Peano曲線

同義語：Peano curve空間充填曲線space-filling curveペアノ曲線

概要

前提知識: 道(位相), 一様収束, Banachの不動点定理, Cantor集合

Peano 曲線（Peano curve）は、閉区間 $[0,1]$ から正方形 $[0,1]^2$ への連続な全射、すなわち正方形のすべての点を通る「曲線」である。1 次元の線が 2 次元の領域を埋め尽くせるという事実は、連続写像が次元を保つという素朴な直観が誤りであることを示す。一方で、Peano 曲線は単射にはなりえず、滑らかさにも限界がある。この記事では、正方形を 4 つに分けて自己相似に曲線をたどる構成（Hilbert 曲線）と、Schoenberg による級数を使う構成の 2 つを完全に証明し、Peano 曲線が単射になりえないこと、Hölder 指数 $1/2$ が最良であること、$[0,1]$ の連続像が局所連結であることを示す。

定義

以下 $I:=[0,1]$、$Q:=[0,1]^2$ とし、$\mathbb{R}^2$ には Euclid ノルム $|\cdot|$ を入れる。

Peano 曲線

連続な全射 $f\colon I\to Q$ を Peano 曲線、または空間充填曲線（space-filling curve）という。$I$ から立方体 $I^n$（$n\ge3$）への連続な全射（cor-peano-cube）も同じ名で呼ぶことがある。

Peano 曲線は、道(位相) の例「空間充填曲線」で存在だけが述べられている道である。Peano の名は特定の構成を指すこともあるが、この記事では上の広い意味で使う。
$f\colon I\to\mathbb{R}^2$ が 指数 $\alpha$ の Hölder 連続（$0<\alpha\le1$）であるとは、定数 $C$ があって、すべての $s,t\in I$ について $|f(s)-f(t)|\le C|s-t|^\alpha$ となることをいう。$\alpha=1$ のときが Lipschitz 連続である。

自己相似な構成（Hilbert 曲線）

正方形 $Q$ を 4 つの閉じた小正方形（象限）に分け、左下・左上・右上・右下の順にたどる。次の 4 つの写像 $\varphi_0,\dots,\varphi_3\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ を使う。
$$ \varphi_0(x,y)=\Bigl(\frac y2,\frac x2\Bigr),\quad\varphi_1(x,y)=\Bigl(\frac x2,\frac y2+\frac12\Bigr),\quad\varphi_2(x,y)=\Bigl(\frac x2+\frac12,\frac y2+\frac12\Bigr),\quad\varphi_3(x,y)=\Bigl(1-\frac y2,\frac12-\frac x2\Bigr). $$
各 $\varphi_i$ は線形部分が直交行列の $1/2$ 倍である相似変換で、$|\varphi_i(p)-\varphi_i(q)|=\frac12|p-q|$ を満たす。$\varphi_0(Q)=[0,\frac12]^2$、$\varphi_1(Q)=[0,\frac12]\times[\frac12,1]$、$\varphi_2(Q)=[\frac12,1]^2$、$\varphi_3(Q)=[\frac12,1]\times[0,\frac12]$ は $Q$ の 4 つの象限である。さらに、端点について
$$ \varphi_0(0,0)=(0,0),\quad\varphi_i(1,0)=\varphi_{i+1}(0,0)\ (i=0,1,2),\quad\varphi_3(1,0)=(1,0)\qquad\text{(E)} $$
が成り立つ（順に $(0,\frac12)$、$(\frac12,\frac12)$、$(1,\frac12)$）。$(0,0)$ から $(1,0)$ へ向かう曲線を、各象限で縮小・回転した同じ曲線に置き換えると、つなぎ目がちょうど合うということである。

