局所コンパクト群のユニタリ表現

同義語：Unitary representations of locally compact groups

概要

前提知識: 位相群, 局所コンパクト空間, Hilbert空間, Radon測度

位相群の作用をHilbert空間上で調べる

局所コンパクト群のユニタリ表現は、群の積と位相をHilbert空間上のユニタリ作用素として同時に表す。有限群の表現論とFourier解析を同じ枠内に置く理論であり、Haar測度を使うと群上の関数を作用素へ積分できる。正定値関数からは巡回表現を再構成でき、コンパクト群ではPeter--Weylの定理が有限群に似た離散的な分解を与える。
本記事では見取り図と基本的な接続を扱う。Haar測度の構成、抽象 $C^*$-環上のGNS構成、Banach環のスペクトル理論、可換群のPontryagin双対性は、それぞれ独立した理論であるため詳細を重複させない。

Haar測度と群環

以下、$G$ は局所コンパクトHausdorff群とする。

左Haar測度

$G$ 上の零でない正のRadon測度 $\mu$ が、任意のBorel集合 $E\subset G$ と $g\in G$ に対して
$$ \mu(gE)=\mu(E) $$
を満たすとき、$\mu$ を左Haar測度という。

Haar測度の存在と一意性

任意の局所コンパクトHausdorff群は左Haar測度をもつ。二つの左Haar測度 $\mu$、$\nu$ に対しては、ある定数 $c>0$ が存在して $\nu=c\mu$ となる。F16 Theorems 2.10 and 2.20。

一意性証明の注意

非可換群では、二重積分中の $y^{-1}x$ と $x^{-1}y$ を対称性だけで交換できない。また右平行移動は左Haar測度を一般には保存しない。したがって一意性を示す際、左不変性だけで右平行移動の変数変換を行ってはいけない。本記事ではこの繊細な証明を再構成せず、上の出典へ委ねる。

モジュラー関数

左Haar測度 $\mu$ を固定する。各 $g\in G$ に対して一意な $\Delta(g)>0$ が存在し、
$$ \int_G f(xg)\,d\mu(x) =\Delta(g)^{-1}\int_G f(x)\,d\mu(x) $$
が $f\in C_c(G)$ について成り立つ。この規約で定まる連続準同型
$$ \Delta:G\longrightarrow\mathbb R_{>0} $$
をモジュラー関数という。$\Delta\equiv1$ のとき $G$ をユニモジュラー群という。

コンパクト群、離散群、可換局所コンパクト群はユニモジュラーである。コンパクト群ではHaar測度を $\mu(G)=1$ と一意に正規化できる。離散群では数え上げ測度、$\mathbb R^n$ の加法群ではLebesgue測度がHaar測度である。

$L^1$群環

$f,h\in L^1(G,\mu)$ に対し
$$ (f*h)(x):=\int_G f(y)h(y^{-1}x)\,d\mu(y), $$
$$ f^*(x):=\Delta(x^{-1})\overline{f(x^{-1})} $$
と定める。この積と対合により $L^1(G)$ はBanach $*$-環になる。

非単位的である場合

$G$ が離散群なら $\delta_e$ が $L^1(G)$ の単位元である。非離散群では $L^1(G)$ は一般に単位元をもたず、近似単位元を使う。したがって、単位元の像を巡回ベクトルとする単位的GNS構成を、そのまま非離散群の $L^1(G)$ に適用してはならない。

強連続ユニタリ表現

複素Hilbert空間 $\mathcal H$ 上のユニタリ群を $\mathcal U(\mathcal H)$ とする。準同型
$$ \pi:G\longrightarrow\mathcal U(\mathcal H) $$
が、すべての $\xi\in\mathcal H$ について写像 $g\mapsto\pi(g)\xi$ がノルム連続であるとき、$\pi$ を強連続ユニタリ表現という。

