強制振動と共振（高校数学）

同義語：共振（高校数学）forced oscillation and resonance (high school mathematics)

概要

強制振動と共振（forced oscillation and resonance）とは、外力のある振動 $x''+\omega^2x=F\cos\Omega t$（$\omega,\Omega>0$）と、外力の角振動数 $\Omega$ が固有角振動数 $\omega$ に等しいとき振れ幅が時間に比例して増える現象である。$\Omega=\omega$ のときの特殊解は $\frac{F}{2\omega}t\sin\omega t$ で、解はこれに単振動を足した形に限る。$\Omega$ が $\omega$ に近いとうなりが起こる。減衰の項 $2\gamma x'$（$\gamma>0$）を加えると外力と同じ角振動数の解がただ 1 つあり、その振幅は $\omega^2>2\gamma^2$ なら $\Omega=\sqrt{\omega^2-2\gamma^2}$ で最大になる。

$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{div}[0]{\mathbin{÷}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

前提知識: 微分方程式としての指数関数・三角関数, 1階線形微分方程式と積分因子（高校数学）, 加法定理から積和・和積・合成・正接の公式を導く

高校での出発点：ばねを外から揺らす

ばねにつながれたおもりは、手を離すと決まった周期で振動する（単振動）。質量を $m$、ばね定数を $K$ とすると、位置 $x(t)$ は $mx''=-Kx$ を満たし、$\omega=\sqrt{K/m}$ として $x=A\cos\omega t+B\sin\omega t$ となる（微分方程式としての指数関数・三角関数 の系「$y''=-\omega^2y$ の解」）。この $\omega$ を 固有角振動数 という。
では、ばねの端を手で周期的に揺らすなどして、おもりに外から $F_0\cos\Omega t$ の力を加え続けるとどうなるだろうか。運動方程式は $mx''=-Kx+F_0\cos\Omega t$ で、$F=\dfrac{F_0}m$ とおくと
$$ x''+\omega^2x=F\cos\Omega t $$
となる。右辺が $0$ でないので、単振動の式だけでは解けない。まず具体的な数で解いてみる。

$x''+4x=\cos t$ を解く

固有角振動数は $\omega=2$、外力の角振動数は $\Omega=1$ である。
(1) 特殊解。右辺が $\cos t$ なので、$x=a\cos t$ と置いてみる。$x''=-a\cos t$ なので
$$ x''+4x=-a\cos t+4a\cos t=3a\cos t $$
である。これが $\cos t$ に等しいのは $a=\dfrac13$ のときで、$x=\dfrac13\cos t$ は解の 1 つである。
(2) 残りの部分。$x$ を別の解とし、$z=x-\dfrac13\cos t$ とおくと、2 つの方程式を引いて $z''+4z=0$ である。微分方程式としての指数関数・三角関数 の系「$y''=-\omega^2y$ の解」（$\omega=2$）により $z=A\cos2t+B\sin2t$ なので
$$ x=A\cos2t+B\sin2t+\frac13\cos t $$
である。
(3) 初期条件。静止した状態 $x(0)=0$、$x'(0)=0$ から揺らし始めるとする。$x(0)=A+\dfrac13=0$ から $A=-\dfrac13$。$x'=-2A\sin2t+2B\cos2t-\dfrac13\sin t$ なので $x'(0)=2B=0$ から $B=0$ である。よって
$$ x=\frac13(\cos t-\cos2t) $$
である。

代入して確かめる計算を開く

$x=\dfrac13(\cos t-\cos2t)$ なら $x''=\dfrac13(-\cos t+4\cos2t)$、$4x=\dfrac13(4\cos t-4\cos2t)$ で、和は $\cos t$ である。また $x(0)=0$、$x'(0)=\dfrac13(-\sin0+2\sin0)=0$ である。

図 1 のように、この解は 2 つの角振動数 $1$ と $2$ の振動が重なった形で、大きさは $\dfrac23$ を超えない（$\cos t-\cos2t=-2\cos^2t+\cos t+1$ は $\cos t=-1$ で最小値 $-2$、$\cos t=\dfrac14$ で最大値 $\dfrac98$ をとる）。
x''+4x=cos t を静止の状態から始めた解 (cos t-cos 2t)/3（青）と、特殊解 (cos t)/3（赤の破線）。解はいつまでも有界である x''+4x=cos t を静止の状態から始めた解 (cos t-cos 2t)/3（青）と、特殊解 (cos t)/3（赤の破線）。解はいつまでも有界である
ex-fos-start の (1)(2) は、1階線形微分方程式と積分因子（高校数学） の系「一般解 ＝ 特殊解 ＋ 同次方程式の解」と同じ考え方である。この記事で答える問いは次の 3 つである。

