付値判定法

要点：$\operatorname{Spec}A$ の開集合で閉点を含むものは全体なので、$g$ は $x$ のアフィン近傍に値をとり、環準同型で書ける。

要点：lem-valuative-criterion-local を $A=K$ と $A=R$ に当て、$R\to K$ が単射であることを使う。

必要性は上で述べた。十分性を示す。$y\in\overline{f(W)}$ をとり、$y$ のアフィン開近傍 $V=\operatorname{Spec}C$ をとる。$f$ が準コンパクトなので $f^{-1}(V)$ は有限個のアフィン開集合 $\operatorname{Spec}D_1,\dots,\operatorname{Spec}D_r$ で覆われ、$W\cap\operatorname{Spec}D_j=V(I_j)$ と書ける。$V$ は $y$ の開近傍だから $y$ は $f(W)\cap V$ の $V$ での閉包に入り、$f(W)\cap V$ は $\operatorname{Spec}(D_j/I_j)$ の像の有限個の和なので、ある $j$ について $y$ は $\operatorname{Spec}E\to\operatorname{Spec}C$（$E=D_j/I_j$）の像の閉包に入る。$\theta\colon C\to E$ をこの射の準同型、$J=\ker\theta$ とする。
像は $V(J)$ に含まれる。逆に $c\in C$ が像のすべての点の素イデアルに入るなら、$\theta(c)$ は $E$ のすべての素イデアルに入るので冪零であり、$c^n\in J$ となる。よって像の閉包は $V(J)$ で、$y$ は $J\subset\mathfrak{p}$ をみたす素イデアル $\mathfrak{p}$ にあたる。$J\subset\mathfrak{p}'\subset\mathfrak{p}$ をみたす素イデアルのうち極小なもの $\mathfrak{p}'$ をとる（素イデアルの減少鎖の共通部分は素イデアルなので、Zornの補題により存在する）。$S=C\setminus\mathfrak{p}'$ とおく。局所化は完全なので $(C/J)_{\mathfrak{p}'}\to S^{-1}E$ は単射であり、$(C/J)_{\mathfrak{p}'}\ne0$ だから $S^{-1}E\ne0$ である。$S^{-1}E$ の素イデアルの $E$ への引き戻しを $\mathfrak{q}$ とすると、$\theta^{-1}(\mathfrak{q})$ は $J$ を含み $S$ と交わらないので $J\subset\theta^{-1}(\mathfrak{q})\subset\mathfrak{p}'$ であり、極小性から $\theta^{-1}(\mathfrak{q})=\mathfrak{p}'$ である。よって $\mathfrak{p}'$ にあたる点 $y'$ は $f(W)$ に入り、$y$ は $y'$ の特殊化である。$f(W)$ は特殊化で閉じるので $y\in f(W)$ となり、$f(W)$ は閉である。$\square$

必要性。 $f$ が分離的で、$t,t'$ が同じ図式 $(u,s)$ の持ち上げであるとする。$f\circ t=s=f\circ t'$ なので射 $h=(t,t')\colon T\to X\times_YX$ が定まり、$h\circ i=(u,u)=\Delta\circ u$ だから $h(t_1)\in\Delta(X)$ である。$\Delta(X)$ は閉で $t_0\in\overline{\{t_1\}}$ だから $h(t_0)\in\Delta(X)$、すなわち $h(t_0)=\Delta(x)$ と書け、$t(t_0)=p_1(h(t_0))=x=p_2(h(t_0))=t'(t_0)$ となる。$t(t_1)=t'(t_1)$ と埋め込み $\kappa(t(t_1))\to K$ はどちらも $u$ から決まるので、lem-valuative-criterion-points の 2 により $t=t'$ である。
十分性。 持ち上げがつねに高々 1 つであるとする。$X$ は Noether なのでその開集合はすべて準コンパクトであり、$\Delta$ は準コンパクトである。lem-valuative-criterion-specialization（$W=X$）により、$\Delta(X)$ が特殊化で閉じることを示せばよい。$\xi_1=\Delta(x_1)$ とし、$\xi_0\in\overline{\{\xi_1\}}$ とする。$K=\kappa(\xi_1)$、$Z=\overline{\{\xi_1\}}$ とおくと、$\mathcal{O}_{Z,\xi_0}$ は $K$ の局所部分環なので、それを支配する $K$ の付値環 $R$ が存在する（付値環 の定理「支配付値環の存在」）。lem-valuative-criterion-points の 2 により、射 $h\colon T\to X\times_YX$ で $h(t_0)=\xi_0$ をみたし、$h\circ i$ が組 $(\xi_1,\mathrm{id}_K)$ に対応するものがある。
$t=p_1\circ h$、$t'=p_2\circ h$ とおくと $f\circ t=f\circ t'$ である。$U$ への制限が一致することを確かめる。$p_1\circ\Delta=\mathrm{id}_X$ より、剰余体の準同型の合成 $\kappa(x_1)\xrightarrow{p_1}\kappa(\xi_1)\xrightarrow{\Delta}\kappa(x_1)$ は恒等写像で、体の準同型 $\kappa(\xi_1)\to\kappa(x_1)$ は単射かつ全射、すなわち同型である。$p_2$ についても同じなので、$p_1$ と $p_2$ が誘導する $\kappa(x_1)\to\kappa(\xi_1)$ はともにこの同型の逆写像に等しい。したがって $t\circ i$ と $t'\circ i$ はどちらも組 $(x_1,\ \kappa(x_1)\cong\kappa(\xi_1)=K)$ に対応し、lem-valuative-criterion-points の 1 により等しい。これを $u$ とし $s=f\circ t$ とおくと、$t,t'$ は図式 $(u,s)$ の持ち上げなので、仮定から $t=t'$ である。すると $h=(t,t)=\Delta\circ t$ となり、$\xi_0=h(t_0)=\Delta(t(t_0))\in\Delta(X)$ である。$\square$

