代数的サイクル

$T=T_0\supset T_1\supset\cdots\supset T_r=0$ を $B$ 加群としての組成列とすると、各 $T_{j-1}/T_j$ は単純 $B$ 加群なので、ある極大イデアル $\mathfrak{q}_j$ について $B/\mathfrak{q}_j$ に同型である。長さは短完全列について加法的だから、$\ell_A(T)=\sum_j\ell_A(B/\mathfrak{q}_j)$ である。$B/\mathfrak{q}_j$ は体で、$A$ 加群として有限生成、すなわち $A/(\mathfrak{q}_j\cap A)$ 上整な体である。整域 $A/(\mathfrak{q}_j\cap A)$ の上に整な体があればその整域自身が体なので（AM69 Proposition 5.7）、$\mathfrak{q}_j\cap A=\mathfrak{m}$ であり、$B/\mathfrak{q}_j$ は $A/\mathfrak{m}$ 上の有限次元ベクトル空間で、その $A$ 部分加群は $A/\mathfrak{m}$ 部分空間と同じものだから $\ell_A(B/\mathfrak{q}_j)=[B/\mathfrak{q}_j:A/\mathfrak{m}]$ である。他方、局所化は完全なので $T_{\mathfrak{q}}$ は $(B/\mathfrak{q}_j)_{\mathfrak{q}}$ を商にもつフィルトレーションをもち、$\mathfrak{q}_j=\mathfrak{q}$ なら $(B/\mathfrak{q})_{\mathfrak{q}}=B_{\mathfrak{q}}/\mathfrak{q}B_{\mathfrak{q}}$ は単純 $B_{\mathfrak{q}}$ 加群、$\mathfrak{q}_j\ne\mathfrak{q}$ なら $\mathfrak{q}_j\setminus\mathfrak{q}$ の元が $B/\mathfrak{q}_j$ を零化しつつ $B_{\mathfrak{q}}$ で可逆なので $(B/\mathfrak{q}_j)_{\mathfrak{q}}=0$ である。ゆえに $\ell_{B_{\mathfrak{q}}}(T_{\mathfrak{q}})$ は $\mathfrak{q}_j=\mathfrak{q}$ となる $j$ の個数であり、上の和を $\mathfrak{q}$ ごとにまとめれば主張の式になる。$\square$

$Z\subset W$ を余次元 $1$ の部分多様体とし、両辺の $[Z]$ の係数を比べる。$A:=\mathcal{O}_{W,Z}$ は 1 次元 Noether 局所整域で、$K:=\operatorname{Frac}A=k(W)$ である。左辺の $[Z]$ の係数は、$V$ の余次元 $1$ の部分多様体 $V_i$ で $f(V_i)=Z$ となるもの（このとき $\dim Z\le\dim V_i\le\dim V-1=\dim Z$ なので自動的に $\dim V_i=\dim Z$）にわたる和 $\sum_i[k(V_i):k(Z)]\operatorname{ord}_{V_i}(r)$ である。
$V_A:=V\times_W\operatorname{Spec}A$ とおく。$V_A$ の点は、$V$ の部分多様体 $V'$ で $f(V')\supset Z$ となるものと 1 対 1 に対応し、その局所環は $\mathcal{O}_{V,V'}$ である。$f(V')$ は閉かつ既約で $Z$ を含むから $f(V')=Z$ または $f(V')=W$ であり、後者なら $\dim V'\ge\dim W=\dim V$ から $V'=V$ である。したがって $V_A$ の点は、$V$ の生成点（$\operatorname{Spec}A$ の生成点の上の唯一の点）と、閉点の上にある $V_i$ たちである。閉ファイバー $V\times_W\operatorname{Spec}k(Z)$ は $k(Z)$ 上有限型で、その点 $V_i$ の剰余体 $k(V_i)$ は $k(Z)$ 上超越次数 $0$ の有限生成拡大、すなわち有限次拡大なので、閉ファイバーの点はすべて閉点であり、Noether 空間だから有限個である。ゆえに $V_A\to\operatorname{Spec}A$ は固有かつ準有限射であり、固有射 の記事の定理「Stein 分解と準有限な固有射」により有限射である。