  1. 外力の角振動数 $\Omega$ が固有角振動数 $\omega$ に等しいと、(1) の置き方は $3a$ の代わりに $0$ を与えて失敗する。そのときの解はどうなるか。→ thm-fos-undamped、ex-fos-resonance
  2. $\Omega$ が $\omega$ に近いとき、解はどんな形になるか。→ cor-fos-beats
  3. 抵抗があるとき、外力に合わせた振動の振幅はどれだけで、$\Omega$ をいくつにすると最も大きくなるか。→ thm-fos-damped
    高校の計算・物理この記事の言葉大学の言葉
    $a\cos\Omega t$ と置いて係数を比べる特殊解未定係数法
    単振動 $A\cos\omega t+B\sin\omega t$右辺を $0$ にした方程式の解同次方程式の解空間（2 次元）
    積和・和積の公式うなり振幅変調
    振り子やブランコを揺らすタイミング共振（$\Omega=\omega$）特性方程式の解と外力の指数の一致
    三角関数の合成振幅 $\dfrac{F}{\sqrt{(\omega^2-\Omega^2)^2+4\gamma^2\Omega^2}}$伝達関数の絶対値

取り出す構造：解の全体は特殊解と単振動の和

強制振動の方程式

$\omega>0$、$\Omega>0$、$F\ne0$ を定数とする。
$$ x''+\omega^2x=F\cos\Omega t $$
を 外力のある振動の方程式（減衰のない強制振動の方程式）という。$\omega$ を 固有角振動数、$\Omega$ を外力の 角振動数 という。$\mathbb{R}$ で 2 回微分可能な関数 $x(t)$ が、すべての実数 $t$ でこの式を満たすとき、$x$ を 解 という。1 つの解を 特殊解 という。

解の全体

$x_1$ を def-fos-forced の方程式の解の 1 つとする。このとき、方程式の解は、ちょうど
$$ x=x_1+A\cos\omega t+B\sin\omega t\qquad(A,B\text{ は定数}) $$
の形の関数である。さらに、数 $x_0$、$v_0$ を与えると、$x(0)=x_0$、$x'(0)=v_0$ を満たす解はただ 1 つある。

要点：2 つの解の差 $z=x-x_1$ は $z''+\omega^2z=0$ を満たすので、微分方程式としての指数関数・三角関数 の系「$y''=-\omega^2y$ の解」により $A\cos\omega t+B\sin\omega t$ の形である。初期条件は $A$、$B$ の 1 次方程式になり、ただ 1 通りに解ける。

詳しい証明を開く

段 1（差は単振動）。$x$ を解とし、$z=x-x_1$ とおく。$x''+\omega^2x=F\cos\Omega t$ から $x_1''+\omega^2x_1=F\cos\Omega t$ を引くと $z''+\omega^2z=0$ である。微分方程式としての指数関数・三角関数 の系「$y''=-\omega^2y$ の解」により $z=A\cos\omega t+B\sin\omega t$（$A=z(0)$、$B=\dfrac{z'(0)}\omega$）である。

段 2（この形はすべて解）。$z=A\cos\omega t+B\sin\omega t$ なら $z''=-\omega^2z$ なので、$x=x_1+z$ について $x''+\omega^2x=(x_1''+\omega^2x_1)+(z''+\omega^2z)=F\cos\Omega t$ である。

段 3（初期条件）。$x=x_1+A\cos\omega t+B\sin\omega t$ では $x(0)=x_1(0)+A$、$x'(0)=x_1'(0)+B\omega$ なので、$x(0)=x_0$、$x'(0)=v_0$ となるのは $A=x_0-x_1(0)$、$B=\dfrac{v_0-x_1'(0)}\omega$ のときだけで、そのとき段 2 により確かに解である。$\square$

したがって、残る仕事は特殊解 $x_1$ を 1 つ見つけることだけである。

主定理 1：減衰がないときの特殊解と共振

減衰がないときの解

def-fos-forced の方程式 $x''+\omega^2x=F\cos\Omega t$ の解は、次の形の関数に限る（$A$、$B$ は定数）。逆に、この形の関数はすべて解である。
(1) $\Omega\ne\omega$ のとき
$$ x=A\cos\omega t+B\sin\omega t+\frac{F}{\omega^2-\Omega^2}\cos\Omega t $$
(2) $\Omega=\omega$ のとき
$$ x=A\cos\omega t+B\sin\omega t+\frac{F}{2\omega}\,t\sin\omega t $$