行列係数・巡回性・既約性

$\xi,\eta\in\mathcal H$ に対し
$$ \pi_{\xi,\eta}(g):=\langle\xi,\pi(g)\eta\rangle $$
を $\pi$ の行列係数という。ここでは内積を第2変数について線形とする。$\operatorname{span}\{\pi(g)\xi:g\in G\}$ が稠密であるとき $\xi$ を巡回ベクトルという。$\{0\}$ と $\mathcal H$ 以外に閉不変部分空間をもたない表現を既約という。

行列係数による強連続性の判定

ユニタリ表現 $\pi$ について、すべての $\xi\in\mathcal H$ に対する対角行列係数
$$ g\longmapsto\langle\xi,\pi(g)\xi\rangle $$
が単位元 $e$ で連続なら、$\pi$ は強連続である。

強連続性判定の証明

$g\to e$ のとき、ユニタリ性から
$$ \begin{aligned} \|\pi(g)\xi-\xi\|^2 &=\|\pi(g)\xi\|^2+\|\xi\|^2 -2\operatorname{Re}\langle\xi,\pi(g)\xi\rangle\\ &=2\|\xi\|^2 -2\operatorname{Re}\langle\xi,\pi(g)\xi\rangle \longrightarrow0. \end{aligned} $$
従って軌道写像は $e$ で連続である。任意の $g_0\in G$ に対して
$$ \|\pi(g)\xi-\pi(g_0)\xi\| =\|\pi(g_0^{-1}g)\xi-\xi\| $$
なので $g_0$ でも連続である。

左正則表現

左Haar測度に関する $L^2(G)$ 上で
$$ (\lambda(g)\xi)(x):=\xi(g^{-1}x) $$
と定めると、$\lambda$ は強連続ユニタリ表現になる。これを左正則表現という。

左正則表現の証明

左不変性と変数変換 $y=g^{-1}x$ により
$$ \|\lambda(g)\xi\|_2^2 =\int_G|\xi(g^{-1}x)|^2\,d\mu(x) =\int_G|\xi(y)|^2\,d\mu(y) $$
である。また $\lambda(g)\lambda(h)=\lambda(gh)$、$\lambda(g)^{-1}=\lambda(g^{-1})$ なので各 $\lambda(g)$ はユニタリである。
$\xi\in C_c(G)$ なら、$g\to e$ のとき $\xi(g^{-1}x)\to\xi(x)$ が各点で成り立つ。$e$ の相対コンパクトな近傍内で $g$ を動かせば、差の台は一つのコンパクト集合に含まれ、被積分関数は $4\|\xi\|_\infty^2$ で抑えられる。優収束定理から $\|\lambda(g)\xi-\xi\|_2\to0$ である。$C_c(G)$ は $L^2(G)$ で稠密であり、$\lambda(g)$ の作用素ノルムは常に $1$ なので、近似により任意の $\xi\in L^2(G)$ について同じ結論が従う。

表現の積分形

積分形

$\pi$ を強連続ユニタリ表現とする。$f\in L^1(G)$ に対し
$$ \pi(f)\xi:=\int_G f(g)\pi(g)\xi\,d\mu(g) $$
と定める。右辺はHilbert空間値のBochner積分である。これを $\pi$ の積分形という。

積分形の基本評価

任意の $f\in L^1(G)$ に対して
$$ \|\pi(f)\|\leq\|f\|_{L^1(G)}. $$
さらに $\pi(f*h)=\pi(f)\pi(h)$、$\pi(f^*)=\pi(f)^*$ が成り立つ。従って積分形は $L^1(G)$ の有界 $*$-表現である。

基本評価の証明

$\|\pi(g)\xi\|=\|\xi\|$ なので、Bochner積分の三角不等式から
$$ \|\pi(f)\xi\| \leq\int_G|f(g)|\|\pi(g)\xi\|\,d\mu(g) =\|f\|_1\|\xi\| $$
を得る。ゆえに作用素ノルムの評価が従う。積の等式はFubiniの定理と
$$ \pi(g)\pi(h)=\pi(gh) $$
を用い、変数 $x=gh$ を入れれば得られる。随伴の等式は
$$ \langle\pi(g^{-1})\xi,\eta\rangle =\langle\xi,\pi(g)\eta\rangle $$
と反転写像におけるHaar測度の変換公式を用いる。この変換公式に現れるモジュラー関数が、$f^*(x)=\Delta(x^{-1})\overline{f(x^{-1})}$ という定義に正確に対応する。

