確率変数

$X(\omega)< a$ ならば、十分大きい整数 $n\geq1$ で $X(\omega)\leq a-\frac1n$ となる。逆に $X(\omega)\leq a-\frac1n$ なら $X(\omega)< a$ である。よって
$$ \{X< a\}=\bigcup_{n\geq1}\Bigl\{X\leq a-\frac1n\Bigr\} $$
であり、右辺は $\mathcal{F}$ の元の可算和集合なので $\mathcal{F}$ に属する。$\{X>a\}=\Omega\setminus\{X\leq a\}$ は補集合なので $\mathcal{F}$ に属する。$\mathcal{F}$ は補集合と可算和集合で閉じているので、差 $A\setminus B=\Omega\setminus\bigl((\Omega\setminus A)\cup B\bigr)$ でも閉じており、$\{X=a\}=\{X\leq a\}\setminus\{X< a\}$、$\{a< X\leq b\}=\{X\leq b\}\setminus\{X\leq a\}$ も $\mathcal{F}$ に属する。

事象 $\{X\in S\}$ は、互いに交わらない事象 $\{X=x\}$（$x\in S\cap V$）の和集合である。$S\cap V$ は有限集合または可算集合なので、離散確率空間の確率の可算加法性（確率空間 の記事の命題「離散確率空間は確率空間である」）により $P(X\in S)=\sum_{x\in S\cap V}P(X=x)$ である。$S=\mathbb{R}$ とおくと $\{X\in\mathbb{R}\}=\Omega$ なので $\sum_{x\in V}p_X(x)=P(\Omega)=1$ である。$V$ は空でない有限集合または可算集合で $p_X(x)\in[0,1]$ なので、$(V,p_X)$ は離散確率空間の条件を満たす。

1：離散確率空間の上の関数なので $Y$ は確率変数である。$\{Y=y\}=\{X\in S\}$（$S:=\{x\in V\mid g(x)=y\}$）なので、prop-rv-discrete-distribution から従う。
2：$\Omega$ を互いに交わらない $\{X=x\}$（$x\in V$）に分け、その上で $|g(X(\omega))|=|g(x)|$ であることを使うと
$$ \sum_{\omega\in\Omega}|g(X(\omega))|\,p(\omega)=\sum_{x\in V}|g(x)|\sum_{\omega\in\{X=x\}}p(\omega)=\sum_{x\in V}|g(x)|\,p_X(x)<\infty $$
である。項が $0$ 以上の級数の和は、項のまとめ方や順序によらない（Sho08 付録 A6・A7、p. 564）ので、1 つ目の等号が成り立つ。よって $Y$ は有限な期待値をもつ（期待値 の記事の定義「確率変数と期待値」）。絶対収束する級数の和もまとめ方や順序によらない（同付録）ので、同じ計算を絶対値なしで行えば主張の等式を得る。$g\geq0$ の場合は、はじめの計算を絶対値なしで行えばよい。

prop-rv-events により、以下に現れる集合はすべて事象である。確率の単調性（$A\subset B$ なら $P(A)\leq P(B)$、$P(B\setminus A)=P(B)-P(A)$）と連続性は 確率空間 の記事の命題「確率の基本性質」の 4 と命題「確率の連続性」による。
1：$x\leq y$ なら $\{X\leq x\}\subset\{X\leq y\}$ なので、単調性により $F(x)\leq F(y)$ である。
片側極限の準備：$F$ は単調非減少で値は $[0,1]$ にあるので、片側極限はすべて存在し、単調な数列に沿った極限で計算できる。たとえば $x$ での右極限について、$L:=\inf_{y>x}F(y)$ とおくと、任意の $\varepsilon>0$ に対して $F(y_0)< L+\varepsilon$ となる $y_0>x$ があり、$x< y< y_0$ では $L\leq F(y)\leq F(y_0)< L+\varepsilon$ なので $\lim_{y\to x+0}F(y)=L$ であり、特に $L=\lim_{n\to\infty}F(x+\frac1n)$ である。左極限と $x\to\pm\infty$ の極限も同様で、それぞれ $F(x-\frac1n)$、$F(-n)$、$F(n)$ の極限に等しい。
2：$\{X\leq n\}$（$n=1,2,\dots$）は増加列で、各 $\omega$ について $X(\omega)\leq n$ となる $n$ があるので和集合は $\Omega$ である。確率の連続性により $F(n)\to P(\Omega)=1$ である。$\{X\leq-n\}$ は減少列で共通部分は $\emptyset$ なので、$F(-n)\to0$ である。
3：$\{X\leq x+\frac1n\}$ は減少列で、共通部分は $\{X\leq x\}$ である（すべての $n$ で $X(\omega)\leq x+\frac1n$ なら $X(\omega)\leq x$）。よって $F(x+\frac1n)\to F(x)$ である。
4：$\{X\leq x-\frac1n\}$ は増加列で、和集合は $\{X< x\}$ である（prf-rv-events）。よって $F(x-\frac1n)\to P(X< x)$ である。$\{X< x\}\subset\{X\leq x\}$ で差は $\{X=x\}$ なので、$P(X=x)=F(x)-P(X< x)=F(x)-F(x-0)$ である。
5：$\{X\leq a\}\subset\{X\leq b\}$ で差は $\{a< X\leq b\}$ なので、単調性の後半による。