方針：それぞれの最後の項が特殊解であることを代入で確かめ、lem-fos-structure を使う。
段 1（$\Omega\ne\omega$）。$x_1=c\cos\Omega t$、$c=\dfrac F{\omega^2-\Omega^2}$ とおく。$x_1''=-\Omega^2c\cos\Omega t$ なので
$$ x_1''+\omega^2x_1=(\omega^2-\Omega^2)c\cos\Omega t=F\cos\Omega t $$
である。$\omega^2-\Omega^2\ne0$ なので $c$ が定まることに注意する。
段 2（$\Omega=\omega$）。$x_1=c\,t\sin\omega t$、$c=\dfrac F{2\omega}$ とおく。積の微分により
$$ x_1'=c\bigl(\sin\omega t+\omega t\cos\omega t\bigr),\qquad x_1''=c\bigl(\omega\cos\omega t+\omega\cos\omega t-\omega^2t\sin\omega t\bigr)=c\bigl(2\omega\cos\omega t-\omega^2t\sin\omega t\bigr) $$
である。よって
$$ x_1''+\omega^2x_1=2c\omega\cos\omega t-c\omega^2t\sin\omega t+c\omega^2t\sin\omega t=2c\omega\cos\omega t=F\cos\omega t $$
である。
段 3。どちらの場合も $x_1$ は特殊解なので、lem-fos-structure により、解はちょうど $x_1+A\cos\omega t+B\sin\omega t$ の形の関数である。$\square$

  1. の特殊解の振幅 $\dfrac{\lvert F\rvert}{\lvert\omega^2-\Omega^2\rvert}$ は、$\Omega$ が $\omega$ に近づくほど大きくなる。ex-fos-start では $\omega=2$、$\Omega=1$、$F=1$ で $\dfrac1{4-1}=\dfrac13$ である。$\Omega=\omega$ では分母が $0$ になり、(1) の形の特殊解は作れない。代わりに現れる (2) の特殊解には $t$ が掛かっていて、時間とともに振幅が限りなく大きくなる。この現象を 共振（共鳴）という。
共振：$x''+x=\cos t$

$\omega=\Omega=1$、$F=1$ である。まず $x=a\cos t+b\sin t$ と置いてみると、$x''=-x$ なので $x''+x=0$ となり、どんな $a$、$b$ でも $\cos t$ にならない。thm-fos-undamped の (2) により、解は
$$ x=A\cos t+B\sin t+\frac t2\sin t $$
に限る。静止の状態 $x(0)=0$、$x'(0)=0$ から始めると、$x(0)=A=0$、$x'=-A\sin t+B\cos t+\dfrac12\sin t+\dfrac t2\cos t$ から $x'(0)=B=0$ で、
$$ x=\frac t2\sin t $$
である。$t=\left(2n+\dfrac12\right)\pi$ で $x=\left(n+\dfrac14\right)\pi$ となり、たとえば $n=10$（最初の $t=\dfrac\pi2$ からちょうど 10 周期後）では $x=32.20\ldots$ である。振れ幅は周期ごとに $\pi$ ずつ大きくなる。

1階線形微分方程式と積分因子（高校数学） の例「共鳴：$y'+y=e^{-x}$」でも、右辺が同次方程式の解と同じ形のときに $x$ が掛かった特殊解 $xe^{-x}$ が現れた。二項間漸化式 で $a_{n+1}=2a_n+2^n$ の解に $n$ が掛かるのも同じ現象である。

うなり：$\Omega$ が $\omega$ に近いとき

うなり

$\Omega\ne\omega$ のとき、$x''+\omega^2x=F\cos\Omega t$、$x(0)=0$、$x'(0)=0$ の解はただ 1 つで、
$$ x=\frac{F}{\omega^2-\Omega^2}\bigl(\cos\Omega t-\cos\omega t\bigr)=\frac{2F}{\omega^2-\Omega^2}\sin\frac{(\omega-\Omega)t}2\,\sin\frac{(\omega+\Omega)t}2 $$
である。$t$ を固定して $\Omega\to\omega$ とすると、この値は共振の解 $\dfrac F{2\omega}t\sin\omega t$ に近づく。

要点：thm-fos-undamped の (1) の解に $x(0)=0$、$x'(0)=0$ を代入すると $A=-\dfrac F{\omega^2-\Omega^2}$、$B=0$ と決まる。積の形は和積の公式から、極限は $u=\dfrac{(\omega-\Omega)t}2$ とおいて $\dfrac{\sin u}u\to1$（$u\to0$）を使えば得られる。

詳しい証明を開く

段 1（初期条件）。thm-fos-undamped の (1) で $c=\dfrac F{\omega^2-\Omega^2}$ とおくと $x=A\cos\omega t+B\sin\omega t+c\cos\Omega t$ である。$x(0)=A+c=0$ から $A=-c$。$x'=-A\omega\sin\omega t+B\omega\cos\omega t-c\Omega\sin\Omega t$ なので $x'(0)=B\omega=0$ から $B=0$ である。よって $x=c(\cos\Omega t-\cos\omega t)$ で、lem-fos-structure によりこれがただ 1 つの解である。