Hilbert 曲線

連続写像 $H\colon I\to Q$ で、$H(0)=(0,0)$、$H(1)=(1,0)$ かつ
$$ H(t)=\varphi_i\bigl(H(4t-i)\bigr)\qquad\Bigl(t\in\Bigl[\frac i4,\frac{i+1}4\Bigr],\ i=0,1,2,3\Bigr)\qquad\text{(S)} $$
を満たすものがただ 1 つある。この $H$ は全射であり、すべての $s,t\in I$ について
$$ |H(s)-H(t)|\le4\sqrt2\,|s-t|^{1/2} $$
を満たす。とくに $H$ は Peano 曲線である。

縮小写像の不動点

段 1（存在と一意性）。 $C(I,Q)$ を連続写像 $I\to Q$ の全体とし、距離 $\rho(g,h):=\sup_{t\in I}|g(t)-h(t)|$ を入れる。$\rho$ についての Cauchy 列は各点で Cauchy 列なので、閉集合 $Q$ の点に各点収束し、その収束は一様である。連続写像の一様極限は連続なので（距離空間の位相の基本的性質の命題「連続写像の一様極限は連続」）、$(C(I,Q),\rho)$ は完備である。その部分集合 $\mathcal{X}:=\{g\mid g(0)=(0,0),\ g(1)=(1,0)\}$ は閉集合なので完備で、$t\mapsto(t,0)$ を含むので空でない。$g\in\mathcal{X}$ に対し、$t\in[\frac i4,\frac{i+1}4]$ で $(Tg)(t):=\varphi_i(g(4t-i))$ とおく。$t=\frac{i+1}4$ では 2 つの式の値が $\varphi_i(g(1))=\varphi_i(1,0)$ と $\varphi_{i+1}(g(0))=\varphi_{i+1}(0,0)$ になり、(E) により一致する。よって $Tg$ は 4 つの閉区間の上の連続写像を貼り合わせた連続写像で、値は $Q$ に入り、(E) により $Tg\in\mathcal{X}$ である。各点で $|(Tg)(t)-(Th)(t)|=\frac12|g(4t-i)-h(4t-i)|$ なので $\rho(Tg,Th)\le\frac12\rho(g,h)$ である。Banachの不動点定理の定理「Banach の不動点定理」により、$TH=H$ となる $H\in\mathcal{X}$ がただ 1 つある。$TH=H$ は (S) にほかならない。
段 2（小正方形への分割）。 長さ $n$ の語 $w=i_1i_2\cdots i_n$（$i_k\in\{0,1,2,3\}$）に対し
$$ a_w:=\sum_{k=1}^n i_k4^{-k},\qquad I_w:=[a_w,a_w+4^{-n}],\qquad\varphi_w:=\varphi_{i_1}\circ\cdots\circ\varphi_{i_n},\qquad Q_w:=\varphi_w(Q) $$
とおく（$n=0$ では $I_w=I$、$Q_w=Q$）。$Q_w$ は辺の長さ $2^{-n}$ の正方形である。すべての $s\in I$ について
$$ H(a_w+4^{-n}s)=\varphi_w(H(s))\qquad\text{(W)} $$
が成り立つことを $n$ の帰納法で示す。$w=iw'$（$w'$ は長さ $n-1$）とすると $a_w+4^{-n}s=\frac14\bigl(i+a_{w'}+4^{-(n-1)}s\bigr)$ なので、(S) と帰納法の仮定により $H(a_w+4^{-n}s)=\varphi_i(H(a_{w'}+4^{-(n-1)}s))=\varphi_i\varphi_{w'}(H(s))$ である。(W) から $H(I_w)\subset Q_w$ が従う。また $Q_{wi}=\varphi_w(\varphi_i(Q))$ であり、$\varphi_w$ は $Q$ の 4 つの象限を $Q_w$ の 4 つの象限に写すので、$Q_{w0},\dots,Q_{w3}$ は $Q_w$ の 4 つの象限で、合併は $Q_w$ である。$I_{w0},\dots,I_{w3}$ は $I_w$ を 4 等分した閉区間である。
段 3（全射）。 $p\in Q$ とする。$p\in Q_{i_1}$ となる $i_1$ をとり、$p\in Q_{i_1i_2}$ となる $i_2$ をとり、と続けて、すべての $n$ で $p\in Q_{i_1\cdots i_n}$ となる列 $(i_k)$ を選ぶ（段 2 により各段で選べる）。閉区間 $I_{i_1\cdots i_n}$ は減少し、長さが $4^{-n}\to0$ なので、ただ 1 点 $t$ を共有する。すべての $n$ で $H(t)$ と $p$ はともに直径 $\sqrt2\,2^{-n}$ の $Q_{i_1\cdots i_n}$ に属するので $|H(t)-p|\le\sqrt2\,2^{-n}$ であり、$H(t)=p$ である。
段 4（Hölder 評価）。 $0\le s< t\le1$ とし、$4^{-n-1}< t-s\le4^{-n}$ となる整数 $n\ge0$ をとる。$J_k:=[k4^{-n},(k+1)4^{-n}]$（$0\le k<4^n$）は、$k$ の 4 進表示の桁を並べた長さ $n$ の語 $w$ の $I_w$ である。$k$ を $k4^{-n}\le s<(k+1)4^{-n}$ となる整数とする（$s<1$ なので $0\le k<4^n$）。$t\le s+4^{-n}<(k+2)4^{-n}$ かつ $t\le1$ なので、$t\in J_k$ であるか、$k+1<4^n$ かつ $t\in J_{k+1}$ である。前者なら $|H(s)-H(t)|\le\sqrt2\,2^{-n}$ である。後者なら共通の端点 $u:=(k+1)4^{-n}$ を経由して $|H(s)-H(t)|\le|H(s)-H(u)|+|H(u)-H(t)|\le2\sqrt2\,2^{-n}$ である。$2^{-n}=2\cdot2^{-n-1}<2(t-s)^{1/2}$ なので、どちらの場合も $|H(s)-H(t)|\le4\sqrt2\,(t-s)^{1/2}$ である。$\square$