必要性。 $f$ を固有とし、図式 $(u,s)$ をとる。持ち上げの一意性は thm-valuative-criterion-separated による。存在を示す。底変換 $X_T=X\times_YT$ と射影 $f'\colon X_T\to T$、$q\colon X_T\to X$ を考え、$u$ と $i$ から定まる射を $u'=(u,i)\colon U\to X_T$ とする。$\xi_1=u'(t_1)$、$Z=\overline{\{\xi_1\}}$ とおく。$f$ は普遍閉なので $f'(Z)$ は閉であり、$f'(\xi_1)=t_1$ は $T$ の生成点だから $f'(Z)=T$ である。そこで $\xi_0\in Z$ を $f'(\xi_0)=t_0$ ととる。
剰余体について、合成 $K=\kappa(t_1)\xrightarrow{f'}\kappa(\xi_1)\xrightarrow{u'}K$ は $f'\circ u'=i$ が誘導する恒等写像なので、$\kappa(\xi_1)\to K$ は同型である。これで $\kappa(\xi_1)=K$ と同一視すると、$f'$ が誘導する局所準同型 $R=\mathcal{O}_{T,t_0}\to\mathcal{O}_{X_T,\xi_0}\to\mathcal{O}_{Z,\xi_0}\subset K$ は包含 $R\subset K$ に等しい。よって $R\subset\mathcal{O}_{Z,\xi_0}$ で、$\mathcal{O}_{Z,\xi_0}$ は $R$ を支配する。付値環は支配について極大である。実際、$b\in\mathcal{O}_{Z,\xi_0}\setminus R$ があれば $b^{-1}\in\mathfrak{m}_R\subset\mathfrak{m}_{Z,\xi_0}$ となり、$1=bb^{-1}$ が極大イデアルに入って矛盾する。ゆえに $\mathcal{O}_{Z,\xi_0}=R$ であり、lem-valuative-criterion-points の 2 から射 $t'\colon T\to X_T$ で $t'(t_0)=\xi_0$、$t'\circ i=u'$ をみたすものが得られる。
$f'\circ t'=\mathrm{id}_T$ を確かめる。どちらも閉点を $t_0$ に送り、誘導する局所準同型 $R\to R$ は $K$ への合成がともに包含なので恒等写像である。lem-valuative-criterion-local により $f'\circ t'=\mathrm{id}_T$ である。そこで $t=q\circ t'$ とおくと、$f\circ t=s\circ f'\circ t'=s$、$t\circ i=q\circ u'=u$ であり、$t$ は持ち上げである。
十分性。 持ち上げがつねにただ 1 つ存在するとする。$f$ は有限型で、thm-valuative-criterion-separated により分離的である。普遍閉を示す。任意の射 $Y'\to Y$ による底変換を $f'\colon X'=X\times_YY'\to Y'$、射影を $q\colon X'\to X$ とし、閉集合 $W\subset X'$ をとる。$f'$ は有限型なので準コンパクトであり、lem-valuative-criterion-specialization により $f'(W)$ が特殊化で閉じることを示せばよい（$X'$ は Noether でなくてよい）。
$z_1\in W$、$y_1=f'(z_1)$、$y_0\in\overline{\{y_1\}}$ とする。$K=\kappa(z_1)$ とおき、$\kappa(y_1)\subset K$ とみる。$\mathcal{O}_{\overline{\{y_1\}},y_0}\subset\kappa(y_1)$ は $K$ の局所部分環なので、それを支配する $K$ の付値環 $R$ がある。lem-valuative-criterion-points により、組 $(z_1,\mathrm{id}_K)$ に対応する $u'\colon U\to X'$ と、組 $(y_0,y_1,\kappa(y_1)\subset K)$ に対応する $s'\colon T\to Y'$ があり、$f'\circ u'$ と $s'\circ i$ はともに組 $(y_1,\kappa(y_1)\subset K)$ に対応するので等しい。$X$ と $Y$ へ送った図式 $(q\circ u',\ Y'\to Y\text{ と }s'\text{ の合成})$ は $f$ に対する付値環の図式であり、仮定から持ち上げ $t\colon T\to X$ がある。ファイバー積の普遍性により $t'=(t,s')\colon T\to X'$ が定まり、$f'\circ t'=s'$ で、$t'\circ i=(q\circ u',s'\circ i)=u'$ である。とくに $t'(t_1)=z_1$ で、$t'(t_0)\in\overline{\{z_1\}}\subset W$、$f'(t'(t_0))=s'(t_0)=y_0$ となる。よって $y_0\in f'(W)$ である。$\square$