段 2（積の形）。和積の公式 $\cos\beta-\cos\alpha=2\sin\dfrac{\alpha+\beta}2\sin\dfrac{\alpha-\beta}2$（加法定理から積和・和積・合成・正接の公式を導く）で $\alpha=\omega t$、$\beta=\Omega t$ とすると

$$\cos\Omega t-\cos\omega t=2\sin\frac{(\omega+\Omega)t}2\,\sin\frac{(\omega-\Omega)t}2$$

である。これに $c$ を掛けて主張の積の形を得る。

段 3（極限）。$\omega^2-\Omega^2=(\omega-\Omega)(\omega+\Omega)$ なので、$t\ne0$ のとき $u=\dfrac{(\omega-\Omega)t}2$ とおくと

$$x=\frac{2F}{(\omega-\Omega)(\omega+\Omega)}\sin u\,\sin\frac{(\omega+\Omega)t}2=\frac{Ft}{\omega+\Omega}\cdot\frac{\sin u}u\cdot\sin\frac{(\omega+\Omega)t}2$$

である。$\Omega\to\omega$ のとき $u\to0$ で $\dfrac{\sin u}u\to1$、$\dfrac{Ft}{\omega+\Omega}\to\dfrac{Ft}{2\omega}$、$\sin\dfrac{(\omega+\Omega)t}2\to\sin\omega t$ なので、$x\to\dfrac F{2\omega}t\sin\omega t$ である。$t=0$ では両辺とも $0$ である。$\square$

積の形の 2 つの因子のうち、$\sin\dfrac{(\omega+\Omega)t}2$ は $\omega$ と $\Omega$ の平均の角振動数で速く振動し、$\dfrac{2F}{\omega^2-\Omega^2}\sin\dfrac{(\omega-\Omega)t}2$ は差の半分の角振動数でゆっくり変わる。速い振動の振れ幅がゆっくり大きくなったり小さくなったりする現象を うなり という。音では、振動数の少し違う 2 つの音叉を同時に鳴らすと、音が強くなったり弱くなったりして聞こえる。

$\Omega=0.9$ のうなり

$\omega=1$、$\Omega=0.9$、$F=1$ とすると、$\omega^2-\Omega^2=1-0.81=0.19$ で、静止から始めた解は
$$ x=\frac2{0.19}\sin(0.05t)\sin(0.95t)=10.52\ldots\times\sin(0.05t)\sin(0.95t) $$
である。速い振動 $\sin(0.95t)$ の振れ幅 $10.52\ldots\times\lvert\sin(0.05t)\rvert$ は、$t=\dfrac{\pi}{0.1}=31.4\ldots$ で最大の $10.52\ldots$ になり、$t=\dfrac\pi{0.05}=62.8\ldots$ で $0$ にもどる。これを繰り返すので、振れ幅はいつまでも $10.53$ を超えない（図 2）。一方 $\Omega=1$ の共振では、振れ幅 $\dfrac t2$ は限りなく大きくなる（図 3）。

Ω=0.9 のうなり。速い振動の振れ幅（赤の破線）が 0 と約 10.5 の間をゆっくり行き来する Ω=0.9 のうなり。速い振動の振れ幅（赤の破線）が 0 と約 10.5 の間をゆっくり行き来する
Ω=1 の共振。振れ幅（赤の破線 x=±t/2）が時間に比例して大きくなる Ω=1 の共振。振れ幅（赤の破線 x=±t/2）が時間に比例して大きくなる

cor-fos-beats の極限は、図 2 のゆっくりした包絡線 $\dfrac{2F}{\omega^2-\Omega^2}\lvert\sin\dfrac{(\omega-\Omega)t}2\rvert$ の周期 $\dfrac{2\pi}{\omega-\Omega}$ が、$\Omega\to\omega$ で限りなく長くなり、最初の上り坂がどこまでも続くようになる、と読める。上り坂の初めの部分は、$\sin u$ が $u$ に近いことから $\dfrac{Ft}{\omega+\Omega}$ に近く、これが図 3 の直線 $\dfrac t2$ になる。

主定理 2：減衰があるときの振幅と共振曲線

実際のばねには空気の抵抗などがあり、速さに比例する抵抗 $-cx'$ を加えると、$2\gamma=\dfrac cm$ として
$$ x''+2\gamma x'+\omega^2x=F\cos\Omega t\qquad(\gamma>0) $$
となる。右辺が $0$ の場合（減衰振動・臨界減衰・過減衰）は 微分方程式としての指数関数・三角関数 の例「減衰振動・臨界減衰・過減衰」で扱った。ここでは外力に合わせて振動する解を探す。