$g_0(t)=(t,0)$ から始めて $T$ を繰り返し当てた $T^ng_0$ は、$4^n$ 本の線分からなる折れ線で、各線分は辺 $2^{-n}$ の小正方形 $Q_w$ の 2 つの頂点を結ぶ。段 1 の縮小の評価から $\rho(T^ng_0,H)\le2^{-n}\rho(g_0,H)$ なので、この折れ線は $H$ に一様に収束する。Mun00 §44 Theorem 44.1（pp. 272–274）は、三角形の折れ線を 4 つの小さな三角形の折れ線に置き換える操作で同じ型の構成をしている。

級数による構成（Schoenberg）

$f\colon\mathbb{R}\to[0,1]$ を、$[0,\frac13]$ で $0$、$[\frac13,\frac23]$ で $3t-1$、$[\frac23,1]$ で $1$、$[1,2]$ で $f(t)=f(2-t)$ と定め、周期 $2$ で $\mathbb{R}$ 全体に延ばした連続関数とする。

Schoenberg の空間充填曲線

$$ \Phi(t):=\Bigl(\sum_{n=1}^\infty\frac{f(3^{2n-1}t)}{2^n},\ \sum_{n=1}^\infty\frac{f(3^{2n}t)}{2^n}\Bigr)\qquad(t\in I) $$
は $I$ から $Q$ への連続な全射である。さらに、$\Phi$ を Cantor集合 $C\subset I$ に制限しても $Q$ への全射である。

