反対圏

始対象 $I$ が狭義であるとは、$I$ を終域とする射がすべて同型射であることをいう。
$\mathbf{Set}$ の始対象は空集合 $\emptyset$ であり、狭義である。写像 $X\to\emptyset$ があれば $X=\emptyset$ で、その写像は恒等写像だからである。
$\mathbf{Set}^{\mathrm{op}}$ の始対象は 1 点集合 $1=\{\ast\}$ である。$\operatorname{Hom}_{\mathbf{Set}^{\mathrm{op}}}(1,Y)=\operatorname{Hom}_{\mathbf{Set}}(Y,1)$ はどの $Y$ についても 1 元だからである。これは狭義でない。$\mathbf{Set}^{\mathrm{op}}$ の射 $\{0,1\}\to1$ は $\mathbf{Set}$ の写像 $1\to\{0,1\}$ であり、全単射でないので $\mathbf{Set}$ の同型射でなく、したがって $\mathbf{Set}^{\mathrm{op}}$ の同型射でもない（prop-opposite-category-basic の 2）。始対象は互いに同型であり、狭義な始対象に同型な対象も狭義である（$I'\cong I$ への射 $Y\to I'$ に同型 $I'\to I$ を合成すれば同型になる）から、$\mathbf{Set}^{\mathrm{op}}$ には狭義な始対象がない。
ところが、圏同値 $F\colon\mathbf{Set}\to\mathbf{Set}^{\mathrm{op}}$（充満忠実で、どの対象も像の対象に同型な関手）があれば、$F(\emptyset)$ は $\mathbf{Set}^{\mathrm{op}}$ の狭義な始対象になる。実際、任意の対象 $Y$ について同型 $Y\cong F(X)$ をとると、$\operatorname{Hom}(F(\emptyset),Y)\cong\operatorname{Hom}(F(\emptyset),F(X))\cong\operatorname{Hom}_{\mathbf{Set}}(\emptyset,X)$ は 1 元なので $F(\emptyset)$ は始対象である。射 $g\colon Y\to F(\emptyset)$ があれば、同型 $u\colon F(X)\to Y$ について $g\circ u=F(h)$ となる $h\colon X\to\emptyset$ が充満性によりあり、$h$ は同型射なので $F(h)$ も同型射、したがって $g=F(h)\circ u^{-1}$ も同型射である。これは前段に矛盾する。$\square$

1. $(\mathcal{C}^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}}$ の対象は $\mathcal{C}$ の対象で、$\operatorname{Hom}_{(\mathcal{C}^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}}}(X,Y)=\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}^{\mathrm{op}}}(Y,X)=\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X,Y)$ である。合成は $(f^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}}\circ(g^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}}=(g^{\mathrm{op}}\circ f^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}}=\bigl((f\circ g)^{\mathrm{op}}\bigr)^{\mathrm{op}}$ であり、同一視のもとで $f\circ g$ に一致する。恒等射も同じである。
2. $f\colon X\to Y$ とする。$g\colon Y\to X$ が $g\circ f=\mathrm{id}_X$、$f\circ g=\mathrm{id}_Y$ を満たすことは、合成の規則により $f^{\mathrm{op}}\circ g^{\mathrm{op}}=\mathrm{id}_X^{\mathrm{op}}$、$g^{\mathrm{op}}\circ f^{\mathrm{op}}=\mathrm{id}_Y^{\mathrm{op}}$ と同じであるから、$f$ の逆射と $f^{\mathrm{op}}$ の逆射は対応する。$f$ がモノ射であるとは、任意の $a,b\colon W\to X$ について $f\circ a=f\circ b\Rightarrow a=b$ となることである。これは $a^{\mathrm{op}}\circ f^{\mathrm{op}}=b^{\mathrm{op}}\circ f^{\mathrm{op}}\Rightarrow a^{\mathrm{op}}=b^{\mathrm{op}}$ と同じであり、$W$ と $a,b$ を動かせば、$\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ の射 $f^{\mathrm{op}}\colon Y\to X$ から出る任意の射の組 $a^{\mathrm{op}},b^{\mathrm{op}}\colon X\to W$ にわたるので、$f^{\mathrm{op}}$ がエピ射であることにほかならない。エピ射についても同様であり、1 を使えば後半は前半から従う。
3. $X$ が $\mathcal{C}$ の始対象であるとは、すべての $Y$ について $\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X,Y)$ がちょうど 1 元であることであり、$\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}}(X,Y)=\operatorname{Hom}_{\mathcal{C}^{\mathrm{op}}}(Y,X)$ だから、これは $X$ が $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ の終対象であることと同じである。
4. 積であるとは、任意の $W$ と $f_i\colon W\to X_i$（$i=1,2$）に対し $p_i\circ u=f_i$ となる $u\colon W\to P$ がちょうど 1 つあることである。合成の規則によりこれは $u^{\mathrm{op}}\circ p_i^{\mathrm{op}}=f_i^{\mathrm{op}}$ と同じであり、$f_i^{\mathrm{op}}\colon X_i\to W$ は $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ の射の組を、$u^{\mathrm{op}}\colon P\to W$ は $P$ から出る射を尽くすので、これは $(P;p_1^{\mathrm{op}},p_2^{\mathrm{op}})$ が余積であることの定義そのものである。$\square$

