摩天楼層

1：$\Phi(\varphi)$ が矛盾なく定まることを示す。$s\in\mathcal{G}(U)$、$t\in\mathcal{G}(V)$（$x\in U\cap V$）が $s_x=t_x$ を満たすとすると、$x$ の開近傍 $W\subset U\cap V$ で $s|_W=t|_W$ となるものがある。$x\in W$ なので $i_{x*}A$ の制限写像 $A=(i_{x*}A)(U)\to(i_{x*}A)(W)=A$ は恒等写像であり、
$$ \varphi_U(s)=\varphi_U(s)|_W=\varphi_W(s|_W)=\varphi_W(t|_W)=\varphi_V(t)|_W=\varphi_V(t) $$
となる。茎の写像 $\varphi_x$ は $s_x$ を $\varphi_U(s)$ の芽に送り、その芽は同一視 $(i_{x*}A)_x=A$ で $\varphi_U(s)$ に対応するので、$\Phi(\varphi)$ は $\varphi_x$ と同一視に一致する。
逆向きの写像 $\Psi$ を作る。写像 $h\colon\mathcal{G}_x\to A$ に対し、
$$ \Psi(h)_U(s):=\begin{cases}h(s_x) & (x\in U),\\ * & (x\notin U)\end{cases}\qquad(s\in\mathcal{G}(U)) $$
とおく。$\Psi(h)$ が前層の射であることを確かめる。開集合 $V\subset U$ と $s\in\mathcal{G}(U)$ について、$x\in V$ なら $(s|_V)_x=s_x$ なので $\Psi(h)_V(s|_V)=h(s_x)=\Psi(h)_U(s)=\Psi(h)_U(s)|_V$ である。$x\notin V$ なら両辺とも 1 点集合 $(i_{x*}A)(V)$ の元なので等しい。
$\Phi(\Psi(h))(s_x)=\Psi(h)_U(s)=h(s_x)$ なので $\Phi\circ\Psi=\mathrm{id}$ である。また $\Psi(\Phi(\varphi))_U(s)$ は、$x\in U$ なら $\Phi(\varphi)(s_x)=\varphi_U(s)$、$x\notin U$ なら 1 点集合の元で $\varphi_U(s)$ に等しいので、$\Psi\circ\Phi=\mathrm{id}$ である。
自然性：層の射 $\psi\colon\mathcal{G}'\to\mathcal{G}$ について、$s'\in\mathcal{G}'(U)$、$x\in U$ とすると
$$ \Phi(\varphi\circ\psi)(s'_x)=\varphi_U(\psi_U(s'))=\Phi(\varphi)(\psi_U(s')_x)=\Phi(\varphi)(\psi_x(s'_x)) $$
なので $\Phi(\varphi\circ\psi)=\Phi(\varphi)\circ\psi_x$ である。写像 $u\colon A\to B$ が誘導する射 $i_{x*}u\colon i_{x*}A\to i_{x*}B$（$x\in U$ のとき $u$、そうでないとき 1 点集合の間の写像）については、$\Phi(i_{x*}u\circ\varphi)(s_x)=u(\varphi_U(s))=(u\circ\Phi(\varphi))(s_x)$ である。
2：アーベル群の場合、$\Phi(\varphi)$ は各 $\varphi_U$ が準同型なので準同型であり、$h$ が準同型なら $\Psi(h)_U$ は準同型（$x\notin U$ のときは零写像）である。$\Phi$ が加法的であることは $(\varphi+\varphi')_U=\varphi_U+\varphi'_U$ から従う。
3：$\mathcal{O}_X$ 加群の場合、$\mathcal{O}_{X,x}$ の元はすべてある開近傍 $U$ 上の $a\in\mathcal{O}_X(U)$ の芽 $a_x$ として表せ、$\mathcal{G}_x$ の元 $s_x$ と共通の $U$ 上で表せる。$h$ が $\mathcal{O}_{X,x}$ 線形なら、$\Psi(h)_U(as)=h(a_xs_x)=a_x\,h(s_x)=a\cdot\Psi(h)_U(s)$ であり、$\Psi(h)$ は $\mathcal{O}_X$ 線形である。逆に $\varphi$ が $\mathcal{O}_X$ 線形なら、$\Phi(\varphi)(a_xs_x)=\varphi_U(as)=a_x\,\varphi_U(s)=a_x\,\Phi(\varphi)(s_x)$ なので $\Phi(\varphi)$ は $\mathcal{O}_{X,x}$ 線形である。$\square$