減衰があるときの定常解と振幅

$\gamma>0$、$\omega>0$、$\Omega>0$、$F\ne0$ とし、$D=(\omega^2-\Omega^2)^2+4\gamma^2\Omega^2$ とおく。
(1) $x''+2\gamma x'+\omega^2x=F\cos\Omega t$ は、$a\cos\Omega t+b\sin\Omega t$（$a$、$b$ は定数）の形の解をただ 1 つもち、それは
$$ a=\frac{F(\omega^2-\Omega^2)}D,\qquad b=\frac{2\gamma\Omega F}D $$
のものである。その振幅 $\sqrt{a^2+b^2}$ は $\dfrac{\lvert F\rvert}{\sqrt D}$ である。
(2) 振幅を $\Omega>0$ の関数とみる。$\omega^2>2\gamma^2$ ならば、振幅は $\Omega=\sqrt{\omega^2-2\gamma^2}$ のとき最大で、最大値は $\dfrac{\lvert F\rvert}{2\gamma\sqrt{\omega^2-\gamma^2}}$ である。$\omega^2\le2\gamma^2$ ならば、振幅は $\Omega$ が大きくなるにつれて減少する。

段 1（代入）。$x=a\cos\Omega t+b\sin\Omega t$ とおくと
$$ x'=-a\Omega\sin\Omega t+b\Omega\cos\Omega t,\qquad x''=-a\Omega^2\cos\Omega t-b\Omega^2\sin\Omega t $$
である。$x''+2\gamma x'+\omega^2x$ を $\cos\Omega t$ と $\sin\Omega t$ の項に分けて整理すると
$$ x''+2\gamma x'+\omega^2x=\bigl((\omega^2-\Omega^2)a+2\gamma\Omega b\bigr)\cos\Omega t+\bigl(-2\gamma\Omega a+(\omega^2-\Omega^2)b\bigr)\sin\Omega t $$
となる。
段 2（係数の比較）。定数 $c_1$、$c_2$ について、すべての $t$ で $c_1\cos\Omega t+c_2\sin\Omega t=0$ ならば、$t=0$ を代入して $c_1=0$、$t=\dfrac\pi{2\Omega}$ を代入して $c_2=0$ である。したがって、$x$ が解であることは、段 1 の右辺と $F\cos\Omega t$ の差の係数が $0$ であること、つまり
$$ (\omega^2-\Omega^2)a+2\gamma\Omega b=F,\qquad -2\gamma\Omega a+(\omega^2-\Omega^2)b=0 $$
と同値である。この連立 1 次方程式の係数の行列式は $(\omega^2-\Omega^2)^2+4\gamma^2\Omega^2=D$ で、$\gamma>0$、$\Omega>0$ なので $D\ge4\gamma^2\Omega^2>0$ である。よって $a$、$b$ はただ 1 通りに決まる。その値が主張の $a$、$b$ であることは、代入して確かめられる。$(\omega^2-\Omega^2)a+2\gamma\Omega b=\dfrac{F\bigl((\omega^2-\Omega^2)^2+4\gamma^2\Omega^2\bigr)}D=F$、$-2\gamma\Omega a+(\omega^2-\Omega^2)b=\dfrac{-2\gamma\Omega F(\omega^2-\Omega^2)+2\gamma\Omega F(\omega^2-\Omega^2)}D=0$ で、どちらも成り立つ。
段 3（振幅）。
$$ a^2+b^2=\frac{F^2\bigl((\omega^2-\Omega^2)^2+4\gamma^2\Omega^2\bigr)}{D^2}=\frac{F^2D}{D^2}=\frac{F^2}D $$
なので $\sqrt{a^2+b^2}=\dfrac{\lvert F\rvert}{\sqrt D}$ である。三角関数の合成により $a\cos\Omega t+b\sin\Omega t=\sqrt{a^2+b^2}\cos(\Omega t-\varphi)$（$\varphi$ はある定数）と書けるので、これが振動の振幅である。
段 4（振幅の最大）。振幅が最大になるのは $D$ が最小のときである。$u=\Omega^2>0$、$k=\omega^2-2\gamma^2$ とおくと
$$ D=(\omega^2-u)^2+4\gamma^2u=u^2-2ku+\omega^4=(u-k)^2+\omega^4-k^2=(u-k)^2+4\gamma^2(\omega^2-\gamma^2) $$
である（$\omega^4-k^2=(\omega^2-k)(\omega^2+k)=2\gamma^2(2\omega^2-2\gamma^2)$ を使った）。$k>0$、つまり $\omega^2>2\gamma^2$ なら、$D$ は $u=k$ で最小値 $4\gamma^2(\omega^2-\gamma^2)$ をとる。$\omega^2>2\gamma^2>\gamma^2$ なのでこの値は正で、振幅の最大値は $\dfrac{\lvert F\rvert}{2\gamma\sqrt{\omega^2-\gamma^2}}$、そのときの $\Omega$ は $\sqrt k=\sqrt{\omega^2-2\gamma^2}$ である。$k\le0$ なら、$u>0$ で $u-k>0$ なので、$(u-k)^2$ は $u$ について増加し、$D$ も増加する。$u=\Omega^2$ は $\Omega$ について増加するので、振幅は $\Omega$ について減少する。$\square$

