基本類

$S:=\{x\in M\mid\alpha_x=0\}$ とおく。$x\in M$ について、局所整合性の座標球 $B\ni x$ と $\alpha_B$ をとる。$y\in B$ について制限 $H_n(M\,|\,B)\to H_n(M\,|\,y)$ は同型なので、$\alpha_y=0$ と $\alpha_B=0$ は同値であり、これは $y\in B$ によらない。よって $B\subset S$ か $B\cap S=\emptyset$ のどちらかであり、$S$ も $M\setminus S$ も開集合である。$M$ は連結で $x_0\in S$ なので $S=M$ である。単射性は、2 つの族の差に適用すればよい。$\square$

$x\mapsto[M]_x$ は局所整合的で、各値が生成元なので $R$ 向き付けである。$[M]$ を特異輪体 $z=\sum_j r_j\sigma_j$ で代表すると、像 $\lvert z\rvert:=\bigcup_j\sigma_j(\Delta^n)$ はコンパクトである。$x\notin\lvert z\rvert$ なら $z$ は $M\setminus\{x\}$ の鎖なので $[M]_x=0$ であり、$[M]_x$ が生成元であることに反する。よって $M=\lvert z\rvert$ はコンパクトである。$\square$

4 段で示す。座標近傍とは、同相写像 $\varphi\colon\mathbb{R}^n\to W$ を固定した開集合 $W\subset M$ のことで、$W$ の部分集合が 凸 であるとは、$\varphi$ による逆像が $\mathbb{R}^n$ の凸集合であることをいう。
段 1（和集合）．コンパクト集合 $A$、$B$、$A\cap B$ がよい集合なら、$A\cup B$ もよい集合である。$M\setminus A$ と $M\setminus B$ は開集合で、その和は $M\setminus(A\cap B)$、共通部分は $M\setminus(A\cup B)$ なので、相対 Mayer–Vietoris 完全列（Hat02 §2.2, p. 152）
$$ H_{i+1}(M\,|\,A\cap B)\xrightarrow{\ \partial\ }H_i(M\,|\,A\cup B)\xrightarrow{\ \Phi\ }H_i(M\,|\,A)\oplus H_i(M\,|\,B)\xrightarrow{\ \Psi\ }H_i(M\,|\,A\cap B) $$
がある。ここで $\Phi(\gamma)=(\gamma|_A,-\gamma|_B)$、$\Psi(a,b)=a|_{A\cap B}+b|_{A\cap B}$ で、$|$ は制限を表す。$i>n$ では左端と中央の項が $0$ なので $H_i(M\,|\,A\cup B)=0$ である。$i=n$ では左端が $0$ なので $\Phi$ は単射である。一意性：$\gamma\in H_n(M\,|\,A\cup B)$ のすべての点での制限が $0$ なら、$\gamma|_A$ と $\gamma|_B$ も各点での制限が $0$ なので $0$ であり、$\Phi(\gamma)=0$ から $\gamma=0$ である。存在：$\alpha\in\Gamma(M;R)$ について、$A$、$B$ での類 $\alpha_A$、$\alpha_B$ をとる。$\alpha_A|_{A\cap B}$ と $\alpha_B|_{A\cap B}$ はどちらも $A\cap B$ の各点で $\alpha_x$ に制限されるので、$A\cap B$ での一意性により等しく、$\Psi(\alpha_A,-\alpha_B)=0$ である。完全性により $\Phi(\gamma)=(\alpha_A,-\alpha_B)$ となる $\gamma$ があり、$\gamma$ の各点 $x\in A\cup B$ での制限は $\alpha_x$ である。
段 2（凸集合）．座標近傍 $W$ の中のコンパクトな凸集合 $A$ はよい集合であり、すべての $x\in A$ について制限 $H_i(M\,|\,A)\to H_i(M\,|\,x)$ は同型である。実際、$M\setminus W$ は閉集合で開集合 $M\setminus A$ に含まれるので、切除（切除定理 の定理「切除定理」）により $H_i(M\,|\,A)\cong H_i(W\,|\,A)$、$H_i(M\,|\,x)\cong H_i(W\,|\,x)$ であり、$\varphi$ で $\mathbb{R}^n$ の問題になる。$A':=\varphi^{-1}(A)$、$x':=\varphi^{-1}(x)$ とし、$x'$ を中心として $A'$ を内部に含む球面 $S$ をとる。$x'$ から出る半直線は凸集合 $A'$ を一度出たら戻らないので、$x'$ からの動径方向の移動は $\mathbb{R}^n\setminus A'$ と $\mathbb{R}^n\setminus\{x'\}$ の両方を $S$ へ変位レトラクトする。よって包含 $\mathbb{R}^n\setminus A'\hookrightarrow\mathbb{R}^n\setminus\{x'\}$ はホモトピー同値であり、対の長完全列と五項補題により $H_i(\mathbb{R}^n\,|\,A')\to H_i(\mathbb{R}^n\,|\,x')$ は同型である。これで同型が示され、$i>n$ では $H_i(M\,|\,A)\cong H_i(M\,|\,x)=0$ である。1 の一意性は $x\in A$ での制限の単射性から従う。存在は、$x_0\in A$ をとり、$\alpha_{x_0}$ の逆像を $\alpha_A$ とすればよい。その各点での制限が $\alpha_x$ に一致することは、lem-fc-connected と同じ開閉論法による。

