冪級数

$q:=r/|x_0-c|$ とおくと $0\leq q<1$ である。$|x-c|\leq r$ なら
$$ |a_n(x-c)^n|\leq|a_n|r^n=|a_n|\,|x_0-c|^n\,q^n\leq Mq^n $$
である。$\sum_nMq^n$ は公比 $q$ の等比級数なので収束する。級数 の記事の定理「比較判定法」により $\sum_n|a_n|r^n$ は収束する。また $M_n:=Mq^n$ は $x$ によらないので、一様収束 の記事の定理「Weierstrassの優級数判定法」により、冪級数は $[c-r,c+r]$ の各点で絶対収束し、$[c-r,c+r]$ 上で一様収束する。

1：$|x-c|< R$ とする。$R$ は上限なので、$|x-c|<|x_0-c|$ となる $x_0\in D$ がある。冪級数は $x_0$ で収束するので、上の注意により $(a_n(x_0-c)^n)$ は有界である。prop-pser-abel-lemma を $r:=|x-c|$ に使うと、冪級数は $x$ で絶対収束する。
2：$x\in D$ なら上限の定義により $|x-c|\leq R$ である。したがって $|x-c|>R$ なら $x\notin D$、すなわち冪級数は $x$ で発散する。
3：1 から $(c-R,c+R)\subset D$、2 から $D\subset[c-R,c+R]$ である。$R=\infty$ なら 1 により $D=\mathbb{R}$、$R=0$ なら 2 により $D=\{c\}$ である。$(c-R,c+R)$ と $[c-R,c+R]$ の間にある集合は、端点 $c\pm R$ を含むか含まないかの違いしかないので区間である。
最後の主張：収束半径 の記事は、実冪級数についても「$|x-c|< R$ で絶対収束し、$|x-c|>R$ で発散する」という 2 条件を満たす $R\in[0,\infty]$ を収束半径と定義し、同記事の定理「収束半径の存在と一意性」はそのような $R$ がただ 1 つであることを示している（一意性の証明は実数の点 $c+t$ だけを使う）。1・2 により上の $R$ はこの 2 条件を満たすので、収束半径に等しい。

$r< r'< R$ となる実数 $r'$ をとり、$x_0:=c+r'$ とおく。thm-pser-domain の 1 により冪級数は $x_0$ で収束するので、$(a_n(x_0-c)^n)$ は有界である。$r< r'=|x_0-c|$ なので、prop-pser-abel-lemma により $\sum|a_n|r^n$ は収束し、冪級数は $[c-r,c+r]$ 上で一様収束する。
部分和 $s_k(x):=\sum_{n=0}^{k}a_n(x-c)^n$ は多項式なので連続である。一様収束 の記事の定理「連続関数の一様極限の連続性」により、$f$ を $[c-r,c+r]$ に制限した関数は連続である。$|x-c|< R$ となる $x$ をとり、$|x-c|< r< R$ となる $r$ を選ぶと、$x$ は $[c-r,c+r]$ の内点である。$\delta>0$ を $(x-\delta,x+\delta)\subset[c-r,c+r]$ となるようにとれば、$x$ の近くの点はすべてこの閉区間に入るので、制限した関数の $x$ での連続性から $f$ の $x$ での連続性が従う。

右辺の冪級数の収束半径が $R$ であることは、収束半径 の記事の命題「項別微分した級数の収束半径」による。
$x=c$ なら両辺とも $0$ である。$x\ne c$ とし、$r:=|x-c|$ とおくと $0< r< R$ であり、$c$ と $x$ を端点とする閉区間 $I$ は $[c-r,c+r]$ に含まれる。thm-pser-uniform により、部分和 $s_k$ は $I$ 上で $f$ に一様収束する。各 $s_k$ は多項式なので Riemann積分 可能であり、$\frac{d}{dt}\frac{(t-c)^{n+1}}{n+1}=(t-c)^n$ なので、微分積分学の基本定理 の記事の定理「原始関数による積分の計算」により
$$ \int_c^xs_k(t)\,dt=\sum_{n=0}^{k}\frac{a_n}{n+1}(x-c)^{n+1} $$
である（$x< c$ のときは $\int_c^x:=-\int_x^c$ と約束し、$I=[x,c]$ 上の等式の両辺の符号を変える）。一様収束 の記事の定理「一様収束と積分の交換」により、$f$ は $I$ 上で積分可能で、$\int_c^xs_k\to\int_c^xf$（$k\to\infty$）である。したがって右辺の級数の部分和は $\int_c^xf$ に収束する。