振幅を $\Omega$ の関数として描いたグラフを 共振曲線 という（図 4）。$\gamma$ が小さいほど、山は $\Omega=\omega$ の近くで高く鋭くなる。$\Omega=\omega$ での振幅は $\sqrt D=2\gamma\omega$ から $\dfrac{\lvert F\rvert}{2\gamma\omega}$ で、$\gamma\to0$ で限りなく大きくなる。
ω=1、F=1 の共振曲線。γ=0.05、0.1、0.3 の振幅を Ω の関数として描き、最大の点に最大値を書き添えた。灰色の破線は減衰のない場合で、Ω=1 で限りなく大きくなる ω=1、F=1 の共振曲線。γ=0.05、0.1、0.3 の振幅を Ω の関数として描き、最大の点に最大値を書き添えた。灰色の破線は減衰のない場合で、Ω=1 で限りなく大きくなる

共振曲線の山

$\omega=1$、$F=1$ とする。thm-fos-damped の (2) により、振幅が最大になる $\Omega$ と最大値、$\Omega=1$ での振幅 $\dfrac1{2\gamma}$ は次のとおりである。

$\gamma$最大になる $\Omega=\sqrt{1-2\gamma^2}$最大値 $\dfrac1{2\gamma\sqrt{1-\gamma^2}}$$\Omega=1$ での振幅
$0.05$$0.99749\ldots$$10.0125\ldots$$10$
$0.1$$0.98994\ldots$$5.0251\ldots$$5$
$0.3$$0.90553\ldots$$1.7471\ldots$$1.666\ldots$

山の位置は $\omega=1$ より少し左にずれ、ずれは $\gamma$ が大きいほど大きい。$\gamma=0.1$ では、$\Omega=1$ での振幅 $5$ と最大値 $5.025\ldots$ の差は $0.5\%$ ほどである。

どの解も定常解に近づく

thm-fos-damped の仮定のもとで、$x_{\mathrm s}=a\cos\Omega t+b\sin\Omega t$ をその定常解とする。$x''+2\gamma x'+\omega^2x=F\cos\Omega t$ のどの解 $x$ についても、$t\to\infty$ のとき $x-x_{\mathrm s}\to0$ である。

要点：$z=x-x_{\mathrm s}$ は右辺が $0$ の方程式 $z''+2\gamma z'+\omega^2z=0$ を満たす。特性方程式 $\lambda^2+2\gamma\lambda+\omega^2=0$ の解 $-\gamma\pm\sqrt{\gamma^2-\omega^2}$ は、実数なら負、虚数なら実部が $-\gamma<0$ なので、微分方程式としての指数関数・三角関数 の定理「定数係数の 2 階線形微分方程式の一般解」のどの形でも $z\to0$ である。

3 つの場合の詳しい証明を開く

$z=x-x_{\mathrm s}$ とおくと、2 つの方程式を引いて $z''+2\gamma z'+\omega^2z=0$ である。上の定理（$p=2\gamma$、$q=\omega^2$）により、$z$ は次の形である。

  • $\gamma<\omega$ のとき：$z=e^{-\gamma t}(A\cos\omega_1t+B\sin\omega_1t)$（$\omega_1=\sqrt{\omega^2-\gamma^2}$）。$\lvert z\rvert\le e^{-\gamma t}(\lvert A\rvert+\lvert B\rvert)\to0$ である。
  • $\gamma=\omega$ のとき：$z=(A+Bt)e^{-\gamma t}$。$\gamma>0$ なので $e^{-\gamma t}\to0$ で、$te^{-\gamma t}=\dfrac t{e^{\gamma t}}\to0$（指数関数は 1 次関数より速く大きくなる）だから、$z\to0$ である。
  • $\gamma>\omega$ のとき：$z=Ae^{\lambda_1t}+Be^{\lambda_2t}$、$\lambda_{1,2}=-\gamma\pm\sqrt{\gamma^2-\omega^2}$。$0<\sqrt{\gamma^2-\omega^2}<\gamma$ なので $\lambda_1$、$\lambda_2$ はどちらも負で、$z\to0$ である。

どの場合も $z\to0$、つまり $x-x_{\mathrm s}\to0$ である。$\square$

定常解は「外力に合わせた振動」で、残りの $z$ は時間とともに消える（過渡的な部分 という）。どんな初期条件から始めても、十分時間がたつと振動は定常解だけになる。これが、減衰があるときに振幅という 1 つの数で振動を語れる理由である。