よって $V_A=\operatorname{Spec}B$ で、$B$ は有限生成 $A$ 加群であり、$V_A$ は既約かつ被約（局所環がすべて $V$ の局所環）なので $B$ は整域、生成ファイバー $V\times_W\operatorname{Spec}K$ が $V$ の生成点 1 点でその環が $k(V)$ であることから $B\otimes_AK=k(V)$ である。$B$ の極大イデアル $\mathfrak{q}_i$ は $V_i$ に対応し、$B_{\mathfrak{q}_i}=\mathcal{O}_{V,V_i}$、$B/\mathfrak{q}_i=k(V_i)$、$A/\mathfrak{m}=k(Z)$ である。
まず $r\in B\setminus\{0\}$ とする。$B/rB$ は $B$ 加群として有限生成な捩れ加群で、$B$ は $A$ 上整だから 1 次元 Noether 整域（Mat89 Theorem 9.3）なので、$B/rB$ は $B$ 加群として有限の長さをもつ。lem-algebraic-cycle-length と上の格子の計算により
$$ \sum_i[k(V_i):k(Z)]\operatorname{ord}_{V_i}(r)=\sum_i[B/\mathfrak{q}_i:A/\mathfrak{m}]\,\ell_{B_{\mathfrak{q}_i}}(B_{\mathfrak{q}_i}/rB_{\mathfrak{q}_i})=\ell_A(B/rB)=\operatorname{ord}_A(N(r))=\operatorname{ord}_Z(N(r)) $$
であり、右辺は $\operatorname{div}(N(r))$ の $[Z]$ の係数である。一般の $r\in k(V)^\times$ は $B$ の元の商 $a/b$ であり、両辺とも $r$ について群準同型（$\operatorname{ord}$、$N$、$f_*$ の加法性）なので、主張が従う。$\square$

まず、$F$ 上固有な整曲線の間の全射 $h\colon C'\to C$ について $\deg_F(h_*\gamma)=\deg_F\gamma$ が任意の $\gamma\in Z_0(C')$ に対して成り立つことに注意する。実際、閉点 $x'$ の像 $x=h(x')$ は剰余体が $\kappa(x')$ の部分体で $F$ 上有限次だから閉点であり、$\deg_F h_*[x']=[\kappa(x'):\kappa(x)][\kappa(x):F]=[\kappa(x'):F]$ である。
(i) $r$ が $F$ 上超越的な場合。$r$ は有理写像 $C\dashrightarrow\mathbb{P}^1_F$ を定める。$r$ が正則な稠密開集合 $U\subset C$ 上の射 $U\to\mathbb{P}^1_F$ のグラフの閉包を $\Gamma\subset C\times_F\mathbb{P}^1_F$ とすると、$\Gamma$ は整で $F$ 上固有な曲線であり、第 1 射影 $\pi\colon\Gamma\to C$ は固有全射で $U$ 上同型（したがって $F(\Gamma)=F(C)$）、第 2 射影 $g\colon\Gamma\to\mathbb{P}^1_F$ は固有である。$g(\Gamma)$ は閉かつ既約で、もし 1 点 $y$ なら $U\to\mathbb{P}^1_F$ が $y$ を経由するので $r$（$y=\infty$ なら $r^{-1}$）は $F$ 上有限次の体 $\kappa(y)$ の元となり、$r$ が $F$ 上代数的になって仮定に反する。ゆえに $g$ は全射である。$\mathbb{P}^1_F$ の座標 $t$ について $g^*t=r\in F(\Gamma)$ であり、$d:=[F(\Gamma):F(t)]$ とおくと $N_{F(\Gamma)/F(t)}(t)=t^d$ である。lem-algebraic-cycle-norm を $\pi$ と $g$ に適用すると、
$$ \pi_*\operatorname{div}_\Gamma(r)=\operatorname{div}_C(r),\qquad g_*\operatorname{div}_\Gamma(r)=\operatorname{div}_{\mathbb{P}^1_F}(t^d)=d\operatorname{div}_{\mathbb{P}^1_F}(t) $$