右辺の冪級数の収束半径が $R$ であることは、収束半径 の記事の命題「項別微分した級数の収束半径」による。その和を $g$ とおく。
$|x-c|< R$ となる $x$ をとり、$|x-c|< r< R$ となる $r$ を選んで、有界な開区間 $J:=(c-r,c+r)$ を考える。部分和 $s_k(x)=\sum_{n=0}^{k}a_n(x-c)^n$ は微分可能で、$\frac{d}{dx}(x-c)^n=n(x-c)^{n-1}$（導関数 の記事の命題「整数の冪の導関数」と、$x-c$ との合成についての連鎖律による）から
$$ s_k'(x)=\sum_{n=1}^{k}na_n(x-c)^{n-1} $$
は項別に微分した冪級数の部分和である。この冪級数の収束半径は $R>r$ なので、thm-pser-uniform により $(s_k')$ は $[c-r,c+r]\supset J$ 上で $g$ に一様収束する。また $s_k(c)=a_0$ なので、数列 $(s_k(c))$ は収束する。一様収束 の記事の定理「一様収束と微分の交換」により、$(s_k)$ は $J$ 上である関数に一様収束し、その関数は $J$ 上で微分可能で導関数は $g$ である。$(s_k)$ は $J$ の各点で $f$ に収束しているので、その関数は $f$ にほかならない。したがって $f'(x)=g(x)$ である。

$k$ についての帰納法で示す。$k=0$ は和の定義そのものである。$k$ で成り立つとすると、$f^{(k)}$ は収束半径 $R$ の冪級数 $\sum_{n\geq k}n(n-1)\cdots(n-k+1)a_n(x-c)^{n-k}$ の和である（収束半径は thm-pser-differentiation を $k$ 回使って $R$）。これに thm-pser-differentiation を使うと、$f^{(k)}$ は微分可能で、各項 $(x-c)^{n-k}$ を微分すると $(n-k)(x-c)^{n-k-1}$ になり $n=k$ の項は消えるので、$k+1$ の場合の式を得る。
$x=c$ を代入すると、$n>k$ の項は $(x-c)^{n-k}=0$ で消え、$n=k$ の項 $k!\,a_k$ だけが残るので $f^{(k)}(c)=k!\,a_k$ である。2 つの冪級数の和 $f,g$ が $(c-\varepsilon,c+\varepsilon)$ 上で一致すれば、各点での微分係数はその点の近くの値だけで決まるので $f^{(k)}(c)=g^{(k)}(c)$ であり、係数は一致する。

$0$ でない係数があると仮定し、$a_m\ne0$ となる最小の $m$ をとる。収束区間の点 $x\ne c$ では、$n< m$ の係数は $0$ なので $\sum_{n\geq m}a_n(x-c)^n$ が $f(x)$ に収束し、これを $(x-c)^m$ で割った
$$ g(x):=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k+m}(x-c)^k $$
も収束して $f(x)=(x-c)^mg(x)$ を満たす。$x=c$ でも $g$ は収束するので、$g$ は収束区間 $(c-R,c+R)$ の全体で収束する冪級数の和であり、thm-pser-domain によりその収束半径は $R$ 以上である。thm-pser-uniform により $g$ は $(c-R,c+R)$ 上で連続で、$g(c)=a_m\ne0$ である。一方 $x_j\ne c$ なので $g(x_j)=f(x_j)/(x_j-c)^m=0$ であり、連続性から $g(c)=\lim_{j\to\infty}g(x_j)=0$ となって矛盾する。

$|x-c|<\rho$ とする。和と定数倍の式は、級数 の記事の命題「級数の線形性」による。積について、thm-pser-domain の 1 により $\sum a_i(x-c)^i$ と $\sum b_j(x-c)^j$ はともに絶対収束する。絶対収束 の記事の系「Cauchy積の和」を $A_i:=a_i(x-c)^i$、$B_j:=b_j(x-c)^j$ に使うと、$\sum_{i=0}^{n}A_iB_{n-i}=d_n(x-c)^n$ なので、$\sum_nd_n(x-c)^n$ は収束して和は $f(x)g(x)$ である。3 つの冪級数はどれも $|x-c|<\rho$ のすべての点で収束するので、thm-pser-domain により収束半径は $\rho$ 以上である。