1. $F(f)\colon F(Y)\to F(X)$（$f\colon Y\to X$）だから $F(f)^{\mathrm{op}}\colon F(X)\to F(Y)$ であり、始域と終域は正しい。合成については $F^{\mathrm{op}}(f^{\mathrm{op}}\circ g^{\mathrm{op}})=F^{\mathrm{op}}\bigl((g\circ f)^{\mathrm{op}}\bigr)=F(g\circ f)^{\mathrm{op}}=\bigl(F(g)\circ F(f)\bigr)^{\mathrm{op}}=F(f)^{\mathrm{op}}\circ F(g)^{\mathrm{op}}=F^{\mathrm{op}}(f^{\mathrm{op}})\circ F^{\mathrm{op}}(g^{\mathrm{op}})$ であり、$F^{\mathrm{op}}(\mathrm{id}_X^{\mathrm{op}})=F(\mathrm{id}_X)^{\mathrm{op}}=\mathrm{id}_{F(X)}^{\mathrm{op}}$ である。$(G\circ F)^{\mathrm{op}}(f^{\mathrm{op}})=G(F(f))^{\mathrm{op}}=G^{\mathrm{op}}(F(f)^{\mathrm{op}})=G^{\mathrm{op}}(F^{\mathrm{op}}(f^{\mathrm{op}}))$ で、残りの等式も定義から直ちに従う。
2. 関手 $H\colon\mathcal{C}\to\mathcal{D}^{\mathrm{op}}$ に 1 を適用すると、prop-opposite-category-basic の 1 により $H^{\mathrm{op}}\colon\mathcal{C}^{\mathrm{op}}\to(\mathcal{D}^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}}=\mathcal{D}$ である。逆に関手 $K\colon\mathcal{C}^{\mathrm{op}}\to\mathcal{D}$ からは $K^{\mathrm{op}}\colon\mathcal{C}\to\mathcal{D}^{\mathrm{op}}$ が得られ、$(H^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}}=H$、$(K^{\mathrm{op}})^{\mathrm{op}}=K$ だから、二つの対応は互いに逆である。
3. 自然性は、各 $f\colon X\to Y$ について $G(f)\circ\alpha_X=\alpha_Y\circ F(f)$ となることである。両辺の $\mathrm{op}$ をとると $\alpha_X^{\mathrm{op}}\circ G(f)^{\mathrm{op}}=F(f)^{\mathrm{op}}\circ\alpha_Y^{\mathrm{op}}$、すなわち $(\alpha^{\mathrm{op}})_X\circ G^{\mathrm{op}}(f^{\mathrm{op}})=F^{\mathrm{op}}(f^{\mathrm{op}})\circ(\alpha^{\mathrm{op}})_Y$ であり、これは $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ の射 $f^{\mathrm{op}}\colon Y\to X$ についての $\alpha^{\mathrm{op}}\colon G^{\mathrm{op}}\Rightarrow F^{\mathrm{op}}$ の自然性の式である。$\square$

$h\colon X\to Y$ なら $g\circ h\circ f\colon X'\to Y'$ なので写像は定まる。恒等射 $(\mathrm{id}_X^{\mathrm{op}},\mathrm{id}_Y)$ は $h\mapsto\mathrm{id}_Y\circ h\circ\mathrm{id}_X=h$ に写る。次に $(f^{\mathrm{op}},g)\colon(X,Y)\to(X',Y')$ と $(f'^{\mathrm{op}},g')\colon(X',Y')\to(X'',Y'')$（$f'\colon X''\to X'$、$g'\colon Y'\to Y''$）をとる。直積圏での合成は成分ごとで、$\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ の成分は $f'^{\mathrm{op}}\circ f^{\mathrm{op}}=(f\circ f')^{\mathrm{op}}$ だから、合成 $(f'^{\mathrm{op}},g')\circ(f^{\mathrm{op}},g)=((f\circ f')^{\mathrm{op}},g'\circ g)$ は $h\mapsto(g'\circ g)\circ h\circ(f\circ f')$ に写る。一方、写像の合成 $\operatorname{Hom}(f'^{\mathrm{op}},g')\circ\operatorname{Hom}(f^{\mathrm{op}},g)$ は $h\mapsto g'\circ(g\circ h\circ f)\circ f'$ であり、$\mathcal{C}$ の結合律により両者は等しい。第 1 変数では合成の順序が $f\circ f'$ と入れ替わっており、これが第 1 変数を $\mathcal{C}^{\mathrm{op}}$ にとる理由である。$\square$