\|=\| x\|_\infty$ なので $h$ は $[-1,1]^n$ を $D^n$ に写し、原点でも連続である。逆向きに $k(y):=\dfrac{\| y\|}{\| y\|_\infty}\,y$（$y\ne0$）、$k(0):=0$ とおくと、$\| k(y)\|_\infty=\| y\|$ なので $k$ は $D^n$ を $[-1,1]^n$ に写し、原点でも連続である。$y\ne0$ について $\| k(y)\|=\| y\|^2/\| y\|_\infty$ だから$$h(k(y))=\frac{\| y\|}{\| y\|^2/\| y\|_\infty}\cdot\frac{\| y\|}{\| y\|_\infty}\,y=y$$であり、同様に $k(h(x))=x$ である。よって $h$ は同相写像である。

$F_j\cap A_i=\emptyset$ となる組 $(j,i)$ について、$F_j$ と $A_i$ はコンパクトで交わらないので距離 $\operatorname{dist}(F_j,A_i)$ は正である。$B_i$ についても同じで、これらの正の数（有限個）の最小値を $\delta_0$ とする（空でない $F_j$ だけを考える）。$0<\delta<\delta_0$ について $U_j^\delta:=\{x\in I^n\mid\operatorname{dist}(x,F_j)<\delta\}$ とおくと、$U_j^\delta$ は開集合で $F_j$ を含み、$F_j$ が交わらない面とは交わらない。よって thm-covdim-lebesgue により、ある点 $x_\delta$ と $n+1$ 個の添字の集合 $J_\delta$ があって、$j\in J_\delta$ なら $\operatorname{dist}(x_\delta,F_j)<\delta$ である。

$\delta=\delta_0/(m+1)$（$m=1,2,\dots$）とすると、添字の集合は有限通りしかないので、ある $J$ が無限個の $m$ で現れる。その $m$ に沿った点列は、$I^n$ がコンパクトなので収束する部分列をもち、極限 $x$ は $j\in J$ について $\operatorname{dist}(x,F_j)=0$、すなわち $x\in F_j$ を満たす（$F_j$ は閉集合）。$\square$

$\overline A$ は $X$ での閉包を表す。有限個の集合の族 $\{A_1,\dots,A_k\}$（添字が違えば同じ集合でも別の元と数える）について、点が属する $A_j$ の個数を数えて位数をいう。

段 1（閉包つきの縮小）。$X$ の有限開被覆 $\{U_1,\dots,U_k\}$ に対し、開被覆 $\{V_1,\dots,V_k\}$ で $\overline{V_j}\subset U_j$ となるものがある。実際、$U_j\ne X$ なら $f_j(x)=\operatorname{dist}(x,X\setminus U_j)$、$U_j=X$ なら $f_j=1$ とおくと、$f_j$ は連続で、$f_j(x)>0$ と $x\in U_j$ は同値である。$S=\sum_jf_j$ は各点で正なので $h_j=f_j/S$ は連続で $\sum_jh_j=1$ であり、各点である $h_j$ は $1/k$ 以上である。$V_j=\{h_j>1/(2k)\}$ とおけば $\{V_j\}$ は開被覆で、$\overline{V_j}\subset\{h_j\ge1/(2k)\}\subset U_j$ である。

段 2（添字をそろえた細分）。$Y$ を距離空間で $\dim Y\le n$ とすると、$Y$ の有限開被覆 $\{U_1,\dots,U_k\}$ に対し、開被覆 $\{V_1,\dots,V_k\}$ で $V_j\subset U_j$、位数 $n+1$ 以下のものがある。実際、位数 $n+1$ 以下の有限開細分 $\mathcal W$ をとり、各 $W\in\mathcal W$ に $W\subset U_{j(W)}$ となる添字 $j(W)$ を 1 つ選んで $V_j=\bigcup\{W\in\mathcal W:j(W)=j\}$ とおく。異なる $V_j$ に属する点は異なる $W$ に属するので、位数は $n+1$ 以下である。