群表現と群環表現の対応

強連続ユニタリ表現の積分形は $L^1(G)$ の非退化な有界 $*$-表現である。逆に、$L^1(G)$ の非退化な有界 $*$-表現からは一意な強連続ユニタリ表現が復元される。この二つの操作はユニタリ同値を保ち、互いに逆である。F16 Chapter 3。

非退化性と巡回性は別である

非退化性は $\overline{\pi(L^1(G))\mathcal H}=\mathcal H$ を意味する。一つのベクトルの軌道が稠密になる巡回性より弱い。特に、非単位的な $L^1(G)$ の表現について近似単位元の極限が自動的に一つの巡回ベクトルを与えるとは限らない。

正定値関数と群に対するGNS構成

正定値関数

関数 $\varphi:G\to\mathbb C$ が正定値であるとは、任意の $m\geq1$、$g_1,\ldots,g_m\in G$、$c_1,\ldots,c_m\in\mathbb C$ に対して
$$ \sum_{i,j=1}^m\overline{c_i}c_j \varphi(g_i^{-1}g_j)\geq0 $$
となることをいう。

正定値関数の基本評価

正定値関数 $\varphi$ は
$$ \varphi(e)\geq0,\qquad \varphi(g^{-1})=\overline{\varphi(g)},\qquad |\varphi(g)|\leq\varphi(e) $$
を満たす。特に $\varphi(e)=0$ なら $\varphi=0$ である。

正定値関数の基本評価の証明

$m=1$、$g_1=e$ とすれば $\varphi(e)\geq0$ である。$m=2$、$g_1=e$、$g_2=g$ とすると、行列
$$ \begin{pmatrix} \varphi(e)&\varphi(g)\\ \varphi(g^{-1})&\varphi(e) \end{pmatrix} $$
が半正定値である。半正定値行列はHermite行列なので $\varphi(g^{-1})=\overline{\varphi(g)}$ であり、その行列式が非負であることから
$$ \varphi(e)^2-|\varphi(g)|^2\geq0 $$
を得る。これが残りの主張を与える。

ユニタリ表現 $\pi$ とベクトル $\xi$ から
$$ \varphi_\xi(g):=\langle\xi,\pi(g)\xi\rangle $$
とおくと、$\varphi_\xi$ は連続な正定値関数である。逆も成り立つ。

正定値関数のGNS表現

連続な正定値関数 $\varphi:G\to\mathbb C$ に対して、強連続ユニタリ表現 $(\pi_\varphi,\mathcal H_\varphi)$ と巡回ベクトル $\xi_\varphi$ が存在し、
$$ \varphi(g)=\langle\xi_\varphi,\pi_\varphi(g)\xi_\varphi\rangle $$
を満たす。この三つ組は、この等式を満たし巡回であるという条件のもとでユニタリ同値を除いて一意である。F16 §3.3。

構成の位置づけ

群に対する直接の構成では、有限形式和の空間 $\mathbb C[G]$ に
$$ \left\langle\sum_i c_i[g_i],\sum_j d_j[h_j]\right\rangle_\varphi =\sum_{i,j}\overline{c_i}d_j\varphi(g_i^{-1}h_j) $$
という半内積を入れ、零空間で割って完備化する。左平行移動が表現を与え、$[e]$ が巡回ベクトルになる。連続性は $\varphi$ の連続性から従う。抽象 $C^*$-環上で零空間が左イデアルになることや状態から巡回表現を得る一般論は GNS構成が所有する。