• $i>n$ なら $\beta_K=0$、よって $\beta=0$ である。
• $i=n$ で $\beta$ の $A'$ の各点での制限が $0$ だとする。$K$ を作る閉球 $D$ は中心 $a\in A'$ をもち、$D$ は凸なので $H_n(\cdot\,|\,D)\to H_n(\cdot\,|\,a)$ と $H_n(\cdot\,|\,D)\to H_n(\cdot\,|\,y)$（$y\in D$）は同型である。$\beta_K|_D$ の $a$ での制限は $\beta_a=0$ なので $\beta_K|_D=0$、よって $\beta_K$ の各点 $y\in K$ での制限は $0$ である。$K$ での一意性から $\beta_K=0$、よって $\beta=0$ である。
• 存在は、$A$ を含む $W$ の中の大きな閉球 $D$ をとり、段 2 で得た $\alpha_D$ を $A$ へ制限すればよい。
  段 4（一般のコンパクト集合）．$A\subset M$ をコンパクト集合とする。各 $x\in A$ に座標近傍 $W_x$ と $x$ を内部に含む閉球 $D_x\subset W_x$ をとると、有限個の $D_{x_1},\dots,D_{x_m}$ の内部が $A$ を覆い、$A_j:=A\cap D_{x_j}$ は $W_{x_j}$ に含まれるコンパクト集合で $A=A_1\cup\cdots\cup A_m$ である。「それぞれある座標近傍に含まれる $m$ 個のコンパクト集合の和はよい集合」を $m$ に関する帰納法で示す。$m=1$ は段 3 である。$A_1\cup\cdots\cup A_{m-1}$ と $A_m$ に段 1 を使えばよく、共通部分 $(A_1\cap A_m)\cup\cdots\cup(A_{m-1}\cap A_m)$ は、それぞれ座標近傍に含まれる $m-1$ 個のコンパクト集合の和である。$\square$

lem-fc-main を $A=M$ に適用すると、2 から 3 が従い、1 から写像 $H_n(M)\to\Gamma(M;R)$ が同型であることが従う。lem-fc-connected により評価 $\Gamma(M;R)\to H_n(M\,|\,x)$ は単射なので、合成 $H_n(M)\to H_n(M\,|\,x)$ も単射であり、その像は「$x$ での値として現れるもの」の全体である。
1．$\mu$ を $R$ 向き付けとする。$\mu_x$ は $H_n(M\,|\,x)\cong R$ の基底なので、任意の元は $r\mu_x$ と書け、$r\mu$ は局所整合的な族である。よって評価は全射であり、制限 $H_n(M)\to H_n(M\,|\,x)$ は同型である。族 $\mu$ に対応する $H_n(M)$ の元が $\mu$ に関する基本類で、その一意性は単射性による。
2．要点は、$2r\ne0$ となる値 $r\varepsilon_x$ をもつ局所整合的な族があれば $\mathbb{Z}$ 向き付けが作れることである。

$\gamma\in H_i(M)$ を輪体 $z$ で代表する。$z$ の像はコンパクトなので、それを含み閉包 $\overline U$ がコンパクトな開集合 $U$ がとれる（有限個の座標球で覆えばよい）。$V:=M\setminus\overline U$ とおく。$U$ と $V$ は交わらない開集合なので $H_i(U\cup V,V)\cong H_i(U)$ であり、三つ組 $(M,U\cup V,V)$ の長完全列（相対ホモロジー の命題「三対の長完全列」）
$$ H_{i+1}(M,U\cup V)\to H_i(U)\to H_i(M,V) $$
において、$M\setminus(U\cup V)=\overline U\setminus U$ はコンパクトなので左端は $H_{i+1}(M\,|\,\overline U\setminus U)=0$（lem-fc-main の 2、$i+1>n$）であり、包含が誘導する $H_i(U)\to H_i(M,V)=H_i(M\,|\,\overline U)$ は単射である。$i>n$ なら $H_i(M\,|\,\overline U)=0$ なので、$z$ は $U$ で境界であり $\gamma=0$ である。$i=n$ のとき、族 $x\mapsto\gamma_x$ は局所整合的で、$M$ はコンパクトでないので $z$ の像の外の点 $x_1$ があり $\gamma_{x_1}=0$ である。lem-fc-connected により $\gamma_x=0$（すべての $x$）であり、$z$ の $H_n(M\,|\,\overline U)$ での類は $\overline U$ の各点での制限が $0$ なので、lem-fc-main の 1 の一意性により $0$ である。単射性から $z$ は $H_n(U)$ で $0$、よって $\gamma=0$ である。$\square$

1 はホモロジーのホモトピー不変性と関手性 $(g\circ f)_*=g_*f_*$ による。同相写像 $f$ では $\deg f\cdot\deg f^{-1}=1$ である。2 は $N$ の向きを逆にすると基本類が $-[N]$ になることによる。3 を示す。$f$ が点 $y$ を通らないとすると、$f$ は包含 $\iota\colon N\setminus\{y\}\hookrightarrow N$ を経由し、$f_*[M]=\iota_*(f'_*[M])$（$f'\colon M\to N\setminus\{y\}$）である。$N\setminus\{y\}$ の連結成分 $C$ は開集合であり、もし $C$ がコンパクトなら $N$ の閉集合でもあり、$N$ の連結性から $C=N$ となって $y\notin C$ に反する。よって各成分はコンパクトでない連結な多様体で、prop-fc-noncompact により $H_n(C)=0$ であり、$H_n(N\setminus\{y\})=\bigoplus_CH_n(C)=0$ である。したがって $f_*[M]=0$、すなわち $\deg f=0$ である。$\square$