スキームの貼り合わせ

1．位相空間。 $Y:=\coprod_iX_i$ を位相空間の直和とし、その点を $(i,x)$（$x\in X_i$）と書く。$(i,x)\sim(j,y)$ を「$x\in U_{ij}$ かつ $y=\varphi_{ij}(x)$」で定める。$\varphi_{ii}=\mathrm{id}$ から反射律が、条件 1 から対称律が従う。推移律：$(i,x)\sim(j,y)\sim(k,z)$ なら $y=\varphi_{ij}(x)\in U_{ji}\cap U_{jk}$ なので、条件 2 の前半により $x\in U_{ij}\cap U_{ik}$ であり、コサイクル条件により $z=\varphi_{jk}(\varphi_{ij}(x))=\varphi_{ik}(x)$、すなわち $(i,x)\sim(k,z)$ である。$X:=Y/{\sim}$ に商位相を入れ、$\psi_i\colon X_i\to X$ を $x\mapsto[(i,x)]$ とおく。$(i,x)\sim(i,y)$ は $y=\varphi_{ii}(x)=x$ を意味するので $\psi_i$ は単射で連続である。$X_i$ の開集合 $W$ について、各 $j$ で $\psi_j^{-1}(\psi_i(W))=\varphi_{ij}(W\cap U_{ij})$ は $U_{ji}$ の開集合、したがって $X_j$ の開集合なので、$\psi_i(W)$ は $X$ の開集合である。よって $V_i:=\psi_i(X_i)$ は開集合で、$\psi_i\colon X_i\to V_i$ は同相写像であり、$X=\bigcup_iV_i$ である。同値関係の定義から、$U_{ij}$ の上で $\psi_j\circ\varphi_{ij}=\psi_i$（点の写像として）であり、$\psi_i(x)\in V_j$ と $x\in U_{ij}$ は同値なので $\psi_i(U_{ij})=V_i\cap V_j$ である。
1．構造層。 $V_i$ の上に環の層 $\mathcal{O}_i:=\psi_{i*}\mathcal{O}_{X_i}$ を置く。開集合 $W\subset V_i\cap V_j$ について $\psi_i^{-1}(W)\subset U_{ij}$ と $\psi_j^{-1}(W)=\varphi_{ij}(\psi_i^{-1}(W))$ が成り立つので、$\varphi_{ij}$ に伴う層の射は環の同型
$$ \varphi_{ij}^\sharp\colon\mathcal{O}_j(W)=\mathcal{O}_{X_j}(\psi_j^{-1}(W))\longrightarrow\mathcal{O}_{X_i}(\psi_i^{-1}(W))=\mathcal{O}_i(W) $$
を与える。その逆を $\Phi_{ij}\colon\mathcal{O}_i|_{V_i\cap V_j}\to\mathcal{O}_j|_{V_i\cap V_j}$ とおく。合成の層の射は $(\varphi_{jk}\circ\varphi_{ij})^\sharp=\varphi_{ij}^\sharp\circ\varphi_{jk}^\sharp$ なので、コサイクル条件 $\varphi_{jk}\circ\varphi_{ij}=\varphi_{ik}$ は $V_i\cap V_j\cap V_k$ の上の $\Phi_{ik}=\Phi_{jk}\circ\Phi_{ij}$ を与える。したがって $(\mathcal{O}_i,\Phi_{ij})$ は開被覆 $\{V_i\}$ に関する環の層の貼り合わせデータであり、コサイクル条件 の定理「層の貼り合わせ」の 1 と 4 により、$X$ 上の環の層 $\mathcal{O}_X$ と環の層の同型 $\chi_i\colon\mathcal{O}_X|_{V_i}\to\mathcal{O}_i$ で、$V_i\cap V_j$ の上で $\Phi_{ij}\circ\chi_i=\chi_j$ となるものがある。$\psi_i$ に層の射 $\psi_i^\sharp:=\chi_i\colon\mathcal{O}_X|_{V_i}\to\psi_{i*}\mathcal{O}_{X_i}$ を合わせると、$\psi_i$ は環付き空間の同型 $X_i\to(V_i,\mathcal{O}_X|_{V_i})$ になる。$U_{ij}$ の上の等式 $\psi_j\circ\varphi_{ij}=\psi_i$ は層の射まで成り立つ。開集合 $W\subset V_i\cap V_j$ の上で $(\psi_j\circ\varphi_{ij})^\sharp=\varphi_{ij}^\sharp\circ\chi_j=\varphi_{ij}^\sharp\circ\Phi_{ij}\circ\chi_i=\chi_i$ となるからである。
1．スキームであること。 点 $x\in V_i$ の茎は $\mathcal{O}_{X,x}\cong\mathcal{O}_{X_i,\psi_i^{-1}(x)}$ なので局所環であり、$X$ は局所環付き空間である。$\psi_i^{-1}(x)$ を含む $X_i$ のアフィン開集合 $U$ をとれば、$\psi_i(U)$ は $x$ を含み $U$ と同型な開集合である。よって $X$ はスキームで、各 $\psi_i$ は開部分スキーム $V_i$ への同型、すなわち開埋め込みであり、$(X,\{\psi_i\})$ は貼り合わせである。
2． $\psi_i^{-1}\colon V_i\to X_i$ は開部分スキームからの同型なので、$g_i:=f_i\circ\psi_i^{-1}\colon V_i\to T$ は射である。$V_i\cap V_j=\psi_i(U_{ij})$ の上では $\psi_j^{-1}=\varphi_{ij}\circ\psi_i^{-1}$ なので
$$ g_j=f_j\circ\varphi_{ij}\circ\psi_i^{-1}=f_i\circ\psi_i^{-1}=g_i $$
である。スキーム の補題「射は開被覆で決まり貼り合わさる」により、$f|_{V_i}=g_i$（すべての $i$）となる射 $f\colon X\to T$ がただ 1 つあり、これは $f\circ\psi_i=f_i$ と同値である。ここで使ったのは貼り合わせの定義の 3 条件だけなので、1 で作ったものに限らず任意の貼り合わせについて成り立つ。
3． 2 を $T=X'$、$f_i=\psi'_i$ に使う（$\psi'_j\circ\varphi_{ij}=\psi'_i$ は $(X',\{\psi'_i\})$ が貼り合わせであることによる）と、$g\circ\psi_i=\psi'_i$ となる $g\colon X\to X'$ がただ 1 つある。役割を入れ替えて $g'\circ\psi'_i=\psi_i$ となる $g'\colon X'\to X$ をとると、$g'\circ g\circ\psi_i=\psi_i=\mathrm{id}_X\circ\psi_i$ なので、2 の一意性（$T=X$、$f_i=\psi_i$）により $g'\circ g=\mathrm{id}_X$ であり、同様に $g\circ g'=\mathrm{id}_{X'}$ である。
4． 構造射を $\pi_i\colon X_i\to S$ とすると、$\varphi_{ij}$ が $S$ 上の同型であることは $\pi_j\circ\varphi_{ij}=\pi_i$ を意味する。2 により $\pi\circ\psi_i=\pi_i$ となる $\pi\colon X\to S$ がただ 1 つあり、これが求める構造である。$T$ の構造射を $\rho$ とし $f_i$ が $S$ 射なら、$\rho\circ f\circ\psi_i=\rho\circ f_i=\pi_i=\pi\circ\psi_i$ なので、2 の一意性（$f_i$ を $\pi_i$ に替えたもの）により $\rho\circ f=\pi$ である。$\square$