端点と既約性

「正定値関数が端点ならGNS表現が既約」という主張には、凸集合を指定する必要がある。正規化 $\varphi(e)=1$ を課した連続正定値関数全体は、全群 $C^*$-環の状態空間と対応する。この集合の端点、すなわち純粋状態に対応するGNS表現は既約である。正規化していない錐や、単に $L^1(G)$ 上の正汎関数とだけ述べた場合へ無条件に同じ文を移してはいけない。F16 Chapter 3、BR87 §2.3。

既約性とSchurの補題

絡作用素

表現 $\pi:G\to\mathcal U(\mathcal H_\pi)$、$\rho:G\to\mathcal U(\mathcal H_\rho)$ に対し、有界作用素 $T:\mathcal H_\pi\to\mathcal H_\rho$ が
$$ T\pi(g)=\rho(g)T\qquad(g\in G) $$
を満たすとき、$T$ を絡作用素という。

Schurの補題

$\pi$、$\rho$ を既約ユニタリ表現とする。零でない絡作用素 $T:\mathcal H_\pi\to\mathcal H_\rho$ が存在すれば、$\pi$ と $\rho$ はユニタリ同値である。特に $\pi=\rho$ の場合、$\pi(G)$ と可換する有界作用素はスカラー作用素だけである。F16 Proposition 3.5。

スペクトル射影を用いる証明の注意

自己共役な可換作用素にSchurの補題を適用する証明では、スペクトル射影は一般に作用素の連続関数ではなくBorel関数計算によって得られる。射影が表現と可換することは、可換するユニタリがスペクトル測度全体と可換するというスペクトル定理の一意性から示す必要がある。本記事ではこの作用素論を省略し、出典へ委ねる。

コンパクト群とPeter--Weylの定理

$G$ がコンパクト群のとき、以下では $\mu(G)=1$ と正規化したHaar測度を使う。

Peter--Weylの定理

コンパクト群 $G$ について次が成り立つ。

既約ユニタリ表現はすべて有限次元である。
有限次元既約ユニタリ表現の行列係数の線形包は $C(G)$ で一様稠密であり、従って $L^2(G)$ でも稠密である。
異なる既約表現の行列係数空間は $L^2(G)$ で直交し、
$$ L^2(G)\cong \widehat{\bigoplus}_{[\sigma]\in\widehat G} \mathcal H_\sigma\otimes\mathcal H_\sigma^* $$
というHilbert直和分解をもつ。
$G$ の任意の強連続ユニタリ表現は有限次元既約表現のHilbert直和に分解する。
ここで $\widehat G$ は既約ユニタリ表現の同値類全体である。F16 Chapter 5。

円周群

円周群 $\mathbb T$ の既約ユニタリ表現は
$$ \chi_m(z)=z^m\qquad(m\in\mathbb Z) $$
という1次元表現で尽くされる。Peter--Weyl分解は
$$ L^2(\mathbb T) =\widehat{\bigoplus}_{m\in\mathbb Z}\mathbb C\chi_m $$
となり、通常のFourier級数展開を与える。

非コンパクト群との違い

$G=\mathbb R$ では指標 $x\mapsto e^{itx}$ が $t\in\mathbb R$ によって連続的に動く。左正則表現のFourier分解は離散直和ではなく直積分になる。従って、Peter--Weyl定理の「既約表現のHilbert直和」という結論を非コンパクト群へそのまま拡張することはできない。

理論の分岐

可換局所コンパクト群では既約ユニタリ表現は1次元指標であり、Pontryagin双対群とFourier変換へ進む。
一般の非コンパクト群では既約表現の分類だけでなく、直積分分解、Plancherel測度、誘導表現が必要になる。
群 $C^*$-環は $L^1(G)$ の積分形を作用素ノルムで完備化し、ユニタリ表現を $C^*$-環の表現として扱う。ただし全群 $C^*$-環と被約群 $C^*$-環は一般に異なる。
コンパクト群ではPeter--Weylの定理により有限次元表現、指標、行列係数が中心になる。