である。$\mathbb{P}^1_F=\operatorname{Spec}F[t]\cup\operatorname{Spec}F[t^{-1}]$ 上で $t$ は $0$ と $\infty$ 以外の閉点で単元、$0$ での局所環 $F[t]_{(t)}$ について $\ell(F[t]_{(t)}/(t))=1$、$\infty$ では $t=(t^{-1})^{-1}$ から位数 $-1$ なので、$\operatorname{div}_{\mathbb{P}^1_F}(t)=[0]-[\infty]$ であり、$0,\infty$ の剰余体は $F$ だから次数は $1-1=0$ である。したがって最初の注意により
$$ \deg_F\operatorname{div}_C(r)=\deg_F\operatorname{div}_\Gamma(r)=d\deg_F\operatorname{div}_{\mathbb{P}^1_F}(t)=0 $$
である。
(ii) $r$ が $F$ 上代数的な場合。$F(C)$ は $F$ 上超越次数 $1$ なので超越元 $s\in F(C)$ をとると、$s$ と $rs$ はともに $F$ 上超越的だから、(i) により $\deg_F\operatorname{div}(r)=\deg_F\operatorname{div}(rs)-\deg_F\operatorname{div}(s)=0$ である。$\square$

$\operatorname{Rat}_p(X')$ は $\operatorname{div}(r)$ の形の元で生成されるので、精密な式を示せば十分である（右辺はどちらも $\operatorname{Rat}_p(X)$ に属する）。$f$ は固有なので $W=f(V)$ は $X$ の部分多様体であり、押し出しは閉埋め込み $V\hookrightarrow X'$、$W\hookrightarrow X$ と両立するから、$f$ を $V\to W$ に取り替えてよい。すなわち $f\colon V\to W$ は整な代数多様体の固有全射で $\dim V=p+1\ge\dim W$ である。
$\dim W=p+1$ のときは lem-algebraic-cycle-norm そのものである。
$\dim W\le p$ のとき、$f_*\operatorname{div}(r)=\sum_i\operatorname{ord}_{V_i}(r)f_*[V_i]$ で、$f_*[V_i]\ne0$ となるのは $\dim f(V_i)=p$ のときに限る。$f(V_i)\subset W$ で $\dim W\le p$ だから、これは $\dim W=p$ かつ $f(V_i)=W$ を意味する。よって $\dim W< p$ なら $f_*\operatorname{div}(r)=0$ であり、$\dim W=p$ なら $f_*\operatorname{div}(r)=\bigl(\sum_{f(V_i)=W}[k(V_i):k(W)]\operatorname{ord}_{V_i}(r)\bigr)[W]$ である。この係数が $0$ であることを示す。
$F:=k(W)$ とおき、生成ファイバー $C:=V\times_W\operatorname{Spec}F$ を考える。$C$ は $V$ の開集合の共通部分にあたるので整で、$F$ 上有限型かつ固有（$f$ の底変換）であり、その点は $V$ の部分多様体 $V'$ で $f(V')=W$ となるものに対応する。$f(V')=W$ なら $\dim V'\ge\dim W=p$ なので、$V'$ は $V$ 自身（生成点）か $p$ 次元の $V_i$（閉点。剰余体 $k(V_i)$ は $F$ 上有限次）であり、$C$ は $F$ 上の整な固有曲線で $F(C)=k(V)$、$\mathcal{O}_{C,V_i}=\mathcal{O}_{V,V_i}$ である。したがって上の係数は $\deg_F\operatorname{div}_C(r)$ に等しく、lem-algebraic-cycle-degree-zero により $0$ である。$\square$