$\psi_i^\sharp$ は同型 $\mathcal{O}_X(W\cap V_i)\cong\mathcal{O}_{X_i}(W_i)$ を与える。$U_{ij}$ の上の $\psi_i=\psi_j\circ\varphi_{ij}$ から、$W\cap V_i\cap V_j$ 上の切断 $t$ について $\psi_i^\sharp(t)=\varphi_{ij}^\sharp(\psi_j^\sharp(t))$ である。層の条件により、$\mathcal{O}_X(W)$ は $W\cap V_i\cap V_j$ への制限が一致する族 $(t_i)\in\prod_i\mathcal{O}_X(W\cap V_i)$ の全体と同型であり、これを $\psi_i^\sharp$ で移すと右辺の条件になる。$\square$

$X$ は $S$ のアフィン開集合 $S$ 自身の逆像であり、$V_i\cong X_i$ はそのアフィン開被覆である。分離射 の命題「アフィン開被覆による分離性の判定」の 1 と 3 の同値により、$X$ が $S$ 上分離的であることは、各 $i,j$ で $V_i\cap V_j$ がアフィンであり、$\mathcal{O}_X(V_i)\otimes_A\mathcal{O}_X(V_j)\to\mathcal{O}_X(V_i\cap V_j)$ が全射であることと同値である。$\psi_i$ は $U_{ij}$ と $V_i\cap V_j$ の同型を与えるので、前者は $U_{ij}$ がアフィンであることと同値である。$\psi_i^\sharp$、$\psi_j^\sharp$ で $\mathcal{O}_X(V_i)=B_i$、$\mathcal{O}_X(V_j)=B_j$、$\mathcal{O}_X(V_i\cap V_j)=\mathcal{O}_{X_i}(U_{ij})$ と同一視すると、$V_i$ からの制限は $B_i\to\mathcal{O}_{X_i}(U_{ij})$ の制限に、$V_j$ からの制限は $\psi_i^\sharp=\varphi_{ij}^\sharp\circ\psi_j^\sharp$ により $b'\mapsto\varphi_{ij}^\sharp(b'|_{U_{ji}})$ になる。よって後者は 2 の全射性と同値である。$\square$