減衰があるときの共振：$x''+0.2x'+x=\cos t$

$\gamma=0.1$、$\omega=\Omega=1$、$F=1$ である。$D=0+4\cdot0.01\cdot1=0.04$ なので、$a=0$、$b=\dfrac{2\cdot0.1\cdot1}{0.04}=5$ で、定常解は $x_{\mathrm s}=5\sin t$ である（代入すると $-5\sin t+0.2\cdot5\cos t+5\sin t=\cos t$）。外力 $\cos t$ が山のとき、定常解 $5\sin t$ は $0$ で、ちょうど $\dfrac14$ 周期遅れて振動する。
静止の状態から始めると、特性方程式の解は $-0.1\pm i\sqrt{0.99}$ で、解は $x=5\sin t+e^{-0.1t}(A\cos\omega_1t+B\sin\omega_1t)$（$\omega_1=\sqrt{0.99}$）の形である。$x(0)=A=0$、$x'(0)=5+B\omega_1-0.1A=0$ から $B=-\dfrac5{\sqrt{0.99}}=-5.025\ldots$ で、
$$ x=5\sin t-\frac5{\sqrt{0.99}}e^{-0.1t}\sin\bigl(\sqrt{0.99}\,t\bigr) $$
である。過渡的な部分の大きさは $5.025\ldots\times e^{-0.1t}$ 以下で、$t=20$ で $0.68\ldots$ 以下、$t=50$ で $0.033\ldots$ 以下になる。振れ幅は初めは減衰のない共振と同じように大きくなるが、限りなく大きくはならず、$5$ に落ち着く（図 5）。

x''+0.2x'+x=cos t を静止の状態から始めた解。振れ幅は初め灰色の点線 ±t/2（減衰のない共振）に沿って大きくなり、やがて赤の破線 ±5 に落ち着く x''+0.2x'+x=cos t を静止の状態から始めた解。振れ幅は初め灰色の点線 ±t/2（減衰のない共振）に沿って大きくなり、やがて赤の破線 ±5 に落ち着く

3 つの場合をくらべる

$\Omega\ne\omega$（減衰なし）$\Omega=\omega$（減衰なし）減衰あり（$\gamma>0$）
特殊解の形$\dfrac F{\omega^2-\Omega^2}\cos\Omega t$$\dfrac F{2\omega}t\sin\omega t$$a\cos\Omega t+b\sin\Omega t$
静止から始めた解うなり（有界）振れ幅が $t$ に比例して増える定常解に近づく（有界）
振幅$\dfrac{\lvert F\rvert}{\lvert\omega^2-\Omega^2\rvert}$限りなく大きくなる$\dfrac{\lvert F\rvert}{\sqrt{(\omega^2-\Omega^2)^2+4\gamma^2\Omega^2}}$
対応する漸化式の現象$a_{n+1}=pa_n+cr^n$（$r\ne p$）$a_{n+1}=pa_n+cp^n$ で $n$ が掛かる—

減衰のない場合の $t$ が掛かる特殊解は、二項間漸化式 の命題「指数の形の定数項に対する特殊解」で $r=p$ のときに $n$ が掛かるのと同じ仕組みである。

例と反例

thm-fos-undamped と thm-fos-damped の条件を外すと何が崩れるかを並べる。

外す条件反例成り立たなくなること
$\Omega\ne\omega$$x''+x=\cos t$ で $a\cos t+b\sin t$ を試す外力と同じ角振動数の $a\cos\Omega t+b\sin\Omega t$ の形の特殊解がある
減衰 $\gamma>0$$\gamma=0$、$\Omega=\omega=1$有界な解がある。振幅が有限の最大値をもつ
$\omega^2>2\gamma^2$$\omega=1$、$\gamma=0.8$振幅を最大にする $\Omega>0$ がある

1 行目は ex-fos-resonance の初めに確かめた。$x=a\cos t+b\sin t$ は $x''+x=0$ を満たしてしまうので、右辺の $\cos t$ を作れない。

反例：減衰がなく $\Omega=\omega$ なら有界な解はない

$x''+x=\cos t$ の解は、thm-fos-undamped の (2) により $x=A\cos t+B\sin t+\dfrac t2\sin t$ の形に限る。$t_n=\left(2n+\dfrac12\right)\pi$（$n$ は自然数）では $\cos t_n=0$、$\sin t_n=1$ なので
$$ x(t_n)=B+\frac{t_n}2 $$
である。$n\to\infty$ で $t_n\to\infty$ なので、$x(t_n)$ は限りなく大きくなる。$A$、$B$ をどう選んでも同じなので、有界な解は 1 つもない。thm-fos-damped で $\gamma>0$ を使った所の 1 つは段 2 の $D>0$ で、$\gamma=0$、$\Omega=\omega$ では $D=0$ となって $a$、$b$ が決まらない。$\gamma=0$ で $\Omega\ne\omega$ のときの振幅 $\dfrac{\lvert F\rvert}{\lvert\omega^2-\Omega^2\rvert}$ は、$\Omega\to\omega$ で限りなく大きくなり、最大値をもたない（図 4 の灰色の破線）。