構造射 $\pi\colon X\to\operatorname{Spec}k$ は固有であり、$Z_0(\operatorname{Spec}k)=\mathbb{Z}[\operatorname{Spec}k]$ で $\pi_*[P]=[\kappa(P):k][\operatorname{Spec}k]$ だから $\deg=\pi_*$ である。$\operatorname{Spec}k$ には $1$ 次元部分多様体がないので $\operatorname{Rat}_0(\operatorname{Spec}k)=0$ であり、thm-algebraic-cycle-pushforward により $\pi_*(\operatorname{Rat}_0(X))=0$ である。$\square$

$q\colon X\times\mathbb{P}^1\to X$ を第 1 射影とすると、$\mathbb{P}^1\to\operatorname{Spec}k$ が固有だから $q$ は固有である。$t$ を $\mathbb{P}^1$ の座標とし、$\mathcal{V}$ を主張のとおりとする。$\mathcal{V}\to\mathbb{P}^1$ が支配的なので $t$ は $k(\mathcal{V})$ の超越元とみなせ、$\operatorname{div}_{\mathcal{V}}(t)=[\mathcal{V}\cap(X\times\{0\})]-[\mathcal{V}\cap(X\times\{\infty\})]$ である。実際、$\mathcal{V}$ の余次元 $1$ の部分多様体 $W$ について、$W\not\subset X\times\{0,\infty\}$ なら $t$ は $\mathcal{O}_{\mathcal{V},W}$ の単元であり、$W\subset X\times\{0\}$ なら $\operatorname{ord}_W(t)=\ell(\mathcal{O}_{\mathcal{V},W}/(t))$ は閉部分スキーム $\mathcal{V}\cap(X\times\{0\})=V(t)\cap\mathcal{V}$ の $W$ における局所環の長さ、すなわち基本サイクルにおける $[W]$ の係数であり、$W\subset X\times\{\infty\}$ でも $t^{-1}$ について同様である。$q$ は $X\times\{0\}$ と $X\times\{\infty\}$ をそれぞれ $X$ に同型に移すので、$q_*\operatorname{div}_{\mathcal{V}}(t)=[\mathcal{V}(0)]-[\mathcal{V}(\infty)]$ であり、thm-algebraic-cycle-pushforward によりこれは $\operatorname{Rat}_p(X)$ に属する。
逆に、$V\subset X$ を $(p+1)$ 次元部分多様体、$r\in k(V)^\times$ とする。$r\in k^\times$（定数）なら $\operatorname{div}(r)=0$ である。$r\notin k$ のとき、$r$ の定める有理写像 $V\dashrightarrow\mathbb{P}^1$ のグラフの閉包を $\mathcal{V}\subset V\times\mathbb{P}^1\subset X\times\mathbb{P}^1$ とすると、$\mathcal{V}$ は $(p+1)$ 次元部分多様体で、$\pi\colon\mathcal{V}\to V$ は固有な双有理射（$k(\mathcal{V})=k(V)$、$\pi^*r=t$）、$\mathcal{V}\to\mathbb{P}^1$ は $r$ が $k$ 上超越的なら支配的である（lem-algebraic-cycle-degree-zero の証明の (i) と同じ論法）。lem-algebraic-cycle-norm を $\pi$ に適用すると $\pi_*\operatorname{div}_{\mathcal{V}}(t)=\operatorname{div}_V(r)$ であり、前段の計算と $q\circ(\mathcal{V}\hookrightarrow X\times\mathbb{P}^1)=(V\hookrightarrow X)\circ\pi$ から $\operatorname{div}_V(r)=[\mathcal{V}(0)]-[\mathcal{V}(\infty)]$ である。$r$ が $k$ 上代数的（$k$ の代数閉包の元）のときは、$k(V)$ の超越元 $s$ をとって $\operatorname{div}(r)=\operatorname{div}(rs)-\operatorname{div}(s)$ と書けば、主張の形の元の差になる。$\square$