1：thm-sky-universal を $\mathcal{G}=i_{x*}A$ に適用すると、$(i_{x*}A)_x=A$ なので $\operatorname{Hom}(i_{x*}A,i_{x*}B)\cong\operatorname{Hom}(A,B)$ である。この全単射は $\varphi$ を $\varphi_x$ に送るもので、逆は $u\mapsto i_{x*}u$ である（$\Phi(i_{x*}u)=u$）。
2：アーベル群の完全列 $0\to A'\to A\to A''\to0$ に $i_{x*}$ を施すと、点 $y$ での茎の列は、$y\in\overline{\{x\}}$ なら元の列、そうでなければ $0\to0\to0\to0\to0$ であり、どちらも完全である。層 の定理「アーベル群の層の圏はアーベル圏である」により、層の列は各茎で完全なら完全である。直積については、層の直積 $\prod_\lambda\mathcal{F}_\lambda$ は $U\mapsto\prod_\lambda\mathcal{F}_\lambda(U)$ で与えられ、$(\prod_\lambda i_{x*}A_\lambda)(U)$ は $x\in U$ なら $\prod_\lambda A_\lambda$、そうでなければ $0$ なので、$i_{x*}(\prod_\lambda A_\lambda)$ に一致する。
3：層の単射 $\mathcal{G}'\to\mathcal{G}$ をとる。層 の命題「層の射の茎による判定」により茎の写像 $\mathcal{G}'_x\to\mathcal{G}_x$ は単射であり、$I$ が入射的なので制限 $\operatorname{Hom}(\mathcal{G}_x,I)\to\operatorname{Hom}(\mathcal{G}'_x,I)$ は全射である。thm-sky-universal の自然性により、これは制限 $\operatorname{Hom}(\mathcal{G},i_{x*}I)\to\operatorname{Hom}(\mathcal{G}',i_{x*}I)$ と同一視されるので、後者も全射である。すなわち $i_{x*}I$ は入射対象である。$\square$

まず $Z$ は既約である。実際、$Z=F_1\cup F_2$（$F_1,F_2$ は $Z$ の閉集合、したがって $X$ の閉集合）なら、$x$ はどちらか、たとえば $F_1$ に属し、$F_1$ は $x$ を含む閉集合なので $Z=\overline{\{x\}}\subset F_1$ である。
$X$ の開集合 $U$ について、$U\cap Z\ne\emptyset$ と $x\in U$ とは同値である。$x\in U$ なら $x\in U\cap Z$ である。逆に $y\in U\cap Z$ なら、$U$ は $y$ の開近傍で $y\in\overline{\{x\}}$ なので $U$ は $x$ を含む。
$x\in U$ のとき、$U\cap Z$ は既約空間 $Z$ の空でない開集合なので既約であり、とくに連結空間である（2 つの交わらない空でない開集合の和に分かれれば、その補集合である 2 つの閉集合の和に分かれる）。定数層 の命題「開集合上の切断と連結性」により、評価 $s\mapsto s(x)$ が同型 $A_Z(U\cap Z)\cong A$ を与える。$x\notin U$ のときは $U\cap Z=\emptyset$ で $A_Z(\emptyset)$ は 1 点である。したがって $(\iota_*A_Z)(U)=A_Z(U\cap Z)$ と $(i_{x*}A)(U)$ の間に、$x\in U$ なら $s\mapsto s(x)$、そうでなければ 1 点集合の間の写像という全単射の族がある。$x\in V\subset U$ なら $s(x)=(s|_{V\cap Z})(x)$ なので、これらは制限写像と可換であり、層の同型を与える。$\square$

開集合 $V\subset U$ に対する制限写像は、$x\in V$ なら $\mathrm{id}_A$、$x\in U\setminus V$ なら $A\to0$、$x\notin U$ なら $0\to0$ であり、いずれも全射である。よって $i_{x*}A$ は脆弱層である。脆弱層 の定理「flasque 層の非輪状性」により $q\ge1$ で $H^q(X,i_{x*}A)=0$ であり、$H^0(X,i_{x*}A)=(i_{x*}A)(X)=A$ である。$\square$