1 は prop-rv-discrete-distribution を $S=(-\infty,x]$ に使ったもの、2 は thm-rv-cdf の 4 である。3：同じ分布をもつなら、1 の右辺の和は $V_X\cup V_Y$ の上の同じ確率の和なので $F_X=F_Y$ である（値の集合にない点の確率は $0$）。逆に $F_X=F_Y$ なら、2 によりすべての $x$ で $P(X=x)=P(Y=x)$ である。

必要性は thm-rv-cdf の 1〜3 である。十分性を示す。$\Omega:=(0,1)$ とし、$\mathcal{F}$ を $(0,1)$ の Borel 集合全体、$P$ を区間 $(c,d]\subset(0,1)$ に長さ $d-c$ を割り当てる確率測度（Lebesgue測度の制限）とする。このような確率測度の存在は測度論の定理である（Dur19 Theorem 1.1.4、p. 3。確率空間 の記事の例「区間 [0,1] 上の一様な確率」と同じもの）。
$\omega\in(0,1)$ を固定し、$A_\omega:=\{x\in\mathbb{R}\mid F(x)\geq\omega\}$ とおく。$F(x)\to1>\omega$（$x\to\infty$）なので $A_\omega$ は空でない。$F(x)\to0<\omega$（$x\to-\infty$）なので、ある $x_1$ で $F(x_1)<\omega$ となり、単調性により $x\leq x_1$ では $F(x)<\omega$、すなわち $A_\omega\subset(x_1,\infty)$ で $A_\omega$ は下に有界である。$c:=\inf A_\omega$ とおく。単調性により、$x\in A_\omega$ かつ $y>x$ なら $y\in A_\omega$ である。各 $n\geq1$ について $c+\frac1n$ より小さい $A_\omega$ の元があるので $c+\frac1n\in A_\omega$、すなわち $F(c+\frac1n)\geq\omega$ であり、右連続性により $F(c)=\lim_nF(c+\frac1n)\geq\omega$、つまり $c\in A_\omega$ である。よって $A_\omega=[c,\infty)$ であり、
$$ X(\omega):=\min\{x\in\mathbb{R}\mid F(x)\geq\omega\} $$
が定まる。$A_\omega=[X(\omega),\infty)$ なので、実数 $a$ について
$$ X(\omega)\leq a\iff a\in A_\omega\iff F(a)\geq\omega $$
である。したがって $\{X\leq a\}=\{\omega\in(0,1)\mid\omega\leq F(a)\}$ であり、これは $F(a)=0$ なら $\emptyset$、$0< F(a)<1$ なら区間 $(0,F(a)]$、$F(a)=1$ なら $(0,1)$ である。どの場合も事象で、その確率は $F(a)$ である。よって $X$ は確率変数で、$F_X=F$ である。

1：$\{X=x\}$ は、互いに交わらない有限個または可算個の事象 $\{X=x\}\cap\{Y=y\}$（$y\in V_Y$）の和集合なので、可算加法性による。2：$\{X+Y=s\}$ は、互いに交わらない事象 $\{X=x\}\cap\{Y=s-x\}$（$x\in V_X$、$s-x\in V_Y$）の和集合なので、同じく可算加法性による。3：$X,Y$ が独立であるとは $p_{X,Y}(x,y)=p_X(x)\,p_Y(y)$ がすべての $x\in V_X$、$y\in V_Y$ で成り立つことなので（独立性(確率論) の記事の命題「同時分布による判定」）、2 に代入すればよい。