3 進表示と 2 進表示の対応

連続性。 各項は連続で、$n$ 番目の項の絶対値は $2^{-n}$ 以下である。部分和の列は一様 Cauchy 条件を満たすので一様収束し（距離空間の位相の基本的性質の命題「一様Cauchy条件と一様収束」）、極限は連続である。$\sum_n2^{-n}=1$ なので値は $Q$ に入る。
全射。 $(x_0,y_0)\in Q$ を 2 進表示して
$$ x_0=\sum_{n\ge1}2^{-n}a_{2n-1},\qquad y_0=\sum_{n\ge1}2^{-n}a_{2n}\qquad(a_k\in\{0,1\}) $$
と書く（$x_0=1$ ならすべての桁を $1$ にする）。$t_0:=\sum_{i\ge1}2a_i3^{-i-1}$ とおく。3 進表示の桁が $0$ と $2$ だけなので $t_0\in C$ である。$k\ge1$ について
$$ 3^kt_0=\sum_{i< k}2a_i3^{k-i-1}+\tau_k,\qquad\tau_k:=\sum_{j\ge0}2a_{k+j}3^{-j-1} $$
と分ける。第 1 項は偶数なので、周期性により $f(3^kt_0)=f(\tau_k)$ である。$a_k=0$ なら $0\le\tau_k\le\sum_{j\ge1}2\cdot3^{-j-1}=\frac13$、$a_k=1$ なら $\frac23\le\tau_k\le\sum_{j\ge0}2\cdot3^{-j-1}=1$ であり、どちらの場合も $f(\tau_k)=a_k$ である。よって $\Phi(t_0)=(x_0,y_0)$ である。$\square$

この構成は Rud76 第 7 章の演習 14（p. 168）にあり、I. J. Schoenberg（1938 年）によるものとして紹介されている。Cantor 集合は長さ（Lebesgue 測度）が $0$ だが、$\Phi$ はそれを面積 $1$ の正方形に連続に写す。

単射にはなりえないこと

連続な全単射 $I\to Q$ はない

連続な単射 $g\colon I\to Q$ は全射でない。とくに Peano 曲線は単射でない。

$g$ が全単射だとする。コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な全単射は同相写像である（閉集合はコンパクトなので、像はコンパクト、したがって閉）。$p:=g(1/2)$ とおくと、$I\setminus\{1/2\}$ と $Q\setminus\{p\}$ が同相になる。前者は 2 つの交わらない開集合 $[0,\frac12)$、$(\frac12,1]$ に分かれるので連結でない。後者は弧状連結である：$Q$ の周から $p$ を除いた集合 $P$ は、円周またはそこから 1 点を除いたものと同相で弧状連結であり、$q\in Q\setminus\{p\}$ を通る縦と横の線分は $q$ でだけ交わるので、少なくとも一方は $p$ を通らず、それに沿って $q$ を $P$ の点と結べる。弧状連結な空間は連結なので矛盾である。$\square$

同じ論法は道(位相) の例「反例の確かめ」にもある。連続性を外すと結論は成り立たない（ex-peano-counterexamples の 1 行目）。

滑らかさの限界

Hölder 指数の限界

$g\colon I\to\mathbb{R}^2$ が指数 $\alpha>1/2$ の Hölder 連続なら、$g(I)$ の Lebesgue 測度は $0$ である。とくに $g$ は Peano 曲線でない。

$|g(s)-g(t)|\le C|s-t|^\alpha$ とする。$N\ge1$ について $I$ を長さ $1/N$ の $N$ 個の閉区間に分ける。各区間の像は直径 $CN^{-\alpha}$ 以下なので、$x$ 座標と $y$ 座標の値はそれぞれ長さ $CN^{-\alpha}$ 以下の区間に入り、像は面積 $C^2N^{-2\alpha}$ 以下の長方形に含まれる。よって $g(I)$ の Lebesgue測度による外測度は $N\cdot C^2N^{-2\alpha}=C^2N^{1-2\alpha}$ 以下であり、$N\to\infty$ で $0$ に近づく。$Q$ の測度は $1$ なので $g(I)\ne Q$ である。$\square$

thm-peano-hilbert の Hilbert 曲線は指数 $1/2$ の Hölder 連続なので、この指数は改善できない。とくに Peano 曲線は Lipschitz 連続にならない。長さが有限の曲線は、弧長で径数を取り直すと像を変えずに Lipschitz 連続になるので、Peano 曲線は長さが有限の曲線（たとえば区分的に $C^1$ の曲線）にもならない。