反例：減衰が大きいと振幅に山がない

$\omega=1$、$\gamma=0.8$、$F=1$ とする。$2\gamma^2=1.28>1=\omega^2$ で、thm-fos-damped の (2) の後半の場合である。振幅 $\dfrac1{\sqrt{(1-\Omega^2)^2+2.56\,\Omega^2}}$ は
$$ \Omega=0.01,\ 0.5,\ 1,\ 1.5,\ 2\quad\text{で}\quad0.9999\ldots,\ 0.911\ldots,\ 0.625,\ 0.369\ldots,\ 0.227\ldots $$
と減っていく。$\Omega\to0$ で $1$ に近づくが、$\Omega>0$ で $1$ になることはないので、振幅を最大にする $\Omega>0$ はない。外力をゆっくりにするほど大きく揺れ、共振の山は現れない。

大学数学で見る：複素数で 1 行にする

thm-fos-damped の段 1〜2 の計算は、複素数の指数関数を使うと 1 行になる。Euler の公式 $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$（複素数の掛け算は回転と拡大 の節「Euler の公式：$e^{i\theta}$ をどう定義し、何を証明するか」）を使い、$\cos\Omega t$ を $e^{i\Omega t}$ の実部とみる。$Z$ を複素数の定数として $x=Ze^{i\Omega t}$ とおくと、$x'=i\Omega x$、$x''=-\Omega^2x$ なので
$$ x''+2\gamma x'+\omega^2x=(\omega^2-\Omega^2+2i\gamma\Omega)Ze^{i\Omega t} $$
である。これが $Fe^{i\Omega t}$ に等しいのは $Z=\dfrac F{\omega^2-\Omega^2+2i\gamma\Omega}$ のときで、振幅は $\lvert Z\rvert=\dfrac{\lvert F\rvert}{\sqrt{(\omega^2-\Omega^2)^2+4\gamma^2\Omega^2}}$ と、分母の複素数の絶対値から直ちに読める。$Ze^{i\Omega t}$ の実部が定常解 $a\cos\Omega t+b\sin\Omega t$ である。

共振がいつ起こるかの一般形と、伝達関数を開く

上の $Z$ の分母 $\omega^2-\Omega^2+2i\gamma\Omega$ は、特性方程式の左辺 $\lambda^2+2\gamma\lambda+\omega^2$ に $\lambda=i\Omega$ を代入したものである。一般に、定数係数の線形微分方程式の右辺が $e^{\mu t}$ の形のとき、$\mu$ が特性方程式の解でなければ $Ze^{\mu t}$ の形の特殊解があり、$\mu$ が特性方程式の解（重複度 1）なら $Zte^{\mu t}$ の形の特殊解が現れる。$\gamma=0$、$\Omega=\omega$ では $\mu=i\omega$ が $\lambda^2+\omega^2=0$ の解になっていて、これが共振で $t$ が掛かる理由である。三項間漸化式の特性方程式 の特性方程式が重解をもつと一般項に $n$ が掛かるのも、同じ仕組みの離散版である（この段落の一般形は、この記事では証明しない）。

関数 $H(\lambda)=\dfrac1{\lambda^2+2\gamma\lambda+\omega^2}$ を、この振動系の 伝達関数 という。外力 $Fe^{i\Omega t}$ に対する定常解は $H(i\Omega)Fe^{i\Omega t}$ で、共振曲線は $\lvert H(i\Omega)\rvert$ のグラフである。次の記事 Laplace変換の入口（高校数学） では、方程式に Laplace 変換を施すと、同じ $\dfrac1{s^2+2\gamma s+\omega^2}$ が現れる。

さらに先へ

  • 外力が $\cos\Omega t$ でなく一般の周期関数なら、それを $\cos n\Omega t$、$\sin n\Omega t$ の和（Fourier 級数）に分け、各項の定常解を足し合わせればよい。方程式が線形なので、この重ね合わせが使える。
  • 右辺が $0$ の方程式の解の全体が 2 次元であることは、微分方程式としての指数関数・三角関数 の系「初期値問題の解の存在と一意性」の後の注意にある。強制振動の解の全体は、それを特殊解だけ平行移動したものである（1階線形微分方程式と積分因子（高校数学） の「大学数学で見る」と同じ構造）。
  • 初期条件つきの問題を、特殊解の見当をつけずに機械的に解く方法として Laplace 変換がある（Laplace変換の入口（高校数学））。

関連項目

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強制振動と共振（高校数学）