段 3（閉被覆から開被覆へ）。$X$ の有限開被覆 $\{U_1,\dots,U_k\}$ に対して、閉集合 $C_j\subset U_j$ からなる位数 $n+1$ 以下の被覆 $\{C_1,\dots,C_k\}$ があるとき、開集合 $O_j$ で $C_j\subset O_j\subset U_j$、$\{O_j\}$ の位数が $n+1$ 以下のものがある。$j=1,\dots,k$ の順に $C_j$ を $\overline{O_j}$ に取り替えていく。取り替えの途中の閉被覆を $\{C'_1,\dots,C'_k\}$（位数 $n+1$ 以下、$C'_i\subset U_i$）とし、$j$ 番目で、$j$ 以外の $n+1$ 個の $C'_i$ の共通部分すべての和を $E_j$ とする。$E_j$ は閉で、位数の条件から $C'_j\cap E_j=\emptyset$ である。$D=(X\setminus U_j)\cup E_j$ は閉で $C'_j$ と交わらない。$C'_j=\emptyset$ なら $O_j=\emptyset$、$D=\emptyset$ なら $O_j=X$ とし、それ以外は $O_j=\{x:\operatorname{dist}(x,C'_j)<\operatorname{dist}(x,D)\}$ とおく。$O_j$ は開で $C'_j\subset O_j$ であり、$\overline{O_j}\subset\{\operatorname{dist}(x,C'_j)\le\operatorname{dist}(x,D)\}$ は $D$ と交わらない（$D$ の点では右辺が $0$、左辺が正）。よって $\overline{O_j}\subset U_j$、$\overline{O_j}\cap E_j=\emptyset$ である。$C'_j$ を $\overline{O_j}$ に替えても被覆のままで、ある点が $n+2$ 個の元に属するとすると、その中に $\overline{O_j}$ が入っていなければ取り替える前の位数に反し、入っていればその点は $E_j$ に属して $\overline{O_j}\cap E_j=\emptyset$ に反する。$k$ 回取り替えると $\{\overline{O_j}\}$ は位数 $n+1$ 以下の閉被覆で、$O_j\supset C_j$ なので $\{O_j\}$ は位数 $n+1$ 以下の開被覆、$O_j\subset U_j$ である。したがって、どの有限開被覆にもこのような閉被覆があれば $\dim X\le n$ である。

段 4（開被覆の列）。$X$ の有限開被覆 $\{U_1,\dots,U_k\}$ をとり、$E_0=\emptyset$、$E_m=F_1\cup\dots\cup F_m$ とおく。開被覆 $\{U_{m,1},\dots,U_{m,k}\}$（$m\ge0$）で、(a) $\overline{U_{0,j}}\subset U_j$、$m\ge1$ では $\overline{U_{m,j}}\subset U_{m-1,j}$、(b) $E_m$ の各点が属する $\overline{U_{m,j}}$ は高々 $n+1$ 個、をみたすものを帰納的につくる。$m=0$ は段 1 による（(b) は空集合について自明）。$m\ge1$ とし、$m-1$ までできたとする。$n+2$ 個以上の $\overline{U_{m-1,j}}$ に属する点の集合 $B$ は、そのような $n+2$ 個の共通部分の有限個の和なので閉であり、(b) により $B\cap E_{m-1}=\emptyset$ である。$Z=B\cap F_m$ は $F_m$ の閉集合なので、prop-covdim-closed により $\dim Z\le\dim F_m\le n$ である。$Z$ の開被覆 $\{Z\cap U_{m-1,j}\}_j$ に段 2 を使い、$Z$ の開集合 $V_j\subset Z\cap U_{m-1,j}$ で $Z$ を覆い、位数 $n+1$ 以下のものをとる。$W_j=U_{m-1,j}\setminus(Z\setminus V_j)$ とおく。$Z\setminus V_j$ は $Z$ の閉集合で $Z$ は $X$ の閉集合なので、$W_j$ は $X$ の開集合で、$W_j\cap Z=V_j$ である。$Z$ の外では $W_j$ と $U_{m-1,j}$ は一致し、$Z$ は $\{V_j\}$ で覆われるので、$\{W_j\}$ は $X$ を覆う。$E_m$ の点 $x$ が $n+2$ 個の $W_j$ に属するとすると、$W_j\subset U_{m-1,j}$ から $x\in B$ で、$x\in E_m\cap B\subset F_m\cap B=Z$（$B\cap E_{m-1}=\emptyset$ による）となり、$x$ は $n+2$ 個の $V_j=W_j\cap Z$ に属して位数の条件に反する。$\{W_j\}$ に段 1 を使い、$\overline{U_{m,j}}\subset W_j$ となる開被覆 $\{U_{m,j}\}$ をとれば (a)(b) がみたされる。