$[0,1]$ の連続像と高次元への拡張

$[0,1]$ の連続像は局所連結

$X$ を Hausdorff空間、$g\colon I\to X$ を連続な全射とする。このとき $X$ はコンパクトかつ連結かつ局所連結である。

コンパクト性と連結性は、コンパクトな連結空間の連続像であることによる。$F\subset I$ が閉なら $F$ はコンパクトで、$g(F)$ はコンパクトなので Hausdorff 空間 $X$ の閉集合である。よって $g$ は閉写像である。$A\subset X$ について $g^{-1}(A)$ が開なら、$X\setminus A=g(I\setminus g^{-1}(A))$ は閉なので $A$ は開である。つまり $g$ は商写像である。$I$ は局所連結なので、局所連結空間の命題「開部分空間と商空間」により $X$ は局所連結である。$\square$

逆に、空でない Hausdorff 空間がコンパクト・連結・局所連結かつ距離化可能なら $I$ の連続像である（Hahn–Mazurkiewicz の定理。局所連結空間の注意「Peano空間」。この記事では証明しない）。Peano 曲線の存在はその特別な場合にあたる。

立方体への空間充填曲線

任意の $n\ge1$ について、連続な全射 $I\to I^n$ がある。

$H\colon I\to I^2$ を thm-peano-hilbert の曲線とする。$h_1:=\mathrm{id}_I$、$h_{k+1}:=(h_k\times h_k)\circ H\colon I\to I^{2^{k-1}}\times I^{2^{k-1}}=I^{2^k}$ とおくと、$h_k\colon I\to I^{2^{k-1}}$ は連続な全射の合成なので連続な全射である。$2^{k-1}\ge n$ となる $k$ をとり、最初の $n$ 個の座標への射影（全射）と合成すればよい。$\square$

Mun00 §44 演習 1（p. 274）は同じ主張を演習として挙げている。

反例：条件を外すと成り立たない

外す条件	反例	成り立たなくなること
prop-peano-not-injective の連続性	2 進表示の桁を使って作る全単射 $I\to Q$	単射な写像 $I\to Q$ が全射でないこと
prop-peano-holder-bound の $\alpha>1/2$	Hilbert 曲線 $H$（$\alpha=1/2$）	像の測度が $0$ であること
Hahn–Mazurkiewicz の定理の局所連結性	位相幾何学者の正弦曲線 $S$	$I$ の連続像であること

反例の確かめ

各行の確かめを開く

1 行目：$x\in I$ に、無限個の $0$ をもつ 2 進表示（$x=1$ は $0.111\cdots$ とする）をただ 1 つ対応させる。$(x,y)\in Q$ の 2 つの表示の桁を交互に並べた 2 進表示の数 $\sum_k b_k2^{-k}$ に $(x,y)$ を写す写像を考える。異なる $(x,y)$ は異なる桁の列を与える。2 つの異なる桁の列が同じ値を表すのは、一方がある桁から先すべて $1$ になるときに限る。交互に並べた列がそうなるのは $x,y$ の表示がともにある桁から先すべて $1$ のとき、すなわち $(x,y)=(1,1)$ のときだけで、そのとき列はすべて $1$ で値は $1$ である。値 $1$ を表す他の列はないので、この写像は単射である。$x\mapsto(x,0)$ は単射 $I\to Q$ である。Cantor–Bernsteinの定理により全単射 $I\to Q$ がある。これは連続でない（prop-peano-not-injective）。

2 行目：thm-peano-hilbert により $H$ は指数 $1/2$ の Hölder 連続で、像 $Q$ の測度は $1$ である。

3 行目：$S=\{(x,\sin(1/x))\mid0< x\le1\}\cup(\{0\}\times[-1,1])$ は $\mathbb{R}^2$ の有界閉集合なのでコンパクトで、距離化可能であり、連結だが局所連結でない（局所連結空間の注意「反例：連結だが局所連結でない空間」）。prop-peano-image により $S$ は $I$ の連続像でない。