段 5（極限）。$C_j=\bigcap_{m\ge0}\overline{U_{m,j}}$ とおく。(a) により $\overline{U_{m,j}}$ は $m$ について減少し、$C_j$ は閉で $C_j\subset\overline{U_{0,j}}\subset U_j$ である。$x\in X$ について、各 $m$ で $x$ はある $U_{m,j}$ に属し、添字は有限個なので、ある $j$ で無限個の $m$ について $x\in U_{m,j}$ である。減少性からすべての $m$ で $x\in\overline{U_{m,j}}$ となり、$x\in C_j$ である。よって $\{C_j\}$ は被覆である。$x\in F_i$ とすると $x\in E_i$ で、$x$ が属する $C_j$ は $\overline{U_{i,j}}$ にも属するので、(b) から高々 $n+1$ 個である。段 3 により $\dim X\le n$ である。$\square$

$\xi$ を自明にする開集合の被覆を prop-covdim-paracompact で細分し、位数 $d+1$ 以下の局所有限な開被覆 $\{V_a\}_{a\in A}$ をとる。パラコンパクト空間 の定理「1 の分割の存在」の 1 の分割を、1の分割 の補題「添字の付け替え」と同じ和の取り方で $V_a$ ごとにまとめ、$\operatorname{supp}\rho_a\subset V_a$ となる 1 の分割 $\{\rho_a\}_{a\in A}$ を得る。

空でない有限集合 $S\subset A$ ごとに $U(S):=\{b\in B\mid\min_{a\in S}\rho_a(b)>\sup_{a\notin S}\rho_a(b)\}$ とおく（$S=A$ のときの右辺の上限は $0$ とする）。各点の近傍では有限個の $\rho_a$ を除いて恒等的に $0$ なので、そこで右辺の上限は有限個の連続関数と $0$ の最大値であり、$U(S)$ は開集合である。$b\in U(S)$ なら $a\in S$ で $\rho_a(b)>0$、したがって $b\in V_a$ なので、位数の条件から $\lvert S\rvert\le d+1$ であり、$U(S)\subset V_a$ の上で $\xi$ は自明である。$\lvert S\rvert=\lvert T\rvert$、$S\ne T$ なら $a\in S\setminus T$、$a'\in T\setminus S$ があり、$U(S)$ の上で $\rho_a>\rho_{a'}$、$U(T)$ の上で $\rho_{a'}>\rho_a$ なので $U(S)\cap U(T)=\emptyset$ である。よって $U_k:=\bigcup_{\lvert S\rvert=k}U(S)$（$1\le k\le d+1$）は互いに交わらない開集合の和で、各片の自明化を並べると $\xi$ は $U_k$ の上で自明である。$b\in B$ について $S(b):=\{a\mid\rho_a(b)>0\}$ は空でない有限集合で $b\in U(S(b))$ なので、$U_1,\dots,U_{d+1}$ は $B$ を覆う。

残りは ベクトル束の分類定理 の系「コンパクトな底空間」の証明による。そこでコンパクト性は、有限個の自明化の開集合で覆えることにだけ使われているので、その $V_1,\dots,V_n$ を $U_1,\dots,U_{d+1}$ に替えると、$\mathbb{K}^{n(d+1)}$ に値をとるファイバーごとに単射な写像、その Gauss 写像 $g$、像の直交補空間をファイバーとする $\xi^\perp$ が得られる。$\square$